Valor absoluto

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Distancia de cero a un número

El gráfico de la función de valor absoluto para números reales

El valor absoluto de un número puede ser pensado como su distancia de cero.

En matemáticas, la valor absoluto o modulus de un número real $x$ , denotado $|x|$ , es el valor no negativo de $x$ sin considerar su signo. Es decir, ${displaystyle |x|=x}$ si $x$ es un número positivo, y ${displaystyle |x|=-x}$ si $x$ es negativo (en cuyo caso negar $x$ # $-x$ positivo) y ${displaystyle |0|=0}$ . Por ejemplo, el valor absoluto de 3 es 3, y el valor absoluto de −3 es también 3. El valor absoluto de un número puede ser pensado como su distancia de cero.

Las generalizaciones del valor absoluto de los números reales ocurren en una amplia variedad de entornos matemáticos. Por ejemplo, también se define un valor absoluto para los números complejos, los cuaterniones, los anillos ordenados, los campos y los espacios vectoriales. El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en varios contextos matemáticos y físicos.

Terminología y notación

En 1806, Jean-Robert Argand introdujo el término módulo, que significa unidad de medida en francés, específicamente para el valor absoluto complejo, y se tomó prestado al inglés en 1866 como el equivalente latino modulus. El término valor absoluto se ha utilizado en este sentido desde al menos 1806 en francés y 1857 en inglés. La notación $| x |$ , con una barra vertical a cada lado, fue introducido por Karl Weierstrass en 1841. Otros nombres para valor absoluto incluyen valor numérico y magnitud. En lenguajes de programación y paquetes de software computacional, el valor absoluto de x generalmente se representa mediante abs(x), o una expresión similar.

La notación vertical de la barra también aparece en varios otros contextos matemáticos: por ejemplo, cuando se aplica a un conjunto, denota su cardinalidad; cuando se aplica a una matriz, denota su determinante. Barras verticales denotan el valor absoluto sólo para objetos algebraicos para los cuales se define la noción de un valor absoluto, en particular un elemento de un álgebra de división normalizada, por ejemplo un número real, un número complejo, o una cuaternión. Una notación estrechamente relacionada pero distinta es el uso de barras verticales para la norma euclidiana o la norma sup de un vector dentro $mathbb {R} ^{n}$ , aunque dobles barras verticales con subscriptos () $|cdot |_{2}$ y ${displaystyle |cdot |_{infty }}$ , respectivamente) son una notación más común y menos ambigua.

Definición y propiedades

Números reales

Para cualquier Número real $x$ , el valor absoluto o modulus de $x$ es denotado por $|x|$ , con una barra vertical en cada lado de la cantidad, y se define como

<math alttext="{displaystyle |x|={begin{cases}x,&{text{if }}xgeq 0\-x,&{text{if }}xSilencioxSilencio={}x,six≥ ≥ 0− − x,six.0.{displaystyle Новальный неннных {cases}x, {text{if }xgeq 0\x, limitada {text{if}x 0}end{cases}}}<img alt="{displaystyle |x|={begin{cases}x,&{text{if }}xgeq 0\-x,&{text{if }}x

El valor absoluto de $x$ es así siempre un número positivo o cero, pero nunca negativo. Cuando $x$ en sí mismo es negativo () $<math alttext="{displaystyle xx.0{displaystyle x realizadas0} <img alt="x$ ), entonces su valor absoluto es necesariamente positivo () $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilencioxSilencio=− − x■0{displaystyle Silencioso=-x0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f32438005ede795236c4b3c33ba07b7573031a1e" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.121ex; height:2.843ex;"/>$ ).

Desde el punto de vista de la geometría analítica, el valor absoluto de un número real es la distancia de ese número desde cero a lo largo de la recta numérica real y, de manera más general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales (su valor absoluto). diferencia) es la distancia entre ellos. La noción de una función de distancia abstracta en matemáticas puede verse como una generalización del valor absoluto de la diferencia (ver "Distancia" a continuación).

Dado que el símbolo de la raíz cuadrada representa la única raíz cuadrada positiva, cuando se aplica a un número positivo, se sigue que

{displaystyle |x|={sqrt {x^{2}}}.}

El valor absoluto tiene las siguientes cuatro propiedades fundamentales (a, b son números reales), que se utilizan para la generalización de esta noción a otros dominios:

$\|a\|geq 0$	No negativa
$\|a\|=0iff a=0$	Determinación positiva
${displaystyle \|ab\|=left\|aright\|left\|bright\|}$	Multiplicatividad
${displaystyle \|a+b\|leq \|a\|+\|b\|}$	Subadditividad, específicamente la desigualdad triángulo

La no negativa, la claridad positiva y la multiplicación son fácilmente evidentes de la definición. Para ver que la subadditividad sostiene, primera nota que ${displaystyle |a+b|=s(a+b)}$ Donde ${displaystyle s=pm 1}$ , con su signo elegido para hacer el resultado positivo. Ahora, desde ${displaystyle -1cdot xleq |x|}$ y ${displaystyle +1cdot xleq |x|}$ , lo sigue, cualquiera $pm 1$ es el valor de $s$ , uno tiene ${displaystyle scdot xleq |x|}$ para todos real $x$ . En consecuencia, ${displaystyle |a+b|=scdot (a+b)=scdot a+scdot bleq |a|+|b|}$ , como se desee.

Algunas propiedades útiles adicionales se dan a continuación. Estas son consecuencias inmediatas de la definición o están implícitas en las cuatro propiedades fundamentales anteriores.

${displaystyle {bigl \|}left\|aright\|{bigr \|}=\|a\|}$	Idempotencia (el valor absoluto del valor absoluto es el valor absoluto)
${displaystyle left\|-aright\|=\|a\|}$	Evenness (simetría de reflexión del gráfico)
$\|a-b\|=0iff a=b$	Identidad de indiscernibles (equivalente a la definición positiva)
$\|a-b\|leq \|a-c\|+\|c-b\|$	Inequidad triángulo (equivalente a subadditividad)
$left\|{frac {a}{b}}right\|={frac {\|a\|}{\|b\|}}$ (si $bneq 0$ )	Preservación de división (equivalente a multiplicatividad)
${displaystyle \|a-b\|geq {bigl \|}left\|aright\|-left\|bright\|{bigr \|}}$	Inequidad del triángulo inverso (equivalente a la subadditividad)

Otras dos propiedades útiles relacionadas con las desigualdades son:

|a|leq biff -bleq aleq b

|a|geq biff aleq -b

{displaystyle ageq b}

Estas relaciones se pueden usar para resolver desigualdades que involucran valores absolutos. Por ejemplo:

$\|x-3\|leq 9$	$iff -9leq x-3leq 9$
	$iff -6leq xleq 12$

El valor absoluto, como "distancia desde cero", se usa para definir la diferencia absoluta entre números reales arbitrarios, la métrica estándar de los números reales.

Números complejos

El valor absoluto de un complejo $z$ es distancia $r$ de $z$ del origen. También se ve en la imagen que $z$ y su complejo conjugado ${bar {z}}$ tienen el mismo valor absoluto.

Dado que los números complejos no están ordenados, la definición dada en la parte superior para el valor absoluto real no se puede aplicar directamente a los números complejos. Sin embargo, la interpretación geométrica del valor absoluto de un número real como su distancia al 0 puede generalizarse. El valor absoluto de un número complejo se define por la distancia euclidiana de su punto correspondiente en el plano complejo desde el origen. Esto se puede calcular usando el teorema de Pitágoras: para cualquier número complejo

{displaystyle z=x+iy,}

$x$ $y$ valor absolutomodulusde $z$ denotado $|z|$ ${displaystyle |z|={sqrt {operatorname {Re} (z)^{2}+operatorname {Im} (z)^{2}}}={sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$ $x$ $y$ ${displaystyle operatorname {Re} (z)=x}$ ${displaystyle operatorname {Im} (z)=y}$ de $z$ ,parte imaginaria $y$ Número real $x$ .
Cuando un número complejo $z$ se expresa en su forma polar como ${displaystyle z=re^{itheta },}$ su valor absoluto es ${displaystyle |z|=r.}$
Desde el producto de cualquier número complejo $z$ y su complejo conjugado ${displaystyle {bar {z}}=x-iy}$ , con el mismo valor absoluto, es siempre el número real no negativo ${displaystyle left(x^{2}+y^{2}right)}$ , el valor absoluto de un número complejo $z$ es la raíz cuadrada de ${displaystyle zcdot {overline {z}},}$ que por lo tanto se llama la plaza absoluta o módulo cuadrado de $z$ :
${displaystyle |z|={sqrt {zcdot {overline {z}}}}.}$ ${textstyle |x|={sqrt {xcdot x}}}$ .
El complejo valor absoluto comparte las cuatro propiedades fundamentales dadas anteriormente por el valor absoluto real. La identidad ${displaystyle |z|^{2}=|z^{2}|}$ es un caso especial de multiplicación que a menudo es útil por sí mismo.

Función de valor absoluto

El gráfico de la función de valor absoluto para números reales

Composición de valor absoluto con función cúbica en diferentes órdenes

La función de valor absoluto real es continua en todas partes. Es diferenciable en todas partes excepto en $x = 0$ . Es monótonamente decreciente en el intervalo $(-\infty, 0]$ y monótonamente creciente en el intervalo $[0, +\infty)$ . Dado que un número real y su opuesto tienen el mismo valor absoluto, es una función par y, por lo tanto, no es invertible. La función de valor absoluto real es una función convexa lineal por partes.

Tanto para los números reales como para los complejos, la función de valor absoluto es idempotente (lo que significa que el valor absoluto de cualquier valor absoluto es él mismo).

Relación con la función de signo

La función de valor absoluto de un número real devuelve su valor independientemente de su signo, mientras que la función de signo (o signum) devuelve el signo de un número independientemente de su valor. Las siguientes ecuaciones muestran la relación entre estas dos funciones:

$|x|=xoperatorname {sgn}(x),$

$|x|operatorname {sgn}(x)=x,$

y para $x \neq 0$ ,

${displaystyle operatorname {sgn}(x)={frac {|x|}{x}}={frac {x}{|x|}}.}$

Derivado

La función de valor absoluto real tiene una derivada para cada $x \neq 0$ , pero no es diferenciable en $x = 0$ . Su derivada para $x \neq 0$ viene dada por la función de paso:

$<math alttext="{displaystyle {frac {dleft|xright|}{dx}}={frac {x}{|x|}}={begin{cases}-1&x0.end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">dSilencioxSilenciodx=xSilencioxSilencio={}− − 1x.01x■0.{displaystyle {frac {fnMicroc}{dx}={frac} {x}{Principios {cases}-1 implicax obtenidos01⁄43x}}}<img alt="{displaystyle {frac {dleft|xright|}{dx}}={frac {x}{|x|}}={begin{cases}-1&x0.end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c243fff473340f54b4202cfaafcf9d5691d45e" style="vertical-align: -2.671ex; width:28.744ex; height:6.509ex;"/>$

La función de valor absoluto real es un ejemplo de una función continua que alcanza un mínimo global donde la derivada no existe.

El subdiferencial de $| x |$ en $x = 0$ es el intervalo $[-1, 1].$

La función compleja de valor absoluto es continua en todas partes pero diferenciable compleja en ninguna parte porque viola las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

La segunda derivada de $| x |$ con respecto a $x$ es cero en todas partes excepto cero, donde no existe. Como función generalizada, la segunda derivada puede tomarse como dos veces la función delta de Dirac.

Antiderivada

La antiderivada (integral indefinida) de la función de valor absoluto real es

${displaystyle int left|xright|dx={frac {xleft|xright|}{2}}+C,}$

donde $C$ es una constante arbitraria de integración. Esta no es una antiderivada compleja porque las antiderivadas complejas solo pueden existir para funciones diferenciables complejas (holomórficas), que no es la función de valor absoluto complejo.

Distancia

El valor absoluto está estrechamente relacionado con la idea de distancia. Como se señaló anteriormente, el valor absoluto de un número real o complejo es la distancia desde ese número hasta el origen, a lo largo de la recta numérica real, para números reales, o en el plano complejo, para números complejos, y más generalmente, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales o complejos es la distancia entre ellos.

La distancia euclidiana estándar entre dos puntos

$a=(a_{1},a_{2},dotsa_{n})$

$b=(b_{1},b_{2},dotsb_{n})$

en el espacio n euclidiano se define como:

${displaystyle {sqrt {textstyle sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

Esto se puede ver como una generalización, ya que para $a_{1}$ y $b_{1}$ real, es decir, en un 1-espacio, según la definición alternativa del valor absoluto,

${displaystyle |a_{1}-b_{1}|={sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}}}={sqrt {textstyle sum _{i=1}^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}}},}$

y para $a=a_{1}+ia_{2}$ y $b=b_{1}+ib_{2}$ números complejos, es decir, en un 2-espacio,

$\|a-b\|$	$=\|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})\|$
	$=\|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})\|$
	${displaystyle ={sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}={sqrt {textstyle sum _{i=1}^{2}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

Lo anterior muestra que el "valor absoluto"-distancia, para números reales y complejos, concuerda con la distancia euclidiana estándar, la cual heredan como resultado de considerarlos como espacios euclidianos unidimensionales y bidimensionales, respectivamente.

Se puede ver que las propiedades del valor absoluto de la diferencia de dos números reales o complejos: no negatividad, identidad de indiscernibles, simetría y la desigualdad triangular dada anteriormente, motivan la noción más general de una función de distancia de la siguiente manera:

Una función de valor real $d$ en un conjunto $X \times X$ se denomina métrica (o función de distancia) en $X$ , si cumple los siguientes cuatro axiomas:

$d(a,b)geq 0$	No negativa
$d(a,b)=0iff a=b$	Identidad de indiscernibles
$d(a,b)=d(b,a)$	Simmetría
$d(a,b)leq d(a,c)+d(c,b)$	Inequidad del triángulo

Generalizaciones

Anillos pedidos

La definición de valor absoluto dada anteriormente para los números reales puede extenderse a cualquier anillo ordenado. Es decir, si $a$ es un elemento de un anillo ordenado R, entonces el absoluto valor de $a$ , indicado por $| a |$ , se define como:

$<math alttext="{displaystyle |a|=left{{begin{array}{rl}a,&{text{if }}ageq 0\-a,&{text{if }}aSilencioaSilencio={}a,sia≥ ≥ 0− − a,sia.0.{fnMicrosoft Sans Serif}A, Bueno...<img alt="{displaystyle |a|=left{{begin{array}{rl}a,&{text{if }}ageq 0\-a,&{text{if }}a$

donde $- a$ es el inverso aditivo de $a$ , 0 es la identidad aditiva y < y ≥ tienen el significado habitual con respecto a la ordenación en el anillo.

Campos

Las cuatro propiedades fundamentales del valor absoluto de los números reales se pueden usar para generalizar la noción de valor absoluto a un campo arbitrario, de la siguiente manera.

Una función de valor real $v$ en un campo $F$ se llama un valor absoluto (también un módulo, magnitud, valor, o valoración) si cumple los siguientes cuatro axiomas:

$v(a)geq 0$	No negativa
$v(a)=0iff a=mathbf {0}$	Determinación positiva
$v(ab)=v(a)v(b)$	Multiplicatividad
$v(a+b)leq v(a)+v(b)$	Subadditividad o desigualdad del triángulo

Donde 0 denota la identidad aditiva de $F$ . De la definición positiva y la multiplicatividad se deduce que $v (1) = 1$ , donde 1 denota la identidad multiplicativa de $F$ . Los valores absolutos reales y complejos definidos anteriormente son ejemplos de valores absolutos para un campo arbitrario.

Si $v$ es un valor absoluto en $F$ , luego la función $d$ en $F \times F$ , definido por $d (a, b) = v (a - b)$ , es una métrica y las siguientes son equivalentes:

$d$ satisface la desigualdad ultramétrica $d(x,y)leq max(d(x,z),d(y,z))$ para todos $x$ , $Sí.$ , $z$ dentro $F$ .
${textstyle left{vleft(sum _{k=1}^{n}mathbf {1} right):nin mathbb {N} right}}$ está atadoR.
${displaystyle vleft({textstyle sum _{k=1}^{n}}mathbf {1} right)leq 1 }$ para todos $nin mathbb {N}$ .
$v(a)leq 1Rightarrow v(1+a)leq 1$ para todos $ain F$ .
${displaystyle v(a+b)leq max{v(a),v(b)} }$ para todos ${displaystyle a,bin F}$ .

Se dice que un valor absoluto que satisface cualquiera (por lo tanto, todas) de las condiciones anteriores es no arquimediano; de lo contrario, se dice que es arquimediano.

Espacios vectoriales

Nuevamente, las propiedades fundamentales del valor absoluto de los números reales se pueden usar, con una ligera modificación, para generalizar la noción a un espacio vectorial arbitrario.

Una función de valor real en un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ , representada como $|| \cdot ||$ , se llama un valor absoluto, pero más generalmente una norma, si satisface los siguientes axiomas:

Para todos $a$ en $F$ y $v$ , $u$ en V,

$\|mathbf {v} \|geq 0$	No negativa
$\|mathbf {v} \|=0iff mathbf {v} =0$	Determinación positiva
${displaystyle \|amathbf {v} \|=left\|aright\|left\|mathbf {v} right\|}$	homogeneidad positiva o escalabilidad positiva
$\|mathbf {v} +mathbf {u} \|leq \|mathbf {v} \|+\|mathbf {u} \|$	Subadditividad o desigualdad del triángulo

La norma de un vector también se llama su longitud o magnitud.

En el caso del espacio euclidiano $mathbb {R} ^{n}$ , la función definida

${displaystyle |(x_{1},x_{2},dotsx_{n})|={sqrt {textstyle sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

es una norma llamada la norma Euclideana. Cuando los números reales $mathbb {R}$ son considerados como el espacio vectorial único ${mathbb {R}}^{1}$ , el valor absoluto es una norma, y es $p$ -norm (ver espacio Lp) para cualquier $p$ . De hecho el valor absoluto es la norma "sólo" en ${mathbb {R}}^{1}$ , en el sentido de que, por cada norma $Silencioso _ Silencio$ on ${mathbb {R}}^{1}$ , $Silencio x TENIDO ANTERIOR: Silencio 1 \cdot \cdot \cdot x Silencio$ .

El complejo valor absoluto es un caso especial de la norma en un espacio interior de producto, que es idéntico a la norma euclidiana cuando el plano complejo se identifica como el plano euclidiano $mathbb {R} ^{2}$ .

Álgebras de composición

Toda álgebra de composición A tiene una involución x → x* llamada su conjugación. El producto en A de un elemento x y su conjugado x* se escribe N(x) = x x* y se llama la norma de x.

Los números reales $mathbb {R}$ , números complejos $mathbb {C}$ , y quaternions $mathbb {H}$ son todos álgebras de composición con normas dadas por formas cuadráticas definidas. El valor absoluto en estos álgebras de división es dado por la raíz cuadrada de la composición álgebra norma.

En general, la norma de un álgebra de composición puede ser una forma cuadrática que no es definida y tiene vectores nulos. Sin embargo, como en el caso de las álgebras de división, cuando un elemento x tiene una norma distinta de cero, entonces x tiene un inverso multiplicativo dado por x*/N(x).

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$\|a-b\|$	$=\|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})\|$
	$=\|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})\|$
	${displaystyle ={sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}={sqrt {textstyle sum _{i=1}^{2}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$