Poliedro dual

El doble de un cubo es un octaedro. Los vértices de uno corresponden a las caras del otro, y los bordes se corresponden entre sí.

En geometría, todo poliedro está asociado a una segunda estructura dual, donde los vértices de uno corresponden a las caras del otro, y las aristas entre pares de vértices de uno corresponden a las aristas entre pares de caras del otro. Tales figuras duales siguen siendo poliedros combinatorios o abstractos, pero no todos pueden construirse también como poliedros geométricos. Comenzando con cualquier poliedro dado, el dual de su dual es el poliedro original.

La dualidad conserva las simetrías de un poliedro. Por lo tanto, para muchas clases de poliedros definidos por sus simetrías, los duales pertenecen a una clase de simetría correspondiente. Por ejemplo, los poliedros regulares, los sólidos platónicos (convexos) y los poliedros (estrella) de Kepler-Poinsot, forman pares duales, donde el tetraedro regular es autodual. El dual de un poliedro isogonal (uno en el que dos vértices cualesquiera son equivalentes bajo simetrías del poliedro) es un poliedro isoédrico (uno en el que dos caras cualesquiera son equivalentes [...]), y viceversa. El dual de un poliedro isotoxal (aquel en el que dos aristas cualesquiera son equivalentes [...]) también es isotoxal.

La dualidad está estrechamente relacionada con la reciprocidad polar, una transformación geométrica que, cuando se aplica a un poliedro convexo, realiza el poliedro dual como otro poliedro convexo.

Tipos de dualidad

El doble de un sólido platónico se puede construir conectando los centros faciales. En general esto crea sólo un doble topológico.
Imágenes de Kepler's Harmonices Mundi (1619)

Hay muchos tipos de dualidad. Los tipos más relevantes para los poliedros elementales son la reciprocidad polar y la dualidad topológica o abstracta.

Reciprocidad polar

En el espacio euclidiano, el doble de un poliedro ${displaystyle P}$ a menudo se define en términos de reciprocación polar sobre una esfera. Aquí, cada vértice (polo) se asocia con un plano facial (plano polar o simplemente polar) de modo que el rayo del centro al vértice es perpendicular al plano, y el producto de las distancias del centro a cada es igual a la plaza del radio.

Cuando la esfera tiene radio ${displaystyle r}$ y se centra en el origen (para que se define por la ecuación ${displaystyle ¿Qué?$), entonces el doble polar de un poliedro convexo ${displaystyle P}$ se define como

${displaystyle P^{circu }={q~{big}~qcdot pleq r^{2}$ para todos ${displaystyle p}$ dentro ${displaystyle P}, }$

Donde ${displaystyle qcdot p}$ denota el producto de punto estándar ${displaystyle q}$ y ${displaystyle p}$.

Típicamente cuando ninguna esfera se especifica en la construcción de la dualidad, entonces se utiliza la esfera unidad, lo que significa ${displaystyle r=1}$ en las definiciones anteriores.

Para cada plano de la cara ${displaystyle P}$ descrita por la ecuación lineal

$${displaystyle x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2}$$

${displaystyle P^{circ }$

${displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0}}$

${displaystyle P}$

${displaystyle P^{circ }$

${displaystyle P}$

${displaystyle P^{circ }$

${displaystyle P}$

${displaystyle P^{circ }$

${displaystyle P}$

${displaystyle P^{circ }$

Para un poliedro con un centro de simetría, es común usar una esfera centrada en este punto, como en la construcción de Dorman Luke (mencionada a continuación). De lo contrario, para un poliedro con una esfera circunscrita, una esfera inscrita o una esfera media (una con todos los bordes tangentes), se puede usar esto. Sin embargo, es posible alternar un poliedro alrededor de cualquier esfera, y la forma resultante del dual dependerá del tamaño y la posición de la esfera; como la esfera es variada, también lo es la forma dual. La elección del centro de la esfera es suficiente para definir el dual hasta la semejanza.

Si un poliedro en el espacio euclidiano tiene un plano frontal, una arista o un vértice en el centro de la esfera, el elemento correspondiente de su dual irá al infinito. Dado que el espacio euclidiano nunca alcanza el infinito, el equivalente proyectivo, llamado espacio euclidiano extendido, se puede formar agregando el "plano en el infinito" requerido. Algunos teóricos prefieren ceñirse al espacio euclidiano y decir que no hay dual. Mientras tanto, Wenninger (1983) encontró una manera de representar estos duales infinitos, de una manera adecuada para hacer modelos (de alguna porción finita).

El concepto de dualidad aquí está estrechamente relacionado con la dualidad en geometría proyectiva, donde se intercambian líneas y bordes. La polaridad proyectiva funciona lo suficientemente bien para poliedros convexos. Pero para figuras no convexas como los poliedros estelares, cuando buscamos definir rigurosamente esta forma de dualidad poliédrica en términos de polaridad proyectiva, surgen varios problemas. Debido a los problemas de definición de la dualidad geométrica de poliedros no convexos, Grünbaum (2007) argumenta que cualquier definición adecuada de un poliedro no convexo debe incluir una noción de poliedro dual.

Duales canónicas

Compuesto doble canónico de cuboctaedro (luz) y dodecahedro rhombic (ork). Los pares de bordes se reúnen en su mediasfera común.

Cualquier poliedro convexo se puede distorsionar en una forma canónica, en la que existe una unidad de esfera media (o interesfera) tangente a cada borde, y tal que la posición promedio de los puntos de tangencia es el centro de la esfera. Esta forma es única salvo congruencias.

Si intercambiamos un poliedro canónico de este tipo sobre su esfera media, el poliedro dual compartirá los mismos puntos de tangencia de borde y, por lo tanto, también será canónico. Es el dual canónico, y los dos juntos forman un compuesto dual canónico.

Construcción Dorman Luke

Para un poliedro uniforme, cada cara del poliedro dual se puede derivar de la figura de vértice correspondiente del poliedro original usando la construcción de Dorman Luke.

Dualidad topológica

Incluso cuando un par de poliedros no pueden obtenerse por reciprocidad entre sí, pueden llamarse duales entre sí siempre que los vértices de uno correspondan a las caras del otro y las aristas de uno correspondan a las aristas del otro, de manera preservadora de la incidencia. Estos pares de poliedros siguen siendo topológica o abstractamente duales.

Los vértices y las aristas de un poliedro convexo forman un gráfico (el esqueleto 1 del poliedro), incrustado en la superficie del poliedro (una esfera topológica). Este gráfico se puede proyectar para formar un diagrama de Schlegel en un plano plano. El grafo formado por los vértices y aristas del poliedro dual es el grafo dual del grafo original.

Más generalmente, para cualquier poliedro cuyas caras forman una superficie cerrada, los vértices y las aristas del poliedro forman un gráfico incrustado en esta superficie, y los vértices y las aristas del poliedro dual (abstracto) forman el gráfico dual del original grafico.

Un poliedro abstracto es cierto tipo de conjunto parcialmente ordenado (poset) de elementos, de modo que las incidencias, o conexiones, entre elementos del conjunto corresponden a incidencias entre elementos (caras, aristas, vértices) de un poliedro. Cada poset tiene una poset dual, formada al invertir todas las relaciones de orden. Si el poset se visualiza como un diagrama de Hasse, el poset dual se puede visualizar simplemente invirtiendo el diagrama de Hasse.

Cada poliedro geométrico corresponde a un poliedro abstracto de esta manera y tiene un poliedro dual abstracto. Sin embargo, para algunos tipos de poliedros geométricos no convexos, los poliedros duales pueden no ser realizables geométricamente.

Poliedros autodual

Topológicamente, un poliedro autodual es aquel cuyo dual tiene exactamente la misma conectividad entre vértices, aristas y caras. En resumen, tienen el mismo diagrama de Hasse.

Un poliedro geométricamente autodual no solo es topológicamente autodual, sino que su recíproco polar alrededor de cierto punto, típicamente su centroide, es una figura similar. Por ejemplo, el dual de un tetraedro regular es otro tetraedro regular, reflejado por el origen.

Todo polígono (es decir, un poliedro bidimensional) es topológicamente autodual, ya que tiene el mismo número de vértices que de aristas, y estos se intercambian por dualidad. Pero no es necesariamente autodual (hasta el movimiento rígido, por ejemplo). Todo polígono tiene una forma regular que es geométricamente autodual respecto a su interesfera: todos los ángulos son congruentes, al igual que todos los bordes, por lo que bajo la dualidad estas congruencias se intercambian.

Del mismo modo, todo poliedro convexo topológicamente autodual puede realizarse mediante un poliedro geométricamente autodual equivalente, su poliedro canónico, recíproco en torno al centro de la esfera media.

Hay un número infinito de poliedros geométricamente autoduales. La familia infinita más simple son las pirámides canónicas de n lados. Otra familia infinita, las pirámides alargadas, consta de poliedros que pueden describirse aproximadamente como una pirámide sentada sobre un prisma (con el mismo número de lados). Agregar un tronco (pirámide con la parte superior cortada) debajo del prisma genera otra familia infinita, y así sucesivamente.

Hay muchos otros poliedros convexos y autoduales. Por ejemplo, hay 6 diferentes con 7 vértices y 16 con 8 vértices.

Brückner identificó un icosaedro autodual no convexo con caras hexagonales en 1900. Se han encontrado otros poliedros autoduales no convexos, bajo ciertas definiciones de poliedros no convexos y sus duales.

Familia de pirámides

3

4

5

6

Familia de pirámides alargadas

3

4

5

Familia de trapezohedra disminuido

3

4

5

6

7

Polítopos duales y teselaciones

La dualidad puede generalizarse a espacios n-dimensionales y politopos duales; en dos dimensiones estos se denominan polígonos duales.

Los vértices de un politopo corresponden a los elementos (n − 1)-dimensionales, o facetas, del otro, y los puntos j que definen un (< i>j − 1) elemento dimensional corresponderá a hiperplanos j que se intersecan para dar un (n − j)- elemento dimensional. El dual de un mosaico o panal n-dimensional se puede definir de manera similar.

En general, las facetas del dual de un politopo serán los duales topológicos de las figuras de los vértices del politopo. Para los recíprocos polares de los politopos regulares y uniformes, las facetas duales serán recíprocos polares de la figura de vértice original. Por ejemplo, en cuatro dimensiones, la figura del vértice de la celda de 600 es el icosaedro; el dual del de 600 celdas es el de 120 celdas, cuyas facetas son dodecaedros, que son el dual del icosaedro.

Teselaciones y politopos autoduales

El azulejo cuadrado, {4,4}, es auto-dual, como muestran estos azulejos rojos y azules

El azulejo apeirogonal de orden infinito, {∞,∞} en rojo, y su posición dual en azul

La clase principal de politopos autodual son los politopos regulares con símbolos palindrómicos de Schläfli. Todos los polígonos regulares, {a} son autoduales, poliedros de la forma {a,a}, 4 politopos de la forma {a,b,a}, 5 politopos de la forma {a,b,b,a }, etc.

Los politopos regulares autoduales son:

• Todos los polígonos regulares.
• Tetraedro regular: {3,3}
• En general, todo ordinario n-simplexes, {3,3,...,3}
• Las 24 celdas regulares en 4 dimensiones, {3,4,3}.
• Las grandes 120 células {5,5/2,5} y las grandes 120 células estelares {5/2,5,5/2}

Los panales euclidianos regulares autoduales (infinitos) son:

• Apeirogon:
• Tiling cuadrado: {4,4}
• Cubic honeycomb: {4,3,4}
• En general, todo ordinario n-dimensional Combustibles euclidianos hipercubicos: {4,...,3,4}.

Los panales hiperbólicos regulares autoduales (infinitos) son:

• Tilings hiperbólicos compactos: {5,5}, {6,6},... {p,p}.
• Tiling hiperbólico paracompacto: { maduro, feliz}
• Agujas de miel hiperbólica compactas: {3,5,3}, {5,3,5}, y {5,3,5}
• Combustibles de miel hiperbólicos descompuestos: {3,6,3,6}, {4,4}, y {3,3,4,3,3}