Fracción irreducible

Una fracción irreducible (o fracción en términos mínimos, forma más simple o fracción reducida) es una fracción en el que el numerador y el denominador son números enteros que no tienen otros divisores comunes que 1 (y −1, cuando se consideran números negativos). En otras palabras, una fracción a //span>b es irreducible si y solo si a y b son coprimos, es decir, si a y b tienen un máximo común divisor de 1. En matemáticas superiores, "fracción irreducible" también puede referirse a fracciones racionales en las que el numerador y el denominador son polinomios coprimos. Todo número racional positivo se puede representar como una fracción irreducible exactamente de una manera.

A veces es útil una definición equivalente: si a y b son números enteros, entonces la fracción a/b< /span> es irreducible si y solo si no hay otra fracción igual c< /span>/d tal que |c| < |a| o |d| < |b|, donde |a| significa el valor absoluto de a. (Dos fracciones a/b y < i>c/d son iguales o equivalentes si y solo si ad = bc).

Por ejemplo, 1/4, 5/6, y − 101/100 son todas fracciones irreducibles. Por otro lado, 2/4 es reducible ya que tiene el mismo valor que 1 /2, y el numerador de 1/2 es menor que el numerador de 2/4.

Una fracción que es reducible se puede reducir dividiendo tanto el numerador como el denominador por un factor común. Se puede reducir completamente a sus términos más bajos si ambos se dividen por su máximo común divisor. Para encontrar el máximo común divisor, se puede utilizar el algoritmo de Euclides o la factorización prima. El algoritmo euclidiano suele preferirse porque permite reducir fracciones con numeradores y denominadores demasiado grandes para factorizarlos fácilmente.

Ejemplos

${displaystyle {frac {120}{frac {12}{9}={frac}}={frac} {f}} {f}}}} {f}} {f}}} {f}}} {f}}}} {f}f}}}f}f}f}}}} {f} {4}{3}}$

En el primer paso, ambos números se dividieron por 10, que es un factor común tanto para 120 como para 90. En el segundo paso, se dividieron por 3. El resultado final, 4/3, es una fracción irreducible porque 4 y 3 no tienen factores comunes distintos de 1.

La fracción original también podría haberse reducido en un solo paso usando el máximo común divisor de 90 y 120, que es 30. Como 120 ÷ 30 = 4, y 90 ÷ 30 = 3, se obtiene

${displaystyle {frac {120}{90}={frac {4}{3}}$

¿Qué método es más rápido "a mano" depende de la fracción y de la facilidad con que se detecten los factores comunes. En caso de que queden un denominador y un numerador que sean demasiado grandes para garantizar que sean coprimos por inspección, se necesita un cálculo del máximo común divisor de todos modos para garantizar que la fracción sea realmente irreducible.

Singularidad

Cada número racional tiene una representación única como una fracción irreducible con un denominador positivo (sin embargo, 2 /3 = −2/−3 aunque ambos son irreductibles). La unicidad es una consecuencia de la descomposición en factores primos única de los números enteros, ya que a/b = c/d implica ad = bc, por lo que ambos lados de este último deben compartir la misma descomposición en factores primos, pero a y b no comparten factores primos, por lo que el conjunto de factores primos de a (con multiplicidad) es un subconjunto de los de c y viceversa, es decir a = c y por el mismo argumento b = d .

Aplicaciones

El hecho de que cualquier número racional tenga una representación única como fracción irreducible se utiliza en varias pruebas de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 y de otros números irracionales. Por ejemplo, una prueba señala que si √2 podría representarse como una proporción de números enteros, entonces tendría en particular la representación completamente reducida a< span class="sr-only">/b donde a y b son los más pequeños posibles; pero dado que a/b es igual a √2, también 2b − a/a − b (ya que al multiplicar esto con a/b muestra que son iguales). Desde a > b (porque √2 es mayor que 1), este último es una relación de dos números enteros más pequeños. Esto es una contradicción, por lo que la premisa de que la raíz cuadrada de dos tiene una representación como la razón de dos números enteros es falsa.

Generalización

La noción de fracción irreducible se generaliza al campo de fracciones de cualquier dominio de factorización único: cualquier elemento de dicho campo se puede escribir como una fracción en la que el denominador y el numerador son coprimos, dividiendo ambos por su máximo común divisor. Esto se aplica en particular a las expresiones racionales sobre un campo. La fracción irreducible de un elemento dado es única hasta la multiplicación del denominador y el numerador por el mismo elemento invertible. En el caso de los números racionales esto significa que cualquier número tiene dos fracciones irreductibles, relacionadas por un cambio de signo tanto del numerador como del denominador; esta ambigüedad se puede eliminar requiriendo que el denominador sea positivo. En el caso de funciones racionales, se podría requerir que el denominador sea un polinomio mónico.