Polinomio homogéneo

En matemáticas, a polinomio homogéneo, a veces llamado cunético en textos antiguos, es un polinomio cuyos términos no cero todos tienen el mismo grado. Por ejemplo, x5+2x3Sí.2+9xSí.4{displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4} es un polinomio homogéneo del grado 5, en dos variables; la suma de los exponentes en cada término es siempre 5. El polinomio x3+3x2Sí.+z7{displaystyle x^{3}+3x^{2}y+z^{7} no es homogénea, porque la suma de exponentes no coincide de término a término. La función definida por un polinomio homogéneo es siempre una función homogénea.

Una forma algebraica, o simplemente forma, es una función definida por un polinomio homogéneo. Una forma binaria es una forma en dos variables. Una forma también es una función definida en un espacio vectorial, que puede expresarse como una función homogénea de las coordenadas sobre cualquier base.

Un polinomio de grado 0 siempre es homogéneo; es simplemente un elemento del campo o anillo de los coeficientes, generalmente llamado constante o escalar. Una forma de grado 1 es una forma lineal. Una forma de grado 2 es una forma cuadrática. En geometría, la distancia euclidiana es la raíz cuadrada de una forma cuadrática.

Los polinomios homogéneos son omnipresentes en matemáticas y física. Desempeñan un papel fundamental en la geometría algebraica, pues una variedad algebraica proyectiva se define como el conjunto de los ceros comunes de un conjunto de polinomios homogéneos.

Propiedades

Un polinomio homogéneo define una función homogénea. Esto significa que, si un polinomio multivariado P es homogéneo de grado d, entonces

P()λ λ x1,... ... ,λ λ xn)=λ λ dP()x1,... ... ,xn),{displaystyle P(lambda x_{1},ldotslambda x_{n}=lambda ^{d},P(x_{1},ldotsx_{n}),}

para todos λ λ {displaystyle lambda } en cualquier campo que contenga los coeficientes de P. Por el contrario, si la relación anterior es verdadera para infinitamente muchos λ λ {displaystyle lambda } entonces el polinomio es homogéneo de grado d.

En particular, si P es homogéneo entonces

P()x1,... ... ,xn)=0⇒ ⇒ P()λ λ x1,... ... ,λ λ xn)=0,{displaystyle P(x_{1},ldotsx_{n}=0quad Rightarrow quad P(lambda x_{1},ldotslambda x_{n})=0,}

para todos λ λ .{displaystyle lambda.} Esta propiedad es fundamental en la definición de una variedad proyectiva.

Cualquier polinomio no cero puede ser descompuesto, de una manera única, como una suma de polinomios homogéneos de diferentes grados, que se llaman los componentes homogéneos del polinomio.

Dado un anillo polinomio R=K[x1,... ... ,xn]{displaystyle R=K[x_{1},ldotsx_{n}} sobre un campo (o, más generalmente, un anillo) K, los polinomios homogéneos de grado d forma un espacio vectorial (o un módulo), comúnmente denotado Rd.{displaystyle R_{d} La descomposición única anterior significa que R{displaystyle R. es la suma directa de la Rd{displaystyle R_{d} (suma sobre todos los enteros no negativos).

La dimensión del espacio vectorial (o módulo libre) Rd{displaystyle R_{d} es el número de diferentes monomiales de grado d dentro n variables (es decir, el número máximo de términos no cero en un polinomio homogéneo de grado d dentro n variables). Es igual al coeficiente binomio

()d+n− − 1n− − 1)=()d+n− − 1d)=()d+n− − 1)!d!()n− − 1)!.{displaystyle {binom} {d+n-1}{n-1}={binom {d+n-1}{d}={frac {(d+n-1)} {d! {d!(n-1)}}}}}}} {d+n-1)} {d} {n-1}}} {d=n-1}} {fn1}}} {fn1}} {f}} {fn1} {fn1}}} {f}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {fn1}} {fnf} {fn1} {fn1} {fn1} {fn1} {fn1}}}}}}}}} {fn1}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {fn1}}} {fn1}}}} {fn1}}}}}}}

El polinomio homogéneo satisface la identidad de Euler para funciones homogéneas. Eso es, si P es un polinomio homogéneo de grado d en los indeterminados x1,... ... ,xn,{displaystyle x_{1},ldotsx_{n} uno tiene, cualquiera que sea el anillo conmutativo de los coeficientes,

dP=. . i=1nxi∂ ∂ P∂ ∂ xi,{displaystyle dP=sum ¿Por qué? {partial P}{partial .

Donde ∂ ∂ P∂ ∂ xi{displaystyle textstyle {frac {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoftfnMicrosoft {\fnMicrosoft\\fnMicrosoft\fnMicrosoftfnMicrosoft\\\\fnMicrosoft\\\\\\\fnMicrosoft\\\\\fnMicrosoft\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ P}{partial # denota el derivado parcial formal de P con respecto a xi.{displaystyle x_{i}

Homogenización

Un polinomio no homogéneo P(x₁,...,x_n) se puede homogeneizar introduciendo una variable adicional x₀ y definiendo el polinomio homogéneo a veces denominado ^h P:

hP()x0,x1,... ... ,xn)=x0dP()x1x0,... ... ,xnx0),{displaystyle {h}fnh}(x_{0},x_{1},dotsx_{n}=x_{0} {fn} {fnfnfnfnh} {x_{1} {x_{0}}}dots{frac Bueno...

donde d es el grado de P. Por ejemplo, si

P()x1,x2,x3)=x33+x1x2+7,{displaystyle P(x_{1},x_{2},x_{3}=x_{3}{3}+x_{1}x_{2}+7,}

entonces

hP()x0,x1,x2,x3)=x33+x0x1x2+7x03.{displaystyle ^{h}!P(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}=x_{3}{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}{3}}}

Un polinomio homogeneizado se puede deshomogenizar mediante el ajuste de la variable adicional x₀ 1. Eso es

P()x1,... ... ,xn)=hP()1,x1,... ... ,xn).{displaystyle P(x_{1},dotsx_{n}={h}!P}(1,x_{1},dotsx_{n}).}