Porcentaje

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Equivalencia matemática de %
Equivalencia matemática de %

En matemáticas, un porcentaje (del latín per centum 'por cien') es un número o razón expresado como una fracción de 100. A menudo se denota usando el signo de porcentaje, '%', aunque las abreviaturas 'pct.', 'pct' y, a veces, también se utilizan 'pc'. Un porcentaje es un número adimensional (número puro); no tiene unidad de medida.

Ejemplos

Por ejemplo, 45% (léase 'cuarenta y cinco por ciento') es igual a la fracción 45/100, la relación 45:55 (o 45:100 cuando se compara con el total en lugar de la otra parte), o 0,45. Los porcentajes se utilizan a menudo para expresar una parte proporcional de un total.

(Del mismo modo, también se puede expresar un número como una fracción de 1000, usando el término 'por mil' o el símbolo '‰'.)

Ejemplo 1

Si el 50% del número total de alumnos de la clase son hombres, eso significa que 50 de cada 100 alumnos son hombres. Si hay 500 estudiantes, entonces 250 de ellos son hombres.

Ejemplo 2

Un aumento de $0.15 sobre un precio de $2.50 es un aumento de una fracción de0.15/2.50= 0,06. Expresado como un porcentaje, esto es un aumento del 6%.

Si bien muchos valores porcentuales están entre 0 y 100, no existe una restricción matemática y los porcentajes pueden tomar otros valores. Por ejemplo, es común referirse a 111% o −35%, especialmente para cambios porcentuales y comparaciones.

Historia

En la Antigua Roma, mucho antes de la existencia del sistema decimal, los cálculos a menudo se hacían en fracciones en múltiplos de1/100. Por ejemplo, Augusto impuso un impuesto de1/100sobre bienes vendidos en subasta conocida como centesima rerum venalium . El cálculo con estas fracciones fue equivalente al cálculo de porcentajes.

A medida que crecieron las denominaciones del dinero en la Edad Media, los cálculos con un denominador de 100 se volvieron cada vez más estándar, de modo que desde finales del siglo XV hasta principios del siglo XVI, se volvió común que los textos aritméticos incluyeran dichos cálculos. Muchos de estos textos aplicaron estos métodos a pérdidas y ganancias, tasas de interés y la regla de tres. En el siglo XVII, era estándar cotizar las tasas de interés en centésimas.

Signo de porcentaje

Representación geométrica del porcentaje
Representación geométrica del porcentaje

El término "por ciento" se deriva del latín percentum , que significa "cien" o "por cien". El signo de "por ciento" evolucionó por la contracción gradual del término italiano por cento , que significa "por cien". El "per" a menudo se abreviaba como "p", y finalmente desapareció por completo. El "cento" se contrajo a dos círculos separados por una línea horizontal, de la que se deriva el símbolo moderno "%".

Cálculos

El valor porcentual se calcula multiplicando el valor numérico de la razón por 100. Por ejemplo, para hallar 50 manzanas como porcentaje de 1250 manzanas, primero se calcula la razón50/1250= 0.04, y luego se multiplica por 100 para obtener 4%. El valor porcentual también se puede encontrar multiplicando primero en lugar de después, por lo que en este ejemplo, el 50 se multiplicaría por 100 para dar 5000, y este resultado se dividiría por 1250 para dar 4%.

Para calcular un porcentaje de un porcentaje, convierte ambos porcentajes a fracciones de 100, o a decimales, y multiplícalos. Por ejemplo, 50% de 40% es:50/100×40/100= 0,50 × 0,40 = 0,20 =20/100= 20%.

No es correcto dividir por 100 y usar el signo de porcentaje al mismo tiempo; literalmente implicaría una división por 10.000. Por ejemplo, 25% =25/100= 0.25 , no25%/100, que en realidad es25⁄100/100= 0,0025 . Un término como100/100% también sería incorrecto, ya que se leería como 1 por ciento, incluso si la intención fuera decir 100%.

Siempre que se comunique sobre un porcentaje, es importante especificar a qué se refiere (es decir, cuál es el total que corresponde al 100%). El siguiente problema ilustra este punto.En cierta universidad, el 60% de todos los estudiantes son mujeres y el 10% de todos los estudiantes son estudiantes de informática. Si el 5% de las estudiantes son estudiantes de ciencias de la computación, ¿qué porcentaje de estudiantes de ciencias de la computación son mujeres?

Se nos pide que calculemos la proporción de mujeres que se especializan en ciencias de la computación con respecto a todas las estudiantes de ciencias de la computación. Sabemos que el 60% de todos los estudiantes son mujeres, y entre estos el 5% son estudiantes de informática, por lo que concluimos que60/100×5/100=3/100o el 3% de todos los estudiantes son mujeres con especialización en informática. Dividiendo esto por el 10% de todos los estudiantes que son estudiantes de informática, llegamos a la respuesta:3%/10%=30/100o el 30% de todos los estudiantes de informática son mujeres.

Este ejemplo está estrechamente relacionado con el concepto de probabilidad condicional.

Porcentaje de aumento y disminución

Debido al uso inconsistente, no siempre está claro en el contexto a qué se refiere un porcentaje. Cuando se habla de una "subida del 10%" o de una "bajada del 10%" de una cantidad, la interpretación habitual es que ésta es relativa al valor inicial de esa cantidad. Por ejemplo, si un artículo tiene un precio inicial de $200 y el precio aumenta un 10 % (un aumento de $20), el nuevo precio será de $220. Tenga en cuenta que este precio final es el 110% del precio inicial (100% + 10% = 110%).

Algunos otros ejemplos de cambios porcentuales:

En general, un cambio de x por ciento en una cantidad da como resultado una cantidad final que es 100 +  x por ciento de la cantidad original (equivalente a (1 + 0,01 x ) veces la cantidad original).

Porcentajes compuestos

Los cambios porcentuales aplicados secuencialmente no se suman de la forma habitual. Por ejemplo, si el aumento del 10% en el precio considerado anteriormente (en el artículo de $200, elevando su precio a $220) es seguido por una disminución del 10% en el precio (una disminución de $22), entonces el precio final será de $198, no el precio original de $200. La razón de esta aparente discrepancia es que los cambios del dos por ciento (+10 % y −10 %) se miden en relación con diferentes cantidades ($200 y $220, respectivamente) y, por lo tanto, no se "cancelan".

En general, si un aumento de x por ciento es seguido por una disminución de x por ciento, y la cantidad inicial era p , la cantidad final es p (1 + 0.01 x )(1 − 0.01 x ) = p (1 − (0.01 x ) ) ; por lo tanto, el cambio neto es una disminución general de x por ciento de x por ciento (el cuadrado del cambio porcentual original cuando se expresa como un número decimal). Así, en el ejemplo anterior, después de un aumento y disminución de x = 10 por ciento, el monto final, $198, fue 10% de 10%, o 1%, menos que el monto inicial de $200. El cambio neto es el mismo para una disminución de x por ciento, seguida de un aumento de x por ciento; la cantidad final es p (1 - 0,01 x )(1 + 0,01 x ) = p (1 − (0,01 x ) ) .

Esto se puede ampliar para un caso en el que uno no tenga el mismo cambio porcentual. Si la cantidad inicial p conduce a un cambio porcentual x , y el segundo cambio porcentual es y , entonces la cantidad final es p (1 + 0.01 x )(1 + 0.01 y ) . Para cambiar el ejemplo anterior, después de un aumento de x = 10 por ciento y una disminución de y = −5 por ciento , la cantidad final, $209, es un 4,5 % más que la cantidad inicial de $200.

Como se muestra arriba, los cambios porcentuales se pueden aplicar en cualquier orden y tienen el mismo efecto.

En el caso de las tasas de interés, una forma muy común pero ambigua de decir que una tasa de interés subió del 10% anual al 15% anual, por ejemplo, es decir que la tasa de interés aumentó en un 5%, lo que teóricamente podría significar que aumentó del 10% anual al 10,05% anual. Es más claro decir que la tasa de interés aumentó en 5 puntos porcentuales (pp). La misma confusión entre los diferentes conceptos de porcentaje (edad) y puntos porcentuales puede potencialmente causar un gran malentendido cuando los periodistas informan sobre los resultados de las elecciones, por ejemplo, expresando tanto los resultados nuevos como las diferencias con los resultados anteriores como porcentajes. Por ejemplo, si un partido obtiene el 41 % de los votos y se dice que esto es un aumento del 2,5 %, ¿significa eso que el resultado anterior fue del 40 % (ya que 41 = 40 × (1 +2.5/100) ) o 38,5% (ya que 41 = 38,5 + 2,5 )?

En los mercados financieros, es común referirse a un aumento de un punto porcentual (por ejemplo, del 3% anual al 4% anual) como un aumento de "100 puntos básicos".

Palabra y símbolo

En inglés británico, el porcentaje generalmente se escribe como dos palabras ( por ciento ), aunque el porcentaje y el percentil se escriben como una sola palabra. En inglés americano, percent es la variante más común (pero por mille se escribe como dos palabras).

A principios del siglo XX, había una forma de abreviatura punteada " por ciento ", en oposición a " por ciento ". La forma " por ciento " todavía se usa en el lenguaje altamente formal que se encuentra en ciertos documentos como los acuerdos de préstamos comerciales (particularmente aquellos sujetos o inspirados por el derecho consuetudinario), así como en las transcripciones de Hansard de los procedimientos parlamentarios británicos. El término se ha atribuido al latín percentum . El concepto de considerar valores como partes de cien es originalmente griego. El símbolo de porcentaje (%) evolucionó a partir de un símbolo que abrevia el italiano por ciento . En algunos otros idiomas, la forma procent oen su lugar se utiliza el prosente . Algunos idiomas usan una palabra derivada de porcentaje y una expresión en ese idioma que significa lo mismo, por ejemplo, procent rumano y la sută (por lo tanto, 10% se puede leer o, a veces, escribir diez por [cada] cien , de manera similar con el inglés uno fuera de diez ). Otras abreviaturas son más raras, pero a veces se ven.

Las guías de gramática y estilo a menudo difieren en cuanto a cómo deben escribirse los porcentajes. Por ejemplo, comúnmente se sugiere que la palabra porcentaje (o porcentaje) se escriba en todos los textos, como "1 por ciento" y no "1%". Otras guías prefieren que se escriba la palabra en textos humanísticos, pero que se use el símbolo en textos científicos. La mayoría de las guías están de acuerdo en que siempre deben escribirse con un número, como "5 por ciento" y no "cinco por ciento", con la única excepción al comienzo de una oración: "El diez por ciento de todos los escritores aman las guías de estilo". También se deben usar decimales en lugar de fracciones, como en "3.5 por ciento de la ganancia" y no " 3+1 ⁄ 2 por ciento de la ganancia". Sin embargo, los títulos de bonos emitidos por gobiernos y otros emisores utilizan la forma fraccionaria, por ejemplo, " 3+1 ⁄ 2 % Préstamo sin garantía Stock 2032 Serie 2". (Cuando las tasas de interés son muy bajas, el número 0 se incluye si la tasa de interés es inferior al 1%, por ejemplo, " 0+3 ⁄ 4 % de acciones en tesorería", no " 3 ⁄ 4 % en acciones en tesorería".) También se acepta ampliamente el uso del símbolo de porcentaje (%) en material tabular y gráfico.

De acuerdo con la práctica común en inglés, las guías de estilo, como The Chicago Manual of Style , generalmente establecen que el número y el signo de porcentaje se escriben sin espacios intermedios. Sin embargo, el Sistema Internacional de Unidades y la norma ISO 31-0 requieren un espacio.

Otros usos

La palabra "porcentaje" suele ser un nombre inapropiado en el contexto de las estadísticas deportivas, cuando el número al que se hace referencia se expresa como una proporción decimal, no como un porcentaje: "Shaquille O'Neal de los Phoenix Suns lideró la NBA con un porcentaje de tiros de campo de .609 (FG%) durante la temporada 2008-09". (O'Neal acertó el 60,9% de sus tiros, no el 0,609%). Asimismo, el porcentaje de victorias de un equipo, la fracción de partidos que ha ganado el club, también suele expresarse como una proporción decimal; un equipo que tiene un porcentaje de victorias de .500 ha ganado el 50% de sus partidos. La práctica probablemente esté relacionada con la forma similar en que se citan los promedios de bateo.

Como "porcentaje" se utiliza para describir la inclinación de la pendiente de una carretera o vía férrea, cuya fórmula es 100 × aumento/correrque también podría expresarse como la tangente del ángulo de inclinación por 100. Esta es la relación de las distancias que un vehículo avanzaría vertical y horizontalmente, respectivamente, al subir o bajar una pendiente, expresada en porcentaje.

El porcentaje también se usa para expresar la composición de una mezcla en porcentaje en masa y porcentaje en moles.

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