Octonión

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Sistema de número Hypercomplex

En matemáticas, la octonions son un álgebra de división normalizada sobre los números reales, una especie de sistema de número hipercomplejo. Las octoniones suelen estar representadas por la letra O mayúscula, utilizando la cara audaz $O$ o blackboard bold $mathbb {O}$ . Las octones tienen ocho dimensiones; dos veces el número de dimensiones de las quaterniones, de las cuales son una extensión. No son recíprocas y nonasociativas, pero satisfacen una forma más débil de asociación; es decir, son alternativas. También son asociativos de poder.

Los octoniones no son tan conocidos como los cuaterniones y los números complejos, que son mucho más estudiados y utilizados. Los octoniones están relacionados con estructuras excepcionales en matemáticas, entre ellas los grupos de Lie excepcionales. Los octoniones tienen aplicaciones en campos como la teoría de cuerdas, la relatividad especial y la lógica cuántica. La aplicación de la construcción de Cayley-Dickson a los octoniones produce los sedeniones.

Historia

Los octoniones fueron descubiertos en 1843 por John T. Graves, inspirado por el descubrimiento de los cuaterniones de su amigo William Rowan Hamilton. Graves llamó a su descubrimiento "octavas" y las mencionó en una carta a Hamilton fechada el 26 de diciembre de 1843. Primero publicó su resultado un poco más tarde que el artículo de Arthur Cayley. Los octoniones fueron descubiertos de forma independiente por Cayley y, a veces, se los denomina "números de Cayley" o el "álgebra de Cayley". Hamilton describió la historia temprana de Graves' descubrimiento.

Definición

Los octoniones se pueden considerar como octetos (u 8 tuplas) de números reales. Cada octonión es una combinación lineal real de los octoniones unitarios:

{displaystyle {e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}},}

donde $e 0$ es el elemento escalar o real; puede identificarse con el número real 1. Es decir, cada octonion $x$ puede escribirse en la forma

x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},,

con coeficientes reales $x i$ .

La suma y resta de octoniones se realiza sumando y restando los términos correspondientes y, por lo tanto, sus coeficientes, como cuaterniones. La multiplicación es más compleja. La multiplicación es distributiva sobre la suma, por lo que el producto de dos octoniones se puede calcular sumando los productos de todos los términos, de nuevo como cuaterniones. El producto de cada par de términos puede estar dado por la multiplicación de los coeficientes y una tabla de multiplicar de los octoniones unitarios, como esta (debido a Cayley, 1845, y Graves, 1843):

$e_ie_j$		$e_{j}$
$e_ie_j$		$e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_4$	${displaystyle e_{5}}$	${displaystyle e_{6}}$	${displaystyle e_{7}}$
$e_{i}$	$e_{0}$	$e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_4$	${displaystyle e_{5}}$	${displaystyle e_{6}}$	${displaystyle e_{7}}$
	$e_{1}$	$e_{1}$	${displaystyle -e_{0}}$	$e_{3}$	${displaystyle -e_{2}}$	${displaystyle e_{5}}$	${displaystyle -e_{4}}$	${displaystyle -e_{7}}$	${displaystyle e_{6}}$
	$e_{2}$	$e_{2}$	${displaystyle -e_{3}}$	${displaystyle -e_{0}}$	$e_{1}$	${displaystyle e_{6}}$	${displaystyle e_{7}}$	${displaystyle -e_{4}}$	${displaystyle -e_{5}}$
	$e_{3}$	$e_{3}$	$e_{2}$	$-e_1$	${displaystyle -e_{0}}$	${displaystyle e_{7}}$	${displaystyle -e_{6}}$	${displaystyle e_{5}}$	${displaystyle -e_{4}}$
	$e_4$	$e_4$	${displaystyle -e_{5}}$	${displaystyle -e_{6}}$	${displaystyle -e_{7}}$	${displaystyle -e_{0}}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$
	${displaystyle e_{5}}$	${displaystyle e_{5}}$	$e_4$	${displaystyle -e_{7}}$	${displaystyle e_{6}}$	$-e_1$	${displaystyle -e_{0}}$	${displaystyle -e_{3}}$	$e_{2}$
	${displaystyle e_{6}}$	${displaystyle e_{6}}$	${displaystyle e_{7}}$	$e_4$	${displaystyle -e_{5}}$	${displaystyle -e_{2}}$	$e_{3}$	${displaystyle -e_{0}}$	$-e_1$
	${displaystyle e_{7}}$	${displaystyle e_{7}}$	${displaystyle -e_{6}}$	${displaystyle e_{5}}$	$e_4$	${displaystyle -e_{3}}$	${displaystyle -e_{2}}$	$e_{1}$	${displaystyle -e_{0}}$

La mayoría de los elementos fuera de la diagonal de la tabla son antisimétricos, lo que la convierte en una matriz casi simétrica, excepto los elementos de la diagonal principal, así como la fila y la columna para las que $e 0$ es un operando.

La tabla se puede resumir de la siguiente manera:

{displaystyle e_{i}e_{j}={begin{cases}e_{j},&{text{if }}i=0\e_{i},&{text{if }}j=0\-delta _{ij}e_{0}+varepsilon _{ijk}e_{k},&{text{otherwise}}end{cases}}}

donde $δ ij$ es la delta de Kronecker (igual a 1 si y solo si $i = j$ ), y $ε ijk$ es un tensor completamente antisimétrico con valor 1 cuando $ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365$ .

Sin embargo, la definición anterior no es única; es solo una de las 480 definiciones posibles para la multiplicación de octoniones con $e 0 = 1$ . Los demás se pueden obtener permutando y cambiando los signos de los elementos base no escalares ${e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7}$ . Las 480 álgebras diferentes son isomorfas y rara vez es necesario considerar qué regla de multiplicación en particular se usa.

Cada una de estas 480 definiciones es invariable hasta signos bajo algún ciclo de 7 puntos (1234567), y para cada ciclo de 7 hay cuatro definiciones, que difieren por signos e inversión de orden. Una opción común es usar la definición invariante bajo el ciclo 7 (1234567) con $e 1 e 2 = e 4$ — usando el diagrama de multiplicación triangular, o el plano de Fano a continuación que también muestra la lista ordenada de 124 Tríadas de 7 ciclos y sus matrices de multiplicación asociadas en formato $e n$ e IJKL.

Octonion triads, Fano plane, and multiplication matrices

Una variación de esto que se usa a veces es etiquetar los elementos de la base con los elementos $\infty$ , 0, 1, 2,..., 6, de la línea proyectiva sobre el campo finito de orden 7. La multiplicación viene dada por $e \infty = 1$ y $e 1 e 2 = e 4$ , y todas las expresiones obtenidas de esto agregando una constante (módulo 7) a todos los subíndices: en otras palabras usando los siete triples (124) (235) (346) (450) (561) (602) (013). Estas son las palabras clave distintas de cero del código de residuo cuadrático de longitud 7 sobre el campo de Galois de dos elementos, $GF(2)$ . Hay una simetría de orden 7 dada al agregar una constante mod 7 a todos los subíndices, y también una simetría de orden 3 dada al multiplicar todos los subíndices por uno de los residuos cuadráticos 1, 2, 4 mod 7.

La tabla de multiplicar para un álgebra geométrica de firma $(----)$ se puede dar en términos de los siguientes 7 triples cuaterniónicos (omitiendo el elemento de identidad):

() I, j, k), (i, J, k), (i, j, K), (I, J, K), I, i, m), J, j, m), K, k, m)

en el que los elementos en minúsculas son vectores y los en mayúsculas son bivectores y $* = mijk$ (que es el operador estrella de Hodge). Si se obliga a $*$ a ser igual a la identidad, entonces la multiplicación deja de ser asociativa, pero se puede eliminar $*$ de la tabla de multiplicar resultando en una tabla de multiplicar octonion.

Al mantener $* = mijk$ asociativo y, por lo tanto, no reducir el álgebra geométrica de 4 dimensiones a un octonión, se puede derivar toda la tabla de multiplicar de la ecuación para $*$ . Considere las matrices gamma. La fórmula que define la quinta matriz gamma muestra que es el $*$ de un álgebra geométrica de cuatro dimensiones de las matrices gamma.

Construcción Cayley-Dickson

Una forma más sistemática de definir los octoniones es a través de la construcción de Cayley-Dickson. Así como los cuaterniones se pueden definir como pares de números complejos, los octoniones se pueden definir como pares de cuaterniones. La suma se define por pares. El producto de dos pares de cuaterniones $(a, b)$ y $(c, d)$ está definido por

{displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}),}

donde $z *$ denota el conjugado del cuaternión $z$ . Esta definición es equivalente a la anterior cuando los ocho octoniones unitarios se identifican con los pares

(1, 0), (i, 0), (j, 0), (k, 0), (0, 1), (0, i), (0, j), (0, k)

Mnemónico del plano Fano

Una mnemónica para los productos de las octoniones de la unidad.

Una visualización mnemónica 3D que muestra las 7 triadas como hiperplanos a través del real (

e 0

) vértice del ejemplo de octonión dado arriba.

El diagrama, que representa la tabla de multiplicar de Cayley y Graves, proporciona un mnemotécnico conveniente para recordar los productos de octoniones unitarios. Este diagrama con siete puntos y siete líneas (el círculo que pasa por 1, 2 y 3 se considera una línea) se llama plano de Fano. Las líneas son direccionales. Los siete puntos corresponden a los siete elementos básicos estándar de $Im(O)$ (consulte la definición a continuación). Cada par de puntos distintos se encuentra en una línea única y cada línea pasa exactamente por tres puntos.

Sea $(a, b, c)$ una terna ordenada de puntos acostado en una línea dada con el orden especificado por la dirección de la flecha. Entonces la multiplicación está dada por

ab = c

ba = c

junto con permutaciones cíclicas. Estas reglas junto con

1 es la identidad multiplicadora,
$e 2 i = 1 -$ para cada punto en el diagrama

define completamente la estructura multiplicativa de los octoniones. Cada una de las siete líneas genera una subálgebra de $O$ isomorfa a los cuaterniones $H .$

Conjugado, norma e inversa

El conjugado de un octonion

x=x_{0},e_{0}+x_{1},e_{1}+x_{2},e_{2}+x_{3},e_{3}+x_{4},e_{4}+x_{5},e_{5}+x_{6},e_{6}+x_{7},e_{7}

está dado por

x^{*}=x_{0},e_{0}-x_{1},e_{1}-x_{2},e_{2}-x_{3},e_{3}-x_{4},e_{4}-x_{5},e_{5}-x_{6},e_{6}-x_{7},e_{7}.

La conjugación es una involución de $O$ y satisface $(xy)* = y * x *$ (nota el cambio en el orden).

La parte real de $x$ viene dada por

{frac {x+x^{*}}{2}}=x_{0},e_{0}

y la parte imaginaria de

{frac {x-x^{*}}{2}}=x_{1},e_{1}+x_{2},e_{2}+x_{3},e_{3}+x_{4},e_{4}+x_{5},e_{5}+x_{6},e_{6}+x_{7},e_{7}.

El conjunto de todos los octoniones puramente imaginarios abarca un subespacio de 7 dimensiones de $O$ , denotado $Im(O)$ .

La conjugación de octoniones satisface la ecuación

{displaystyle x^{*}=x+(e_{1}x)e_{1}+(e_{2}x)e_{2}+(e_{3}x)e_{3}+(e_{4}x)e_{4}+(e_{5}x)e_{5}+(e_{6}x)e_{6}+(e_{7}x)e_{7}.}

El producto de un octonión por su conjugado, $x * x = xx *$ , es siempre un número real no negativo:

x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}.

Usando esto, se puede definir la norma de un octonion, como

|x|={sqrt {x^{*}x}}.

Esta norma concuerda con la norma euclidiana estándar de 8 dimensiones en $R 8$ .

La existencia de una norma en $O$ implica la existencia de inversas para cada elemento distinto de cero de $O$ . El inverso de $x \neq 0$ , que es el octonión único $x -1$ satisfaciendo $xx -1 = x -1 x = 1$ , viene dado por

x^{-1}={frac {x^{*}}{|x|^{2}}}.

Propiedades

La multiplicación octiónica tampoco es conmutativa:

e i e j = e j e i ل e j e i

i

j

son distintos y no cero,

ni asociativo:

() e i e j) e k = e i () e j e k) e i () e j e k)

i

j

k

son distintos, no cero y

e i e j \pm e k

Las octoniones satisfacen una forma más débil de asociación: son alternativas. Esto significa que el subalgebra generado por cualquier dos elementos es asociativo. En realidad, se puede demostrar que el subalgebra generado por cualquier dos elementos de $O$ es isomorfo a $R$ , $C$ , o $H$ , todos ellos son asociativos. Debido a su no asociación, las octoniones no pueden ser representadas por un subalgebra de un anillo de matriz sobre $mathbb {R}$ , a diferencia de los números reales, números complejos y quaternions.

Los octoniones retienen una propiedad importante compartida por $R$ , $C$ , y $H$ : la norma sobre $O$ cumple

{displaystyle |xy|=|x||y|.}

Esta ecuación significa que los octoniones forman un álgebra de composición. Las álgebras de dimensiones superiores definidas por la construcción de Cayley-Dickson (comenzando con las sedeniones) no cumplen esta propiedad. Todos tienen divisores de cero.

Existen sistemas numéricos más amplios que tienen un módulo multiplicativo (por ejemplo, sedeniones cónicos de 16 dimensiones). Su módulo se define de manera diferente a su norma, y también contienen divisores de cero.

Como muestra Hurwitz, $R$ , $C$ , $H$ y $O$ son las únicas álgebras de división normadas sobre el numeros reales. Estas cuatro álgebras también forman las únicas álgebras de división de dimensión finita alternativas sobre los números reales (hasta el isomorfismo).

Al no ser asociativos, los elementos distintos de cero de $O$ no forman un grupo. Sin embargo, forman un bucle, específicamente un bucle de Moufang.

Conmutador y producto vectorial

El conmutador de dos octoniones $x$ y $y$ está dada por

{displaystyle [x,y]=xy-yx.}

Esto es antisimétrico e imaginario. Si se considera solo como un producto en el subespacio imaginario $Im(O)$ define un producto en ese espacio, el producto cruzado de siete dimensiones, dada por

{displaystyle xtimes y={tfrac {1}{2}}(xy-yx).}

Al igual que el producto vectorial en tres dimensiones, este es un vector ortogonal a $x$ y $y$ con magnitud

|xtimes y|=|x||y|sin theta.

Pero al igual que el producto octonion, no está definido de manera única. En cambio, hay muchos productos cruzados diferentes, cada uno de los cuales depende de la elección del producto octonion.

Automorfismos

Un automorfismo, $A$ , de los octoniones es una transformación lineal invertible de $O$ que satisface

{displaystyle A(xy)=A(x)A(y).}

El conjunto de todos los automorfismos de $O$ forma un grupo llamado $G2$ . El grupo $G 2$ es un grupo de Lie real, compacto, simplemente conexo de dimensión 14. Este grupo es el más pequeño de los grupos de Lie excepcionales y son isomorfos al subgrupo de $Spin(7)$ que conserva cualquier vector particular elegido en su representación de espinor real de 8 dimensiones. El grupo $Spin(7)$ es a su vez un subgrupo del grupo de isotopías descrito a continuación.

Véase también: $PSL(2,7)$ : el grupo de automorfismos del plano de Fano.

Isotopías

Una isotopía de un álgebra es un triple de aplicaciones lineales biyectivas $a$ , $b$ , $c$ tal que si $xy = z$ luego $a (x) b (y) = c (z)$ . Para $a = b = c$ esto es lo mismo que un automorfismo. El grupo de isotopías de un álgebra es el grupo de todas las isotopías, que contiene el grupo de automorfismos como subgrupo.

El grupo isotópico de los octoniones es el grupo $Spin 8 (R)$ , con $a$ , $b$ , $c$ actuando como las tres representaciones de 8 dimensiones. El subgrupo de elementos donde $c$ fija la identidad es el subgrupo $Spin 7 (R)$ , y el subgrupo donde $a$ , $b$ , $c$ todos arreglan la identidad es el grupo de automorfismos $G 2$ .

Aplicaciones

Los octoniones juegan un papel importante en la clasificación y construcción de otras entidades matemáticas. Por ejemplo, el grupo de Lie excepcional $G2$ es el grupo de automorfismos de los octoniones, y los otros grupos de Lie excepcionales $F4$ , $E6$ , $E7$ y $E8$ pueden entenderse como las isometrías de ciertos planos proyectivos definidos usando los octoniones. El conjunto de matrices octoniónicas 3 × 3 autoadjuntas, equipadas con un producto de matriz simetrizado, define el álgebra de Albert. En matemáticas discretas, los octoniones proporcionan una derivación elemental de la red Leech y, por lo tanto, están estrechamente relacionados con los grupos simples esporádicos.

Las aplicaciones de los octoniones a la física han sido en gran medida conjeturas. Por ejemplo, en la década de 1970, se hicieron intentos de entender los quarks por medio de un espacio octionónico de Hilbert. Se sabe que los octoniones y el hecho de que solo pueden existir cuatro álgebras de división normadas se relacionan con las dimensiones del espacio-tiempo en las que se pueden construir teorías cuánticas de campos supersimétricas. Además, se han realizado intentos para obtener el modelo estándar de la física de partículas elementales a partir de construcciones octoniónicas, por ejemplo, utilizando el "álgebra de Dixon" $C \otimes H \otimes O$ .

Los octoniones también han surgido en el estudio de la entropía de los agujeros negros, la ciencia de la información cuántica y la teoría de cuerdas.

Los octoniones se han utilizado en soluciones al problema de calibración mano-ojo en robótica.

Las redes octonion profundas proporcionan un medio de expresión eficiente y compacto en aplicaciones de aprendizaje automático.

Octoniones integrales

Hay varias formas naturales de elegir una forma integral de los octoniones. La más simple es simplemente tomar los octoniones cuyas coordenadas son números enteros. Esto da un álgebra no asociativa sobre los números enteros llamados octoniones gravesianos. Sin embargo, no es un orden máximo (en el sentido de la teoría del anillo); hay exactamente siete órdenes máximos que lo contienen. Estos siete órdenes máximos son todos equivalentes bajo automorfismos. La frase "octoniones integrales" generalmente se refiere a una elección fija de uno de estos siete órdenes.

Estas órdenes máximas fueron construidas por Kirmse (1925) harvtxt error: no target: CITEREFKirmse1925 (ayuda), Dickson y Bruck de la siguiente manera. Etiquete los ocho vectores base por los puntos de la línea proyectiva sobre el campo con siete elementos. Primero forme los "enteros de Kirmse": consisten en octoniones cuyas coordenadas son enteros o semienteros, y que son semienteros (es decir, mitades de enteros impares) en uno de los 16 conjuntos

\emptyset (\infty124) (\infty235) (\infty346) (\infty450) (\infty602) (\infty602) (\infty013) (\infty0123456) (0356) (1460) (2501) (3612) (4023) (5134) (6245)

del código de residuo cuadrático extendido de longitud 8 sobre el campo de dos elementos, dado por $\emptyset$ , $(\infty124)$ y sus imágenes bajo sumando una constante módulo 7, y los complementos de estos ocho conjuntos. Luego cambie el infinito y cualquier otra coordenada; esta operación crea una biyección de los enteros de Kirmse en un conjunto diferente, que es un orden máximo. Hay siete formas de hacer esto, dando siete órdenes máximos, que son todos equivalentes bajo permutaciones cíclicas de las siete coordenadas 0123456. (Kirmse afirmó incorrectamente que los números enteros de Kirmse también forman un orden máximo, por lo que pensó que había ocho órdenes máximos en lugar de siete, pero como señaló Coxeter (1946) no están cerrados bajo la multiplicación; este error ocurre en varios artículos publicados).

Los números enteros de Kirmse y los siete órdenes máximos son isométricos a la red E8 reescalada por un factor de 1⁄ √2 . En particular, hay 240 elementos de norma mínima distinta de cero 1 en cada uno de estos órdenes, formando un bucle de Moufang de orden 240.

Los octoniones integrales tienen una "división con resto" propiedad: octoniones enteros dados $a$ y $b \neq 0$ , podemos encontrar $q$ y $r$ con $a = qb + r$ , donde el resto $r$ tiene una norma menor que la de $b.$

En los octoniones integrales, todos los ideales de la izquierda y los ideales de la derecha son ideales de 2 lados, y los únicos ideales de 2 lados son los ideales principales $nO$ donde $n$ es un número entero no negativo.

Los octoniones integrales tienen una versión de factorización en números primos, aunque no es fácil de establecer porque los octoniones no son asociativos, por lo que el producto de los octoniones depende del orden en que uno hace los productos. Los octoniones integrales irreducibles son exactamente los de norma prima, y todo octonión integral puede escribirse como producto de octoniones irreducibles. Más precisamente, un octonión integral de norma $mn$ se puede escribir como un producto de octoniones integrales de normas $m$ y $n$ .

El grupo de automorfismos de los octoniones integrales es el grupo $G 2 (F 2)$ de orden 12.096, que tiene un subgrupo simple de índice 2 isomorfo al grupo unitario $2 A 2 (3 2)$ . El grupo de isotopías de los octoniones integrales es la doble cobertura perfecta del grupo de rotaciones de la red $E 8$ .