Funtor

En matemáticas, específicamente en teoría de categorías, un funtor es un mapeo entre categorías. Los funtores se consideraron por primera vez en la topología algebraica, donde los objetos algebraicos (como el grupo fundamental) se asocian a espacios topológicos, y los mapas entre estos objetos algebraicos se asocian a mapas continuos entre espacios. Hoy en día, los funtores se utilizan en las matemáticas modernas para relacionar varias categorías. Por lo tanto, los funtores son importantes en todas las áreas de las matemáticas a las que se aplica la teoría de categorías.

Los matemáticos tomaron prestadas las palabras categoría y funtor de los filósofos Aristóteles y Rudolf Carnap, respectivamente. Este último usó functor en un contexto lingüístico; ver palabra función.

Definición

Functor ${displaystyle F}$ debe preservar la composición de los morfismos ${displaystyle tau }$ y ${displaystyle sigma }$

Sean categorías C y D. Un funtor F de C a D es un mapeo que

• asocia cada objeto ${displaystyle X}$ dentro C a un objeto ${displaystyle F(X)}$ dentro D,
• asocia cada morfismo ${displaystyle fcolon Xto Y}$ dentro C a un morfismo ${displaystyle F(f)colon F(X)to F(Y)}$ dentro D que las dos condiciones siguientes:
  • ${displaystyle F(mathrm {}=mathrm {} _{F(X)},!}$ para cada objeto ${displaystyle X}$ dentro C,
  • ${displaystyle F(gcirc f)=F(g)circ F(f)}$ para todos los morfismos ${displaystyle fcolon Xto ¡Sí!$ y ${displaystyle gcolon Yto Z}$ dentro C.

Es decir, los funtores deben preservar los morfismos de identidad y la composición de los morfismos.

Covarianza y contravarianza

Hay muchas construcciones en matemáticas que serían funtores si no fuera por el hecho de que "invierten morfismos" y "composición inversa". Luego definimos un funtor contravariante F de C a D como un mapeo que

• asocia cada objeto ${displaystyle X}$ dentro C con un objeto ${displaystyle F(X)}$ dentro D,
• asocia cada morfismo ${displaystyle fcolon Xto Y}$ dentro C con un morfismo ${displaystyle F(f)colon F(Y)to F(X)}$ dentro D que las dos condiciones siguientes:
  • ${displaystyle F(mathrm {}=mathrm {} _{F(X)},!}$ para cada objeto ${displaystyle X}$ dentro C,
  • ${displaystyle F(gcirc f)=F(f)circ F(g)}$ para todos los morfismos ${displaystyle fcolon Xto Y}$ y ${displaystyle gcolon Yto Z}$ dentro C.

Tenga en cuenta que los funtores contravariantes invierten la dirección de la composición.

Los funerarios ordinarios también se llaman covariantes functores para distinguirlos de los contravariantes. Tenga en cuenta que uno también puede definir un functor contravariante como un covariante functor en la categoría opuesta ${displaystyle C^{mathrm {op}$. Algunos autores prefieren escribir todas las expresiones covariantemente. Eso es, en lugar de decir ${displaystyle Fcolon Cto D}$ es un functor contravariante, simplemente escriben ${displaystyle Fcolon C^{mathrm {op}to D}$ (o a veces ${displaystyle Fcolon Cto D^{mathrm {op}$Y llámalo un functor.

Los funtores contravariantes también se denominan ocasionalmente cofuntores.

Hay una convención que se refiere a "vectores" — es decir, campos vectoriales, elementos del espacio de secciones ${displaystyle Gamma (TM)}$ de un paquete tangente ${displaystyle TM}$—como "contravariantes" y "covectores"— es decir, 1-formas, elementos del espacio de secciones ${displaystyle Gamma {mathord {left(T^{*}Mright)}}$ de un paquete cotangente ${displaystyle T^{*}M}$- como "covariante". Esta terminología se origina en la física, y su racionalidad tiene que ver con la posición de los índices ("upstairs" y "downstairs") en expresiones como ${fnMicrosoft Sans Serif}$ para ${displaystyle mathbf {x}={boldsymbol Lambda.$ o ${displaystyle omega Lambda ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$ para ${displaystyle {boldsymbol {omega }={boldsymbol {omega }{boldsymbol {Lambda} {textosf {T}}$ En este formalismo se observa que el símbolo de transformación de coordenadas ${displaystyle "Lambda"$ (representando la matriz ${displaystyle {boldsymbol #Lambda } {textosf {T}}$) actúa sobre la base de vectores "de la misma manera" que en las "coordinaciones covector": ${displaystyle mathbf {e} Lambda...$—donde actúa "de la manera opuesta" en las "coordinas vencedoras" (pero "de la misma manera" que en los covectores base: ${displaystyle mathbf {e} {f}=Lambda _{i}mthbf {e} }$). Esta terminología es contraria a la utilizada en la teoría de la categoría porque son los covectores que tienen pullbacks en general y por lo tanto contravariante, mientras que los vectores en general son covariante ya que pueden ser empujado hacia adelante. Vea también Covariancia y contravariancia de vectores.

Funtor opuesto

Cada functor ${displaystyle Fcolon Cto D}$ induce a los opuesto functor ${displaystyle F^{mathrm {op}colon C^{mathrm {op}to D^{mathrm {op}$, donde ${displaystyle C^{mathrm {op}$ y ${displaystyle D^{mathrm {op}$ son las categorías opuestas a ${displaystyle C}$ y ${displaystyle D}$. Por definición, ${displaystyle F^{mathrm {op}$ mapas objetos y morfismos de la misma manera ${displaystyle F}$. Desde ${displaystyle C^{mathrm {op}$ no coincide con ${displaystyle C}$ como categoría, y de manera similar ${displaystyle D}$, ${displaystyle F^{mathrm {op}$ se distingue de ${displaystyle F}$. Por ejemplo, cuando se compone ${displaystyle Fcolon C_{0}to C_{1}$ con ${displaystyle Gcolon C_{1}{mathrm {op}to C_{2}}$, uno debe usar ${displaystyle Gcirc F^{mathrm {op}$ o ${displaystyle G^{mathrm {op}circ F}$. Tenga en cuenta que, siguiendo la propiedad de la categoría opuesta, ${displaystyle left(F^{mathrm {op}right)}{mathrm {op}=F}$.

Bifuntores y multifundores

Un bifuntor (también conocido como funtor binario) es un funtor cuyo dominio es una categoría de producto. Por ejemplo, el funtor Hom es del tipo C^op × C → Set. Puede verse como un funtor en dos argumentos. El funtor Hom es un ejemplo natural; es contravariante en un argumento, covariante en el otro.

Un multifuntor es una generalización del concepto de funtor a n variables. Entonces, por ejemplo, un bifuntor es un multifuntor con n = 2.

Propiedades

Dos consecuencias importantes de los axiomas del funtor son:

• F transforma cada diagrama conmutativo en C en un diagrama conmutativo D;
• si f es un isomorfismo en C, entonces F()f) es un isomorfismo en D.

Se pueden componer funtores, es decir, si F es un funtor de A a B y G es un funtor de B a C entonces uno puede formar el funtor compuesto G ∘ F de A a C. La composición de los funtores es asociativa donde se define. La identidad de composición de funtores es el funtor identidad. Esto muestra que los funtores pueden ser considerados como morfismos en categorías de categorías, por ejemplo en la categoría de categorías pequeñas.

Una categoría pequeña con un solo objeto es lo mismo que un monoide: los morfismos de una categoría de un objeto se pueden considerar como elementos del monoide, y la composición en la categoría se considera como la operación del monoide. Los funtores entre categorías de un objeto corresponden a homomorfismos monoides. Entonces, en cierto sentido, los funtores entre categorías arbitrarias son una especie de generalización de homomorfismos monoides a categorías con más de un objeto.

Ejemplos

Diagrama

Para categorías C y J, un diagrama de tipo J dentro C es un functor covariante ${displaystyle Dcolon Jto C}$.

(Categoría teórica)

Para categorías C y J, a J- Presheaf en C es un functor contravariante ${displaystyle Dcolon Cto J}$.

En el caso especial cuando J es Set, la categoría de conjuntos y funciones, D se llama "presheaf" C.

Presheaves (sobre un espacio topológico)

Si X es un espacio topológico, entonces el abierto se pone en X form a partially ordered set Open(X) bajo inclusión. Como cada conjunto parcialmente ordenado, Open(X) forma una pequeña categoría añadiendo una sola flecha U → V si ${displaystyle Usubseteq V}$. Functores contravariantes en Open(X) se llaman ♪ on X. Por ejemplo, asignando a cada conjunto abierto U el álgebra asociativa de funciones continuas de valor real en U, uno obtiene una hoja de álgebras en X.

Functor constante

El functor C → D que mapea cada objeto de C a un objeto fijo X dentro D y cada morfismo en C el morfismo de identidad X. Tal functor se llama un constante o selección functor.

Endofunctor

Un functor que mapea una categoría a esa misma categoría; por ejemplo, functor polinomio.

Functor de identidad

En la categoría C, escrito 1_C o id_C, mapea un objeto a sí mismo y un morfismo a sí mismo. El funerario de identidad es un endofuntor.

Functor diagonal

El functor diagonal se define como el functor de D a la categoría functor D^C que envía cada objeto en D al functor constante en ese objeto.

Limit functor

Para una categoría de índice fijo J, si cada functor J → C tiene un límite (por ejemplo si C es completo), entonces el functor límite C^J → C asigna a cada functor su límite. La existencia de este functor puede ser probada al darse cuenta de que es el conjunto derecho al funerario diagonal e invocando el teorema de funcionista adjoint Freyd. Esto requiere una versión adecuada del axioma de elección. Se aplican comentarios similares al functor colimit (que asigna a cada functor su colimit, y es covariante).

Power sets functor

El functor del set de energía P: Set → Set mapas cada conjunto a su conjunto de potencia y cada función ${displaystyle fcolon Xto Y}$ al mapa que envía ${displaystyle Uin {Mathcal {}(X)}$ a su imagen ${displaystyle f(U)in {fnMithcal}(Y)}$. Uno también puede considerar el functor anticonvariante que envía ${displaystyle fcolon Xto Y}$ al mapa que envía ${displaystyle Vsubseteq Y}$ a su imagen inversa ${displaystyle f^{-1}(V)subseteq X.}$

Por ejemplo, si ${displaystyle X={0,1}}$ entonces ${displaystyle F(X)={mathcal {}(X)={}, #$. Suppose ${displaystyle f(0)={}}$ y ${displaystyle f(1)=X}$. Entonces... ${displaystyle F(f)}$ es la función que envía cualquier subconjunto ${displaystyle U}$ de ${displaystyle X}$ a su imagen ${displaystyle f(U)}$, que en este caso significa ${displaystyle {\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}$, donde ${displaystyle mapsto }$ denota el mapeo bajo ${displaystyle F(f)}$, por lo que esto también podría ser escrito como ${displaystyle (F(f))({})={}$. Para los otros valores,${displaystyle {0}mapsto f({0})={f(0)}={\\}\}\\\\} }$ ${displaystyle {1}mapsto f({1})={f(1)}={X}, }$ ${displaystyle {0,1}mapsto f({0,1})={f(0),f(1)}={}, X}$ Note que ${displaystyle f({0,1})}$ consecuentemente genera la topología trivial en ${displaystyle X}$. También note que aunque la función ${displaystyle f}$ en este ejemplo mapeado al conjunto de poder ${displaystyle X}$Eso no necesita ser el caso en general.

Espacio vectorial dual

El mapa que asigna a cada espacio vectorial su espacio dual y a cada mapa lineal su doble o transpose es un functor contravariante de la categoría de todos los espacios vectoriales sobre un campo fijo a sí mismo.

Grupo fundamental

Considere la categoría de espacios topológicos apuntados, es decir, espacios topológicos con puntos distinguidos. Los objetos son pares ()X, x₀), donde X es un espacio topológico y x₀ es un punto en X. Un morfismo de ()X, x₀) a ()Y, Sí.₀) es dado por un mapa continuo f: X → Y con f()x₀) Sí.₀.

A cada espacio topológico X con distinguido punto x₀, uno puede definir el grupo fundamental basado en x₀, denotado π₁()X, x₀). Este es el grupo de clases de bucles homotopy basados en x₀, con la operación del grupo de concatenación. Si f: X → Y es un morfismo de los espacios apuntados, entonces cada bucle en X con punto base x₀ se puede componer con f para ceder un bucle en Y con punto base Sí.₀. Esta operación es compatible con la relación de equivalencia de homotopy y la composición de bucles, y obtenemos un homomorfismo de grupo de π(X, x₀) a π(Y, Sí.₀). Así obtenemos un functor de la categoría de espacios topológicos apuntados a la categoría de grupos.

En la categoría de espacios topológicos (sin punto distinguido), se consideran clases de homotopy de curvas genéricas, pero no pueden ser compuestas a menos que compartan un punto final. Así uno tiene fundamental groupoid en lugar del grupo fundamental, y esta construcción es functorial.

Álgebra de funciones continuas

Un functor contravariante de la categoría de espacios topológicos (con mapas continuos como morfismos) a la categoría de álgebras asociativas reales se da asignando a cada espacio topológico X el álgebra C(X) de todas las funciones continuas de valor real en ese espacio. Cada mapa continuo f: X → Y induce un homomorfismo álgebra C(f) C(Y) → C(X) por la regla C(f)φ) φ ∘ f para todos φ en C(Y).

Grupos de Tangente y Cotangente

El mapa que envía cada manifold diferente a su paquete tangente y cada mapa liso a su derivado es un functor covariante de la categoría de manifolds diferentes a la categoría de paquetes vectoriales.

Hacer estas construcciones puntiagudas da el espacio tangente, un functor covariante de la categoría de manifolds diferenciables puntiagudos a la categoría de espacios vectores reales. Del mismo modo, el espacio cotangente es un functor contravariante, esencialmente la composición del espacio tangente con el espacio dual anterior.

Acciones/representaciones de grupos

Cada grupo G se puede considerar como una categoría con un solo objeto cuyos morfismos son los elementos de G. Un functor de G a Set es entonces nada más que una acción de grupo G en un conjunto particular, es decir, G-set. Del mismo modo, un functor de G a la categoría de espacios vectoriales, Vect_K, es una representación lineal de G. En general, un functor G → C puede considerarse como una "acción" de G sobre un objeto en la categoría C. Si C es un grupo, entonces esta acción es un grupo homomorfismo.

Álgebras de mentira

Asignación a cada real (complejo) Lieja grupo su real (complejo) Lie algebra define un functor.

Productos de tensor

Si C denota la categoría de espacios vectoriales sobre un campo fijo, con mapas lineales como morfismos, luego el producto tensor ${displaystyle Votimes W}$ define un functor C × C → C que es covariante en ambos argumentos.

Functores olvidados

El functor U: Grp → Set que mapea un grupo a su conjunto subyacente y un homomorfismo de grupo a su función subyacente de conjuntos es un functor. Functores como estos, que "olvidan" alguna estructura, se llaman funerarios olvidados. Otro ejemplo es el functor Rng → Ab que mapea un anillo a su grupo abeliano aditivo subyacente. Morfismos en Rng (que trae homomorfismos) se convierten en morfismos en Ab (homomorfismos del grupo abeliano).

Functores gratis

Ir en la dirección opuesta de los funerarios olvidadizos son los funerarios libres. El functor libre F: Set → Grp envía cada conjunto X al grupo libre generado por X. Las funciones se mapean para agrupar homomorfismos entre grupos libres. Existen construcciones gratuitas para muchas categorías basadas en conjuntos estructurados. Ver objeto libre.

Grupos de hommorfismo

A cada par A, B de los grupos abelianos uno puede asignar el grupo abeliano Hom(A, B) que consiste en todos los homomorfismos de grupo de A a B. Este es un functor que es contravariante en el primero y covariante en el segundo argumento, es decir, es un functor Ab^operaciones × Ab → Ab (donde) Ab denota la categoría de grupos abelianos con homomorfismos de grupo). Si f: A₁ → A₂ y g: B₁ → B₂ son morfismos en Ab, entonces el grupo homomorfismo Hom(f, g): Hom(A₂, B₁) → Hom(A₁, B₂) es dado por φ ↦ g ∘ φ ∘ f. Ve a ver a Hom functor.

Functores representables

Podemos generalizar el ejemplo anterior a cualquier categoría C. A cada par X, Y de objetos en C uno puede asignar el conjunto Hom(X, Y) de morfismos de X a Y. Esto define un functor a Set que es contravariante en el primer argumento y covariante en el segundo, es decir, es un functor C^operaciones × C → Set. Si f: X₁ → X₂ y g: Y₁ → Y₂ son morfismos en C, entonces el mapa Hom(f, g) Hom(X₂, Y₁) → Hom(X₁, Y₂) es dado por φ ↦ g ∘ φ ∘ f.

Functores como estos se llaman functores representables. Un objetivo importante en muchos ajustes es determinar si un functor dado es representable.

Relación con otros conceptos categóricos

Sean categorías C y D. La colección de todos los funtores de C a D forma los objetos de una categoría: la categoría de funtores. Los morfismos de esta categoría son transformaciones naturales entre funtores.

Los funtores a menudo se definen por propiedades universales; ejemplos son el producto tensorial, la suma directa y el producto directo de grupos o espacios vectoriales, construcción de grupos y módulos libres, límites directos e inversos. Los conceptos de límite y colímite generalizan varios de los anteriores.

Las construcciones universales a menudo dan lugar a pares de funtores adjuntos.

Implementaciones informáticas

Los functores a veces aparecen en la programación funcional. Por ejemplo, el lenguaje de programación Haskell tiene una clase Functor donde fmap es una función politípica utilizada para mapear funciones (morfismos en Hask, la categoría de tipos de Haskell) entre tipos existentes a funciones entre algunos tipos nuevos.