Plano (geometría)

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En matemáticas, un plano es una superficie bidimensional plana que se extiende indefinidamente. Un plano es el análogo bidimensional de un punto (dimensiones cero), una línea (una dimensión) y un espacio tridimensional. Los planos pueden surgir como subespacios de algún espacio de dimensión superior, como una de las paredes de una habitación, infinitamente extendida, o pueden disfrutar de una existencia independiente por derecho propio, como en el marco de la geometría euclidiana bidimensional.

Cuando se trabaja exclusivamente en un espacio euclidiano bidimensional, se utiliza el artículo definido, por lo que el plano se refiere a todo el espacio. Muchas tareas fundamentales en matemáticas, geometría, trigonometría, teoría de grafos y representación gráfica se realizan en un espacio bidimensional, a menudo en el plano.

Geometría euclidiana

Euclides estableció el primer gran hito del pensamiento matemático, un tratamiento axiomático de la geometría. Seleccionó un pequeño núcleo de términos indefinidos (llamados nociones comunes) y postulados (o axiomas) que luego usó para probar varias declaraciones geométricas. Aunque el plano en su sentido moderno no recibe una definición directa en ninguna parte de los Elementos, puede considerarse como parte de las nociones comunes. Euclides nunca usó números para medir longitudes, ángulos o áreas. Aunque el plano euclidiano no es exactamente lo mismo que el plano cartesiano, son formalmente equivalentes.

Un plano es una superficie reglada

Representación

Esta sección se ocupa únicamente de planos incrustados en tres dimensiones: específicamente, en R.

Determinación por puntos y líneas contenidas

En un espacio euclidiano de cualquier número de dimensiones, un plano está determinado únicamente por cualquiera de los siguientes:

Tres puntos no colineales (puntos que no están en una sola línea).
Una línea y un punto que no está en esa línea.
Dos líneas distintas pero que se cruzan.
Dos líneas distintas pero paralelas.

Propiedades

Las siguientes declaraciones son válidas en el espacio euclidiano tridimensional pero no en dimensiones superiores, aunque tienen análogos de dimensiones superiores:

Dos planos distintos son paralelos o se cortan en una línea.
Una línea es paralela a un plano, lo corta en un solo punto o está contenida en el plano.
Dos rectas distintas perpendiculares al mismo plano deben ser paralelas entre sí.
Dos planos distintos perpendiculares a la misma línea deben ser paralelos entre sí.

Punto-forma normal y forma general de la ecuación de un plano

De manera análoga a la forma en que las líneas en un espacio bidimensional se describen usando una forma punto-pendiente para sus ecuaciones, los planos en un espacio tridimensional tienen una descripción natural usando un punto en el plano y un vector ortogonal a él (el vector normal) para indicar su "inclinación".

Específicamente, sea r₀ el vector de posición de algún punto P ₀ = (x ₀, y ₀, z ₀), y sea n = (a, b, c) un vector distinto de cero. El plano determinado por el punto P ₀ y el vector n está formado por aquellos puntos P, con vector de posición r, tales que el vector trazado de P ₀ a P es perpendicular a n. Recordando que dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es cero, se sigue que el plano deseado se puede describir como el conjunto de todos los puntos r tales que ${displaystyle {boldsymbol {n}}cdot ({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {r}}_{0})=0.}$

El punto aquí significa un producto punto (escalar).Expandido esto se convierte en $a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,$

que es la forma punto normal de la ecuación de un plano. esto es solo una ecuacion lineal $hacha+por+cz+d=0,$

donde ${displaystyle d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0})}$ ,

que es la forma expandida de ${displaystyle -{boldsymbol {n}}cdot {boldsymbol {r}}_{0}.}$

En matemáticas, es una convención común expresar lo normal como un vector unitario, pero el argumento anterior es válido para un vector normal de cualquier longitud distinta de cero.

Por el contrario, se demuestra fácilmente que si a, b, c y d son constantes y a, b y c no son todos cero, entonces la gráfica de la ecuación $hacha+por+cz+d=0,$

es un plano que tiene el vector n = (a, b, c) como normal. Esta ecuación familiar para un plano se llama la forma general de la ecuación del plano.

Así, por ejemplo, una ecuación de regresión de la forma y = d + ax + cz (con b = −1) establece un plano de mejor ajuste en el espacio tridimensional cuando hay dos variables explicativas.

Describir un plano con un punto y dos vectores sobre él

Alternativamente, un plano puede describirse paramétricamente como el conjunto de todos los puntos de la forma ${displaystyle {boldsymbol {r}}={boldsymbol {r}}_{0}+s{boldsymbol {v}}+t{boldsymbol {w}},}$

donde s y t varían sobre todos los números reales, v y w son vectores linealmente independientes que definen el plano, y r₀ es el vector que representa la posición de un punto arbitrario (pero fijo) en el plano. Los vectores vyw se pueden visualizar como vectores que comienzan en r 0_y apuntan en diferentes direcciones a lo largo del plano. Los vectores vyw pueden ser perpendiculares, pero no paralelos .

Describir un plano a través de tres puntos.

Sean p₁ =(x ₁, y ₁, z ₁), p₂ =(x ₂, y ₂, z ₂), y p₃ =(x ₃, y ₃, z ₃) puntos no colineales.

Método 1

El plano que pasa por p₁, p₂ y p₃ se puede describir como el conjunto de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen las siguientes ecuaciones determinantes: ${begin{vmatriz}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_ {1}\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}end{vmatriz}}={begin{vmatriz}x-x_{1 }&y-y_{1}&z-z_{1}\x-x_{2}&y-y_{2}&z-z_{2}\x-x_{3}&y-y_{3}&z-z_ {3}end{vmatriz}}=0.$

Método 2

Para describir el plano mediante una ecuación de la forma $hacha+por+cz+d=0$ , resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: $,ax_{1}+por_{1}+cz_{1}+d=0$ $,ax_{2}+por_{2}+cz_{2}+d=0$ $,ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0.$

Este sistema se puede resolver usando la regla de Cramer y manipulaciones básicas de matrices. Dejar $D={begin{vmatriz}x_{1}&y_{1}&z_{1}\x_{2}&y_{2}&z_{2}\x_{3}&y_{3}&z_{3}end {vmatriz}}$ .

Si D no es cero (para los planos que no pasan por el origen), los valores de a, b y c se pueden calcular de la siguiente manera: $a={frac {-d}{D}}{begin{vmatriz}1&y_{1}&z_{1}\1&y_{2}&z_{2}\1&y_{3}&z_{3}end{ vmatriz}}$ $b={frac {-d}{D}}{begin{vmatriz}x_{1}&1&z_{1}\x_{2}&1&z_{2}\x_{3}&1&z_{3}end{ vmatriz}}$ $c={frac{-d}{D}}{begin{vmatriz}x_{1}&y_{1}&1\x_{2}&y_{2}&1\x_{3}&y_{3}&1 end{vmatriz}}.$

Estas ecuaciones son paramétricas en d. Establecer d igual a cualquier número distinto de cero y sustituirlo en estas ecuaciones producirá un conjunto de soluciones.

Método 3

Este plano también se puede describir mediante la prescripción anterior de "punto y un vector normal". Un vector normal adecuado viene dado por el producto vectorial ${displaystyle {boldsymbol {n}}=({boldsymbol {p}}_{2}-{boldsymbol {p}}_{1})times ({boldsymbol {p}}_{3} -{ símbolo de negrita {p}}_{1}),}$

y el punto r₀ puede tomarse como cualquiera de los puntos dados p₁, p₂ o p₃ (o cualquier otro punto en el plano).

Operaciones

Distancia desde un punto a un plano

Para un plano ${ estilo de visualización Pi: hacha + por + cz + d = 0}$ y un punto ${displaystyle {boldsymbol {p}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ que no necesariamente se encuentra en el plano, la distancia más corta desde ${displaystyle {boldsymbol {p}}_{1}}$ el plano es $D={frac {left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+dright|}{sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2} }}}.$

De ello se deduce que ${displaystyle {boldsymbol {p}}_{1}}$ se encuentra en el plano si y sólo si D=0.

Si ${raíz cuadrada {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1$ significa que a, b y c están normalizados, entonces la ecuación se convierte en ${displaystyle D= |ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|.}$

Otra forma vectorial para la ecuación de un plano, conocida como la forma normal de Hesse, se basa en el parámetro D. Este formulario es: ${displaystyle {boldsymbol {n}}cdot {boldsymbol {r}}-D_{0}=0,}$

donde $boldsymbol{n}$ es un vector unitario normal al plano, ${ símbolo de negrita {r}}$ un vector de posición de un punto del plano y D ₀ la distancia del plano al origen.

Se puede llegar rápidamente a la fórmula general para dimensiones más altas usando notación vectorial. Deje que el hiperplano tenga la ecuación ${displaystyle {boldsymbol {n}}cdot ({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {r}}_{0})=0}$ , donde el $boldsymbol{n}$ es un vector normal y ${displaystyle {boldsymbol {r}}_{0}=(x_{10},x_{20},puntos,x_{N0})}$ es un vector de posición a un punto en el hiperplano. Deseamos la distancia perpendicular al punto ${displaystyle {boldsymbol {r}}_{1}=(x_{11},x_{21},puntos,x_{N1})}$ . El hiperplano también puede ser representado por la ecuación escalar ${displaystyle textstyle sum _{i=1}^{N}a_{i}x_{i}=-a_{0}}$ , para constantes ${ai}}$ . Asimismo, un correspondiente $boldsymbol{n}$ puede representarse como $(a_{1},a_{2},puntos,a_{N})$ . Deseamos la proyección escalar del vector ${displaystyle {boldsymbol {r}}_{1}-{boldsymbol {r}}_{0}}$ en la dirección de $boldsymbol{n}$ . Observando que ${displaystyle {boldsymbol {n}}cdot {boldsymbol {r}}_{0}={boldsymbol {r}}_{0}cdot {boldsymbol {n}}=-a_{0} }$ (como ${displaystyle {boldsymbol {r}}_{0}}$ satisface la ecuación del hiperplano) tenemos ${displaystyle {begin{alineado}D&={frac {|({boldsymbol {r}}_{1}-{boldsymbol {r}}_{0})cdot {boldsymbol {n}} |}{|{boldsymbol {n}}|}}\&={frac {|{boldsymbol {r}}_{1}cdot {boldsymbol {n}}-{boldsymbol {r} }_{0}cdot {boldsymbol {n}}|}{|{boldsymbol {n}}|}}\&={frac {|{boldsymbol {r}}_{1}cdot {boldsymbol {n}}+a_{0}|}{|{boldsymbol {n}}|}}\&={frac {|a_{1}x_{11}+a_{2}x_{ 21}+puntos +a_{N}x_{N1}+a_{0}|}{sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+puntos +a_{N} ^{2}}}}end{alineado}}}$ .

Intersección línea-plano

En geometría analítica, la intersección de una línea y un plano en el espacio tridimensional puede ser el conjunto vacío, un punto o una línea.

Recta de intersección entre dos planos

La recta de intersección entre dos planos ${displaystyle Pi _{1}:{boldsymbol {n}}_{1}cdot {boldsymbol {r}}=h_{1}}$ y ${displaystyle Pi _{2}:{boldsymbol {n}}_{2}cdot {boldsymbol {r}}=h_{2}}$ donde ${displaystyle {boldsymbol {n}}_{i}}$ se normalizan viene dada por ${displaystyle {boldsymbol {r}}=(c_{1}{boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{boldsymbol {n}}_{2})+lambda ({ símbolo de negrita {n}}_{1}times {símbolo de negrita {n}}_{2})}$

donde ${displaystyle c_{1}={frac {h_{1}-h_{2}({boldsymbol {n}}_{1}cdot {boldsymbol {n}}_{2})}{1 -({boldsymbol {n}}_{1}cdot {boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}}$ ${displaystyle c_{2}={frac {h_{2}-h_{1}({boldsymbol {n}}_{1}cdot {boldsymbol {n}}_{2})}{1 -({boldsymbol {n}}_{1}cdot {boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}.}$

Esto se encuentra al notar que la línea debe ser perpendicular a ambos planos normales y, por lo tanto, paralela a su producto vectorial ${displaystyle {boldsymbol {n}}_{1}times {boldsymbol {n}}_{2}}$ (este producto vectorial es cero si y solo si los planos son paralelos y, por lo tanto, no se cruzan o son completamente coincidentes).

Se llega al resto de la expresión encontrando un punto arbitrario en la línea. Para ello, considera que cualquier punto en el espacio puede escribirse como ${displaystyle {boldsymbol {r}}=c_{1}{boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{boldsymbol {n}}_{2}+lambda ({boldsymbol { n}}_{1}times {boldsymbol {n}}_{2})}$ , ya que ${displaystyle {{boldsymbol {n}}_{1},{boldsymbol {n}}_{2},({boldsymbol {n}}_{1}times {boldsymbol {n}} _ {2})}}$ es una base. Deseamos encontrar un punto que esté en ambos planos (es decir, en su intersección), así que inserte esta ecuación en cada una de las ecuaciones de los planos para obtener dos ecuaciones simultáneas que puedan resolverse para $c_{1}$ y $c_{2}$ .

Si asumimos además que ${displaystyle {boldsymbol {n}}_{1}}$ y ${displaystyle {boldsymbol {n}}_{2}}$ son ortonormales, entonces el punto más cercano en la línea de intersección con el origen es ${displaystyle {boldsymbol {r}}_{0}=h_{1}{boldsymbol {n}}_{1}+h_{2}{boldsymbol {n}}_{2}}$ . Si ese no es el caso, entonces se debe utilizar un procedimiento más complejo.

Ángulo diedro

Dados dos planos que se cortan descritos por ${ estilo de visualización Pi _ {1}: a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} z + d_ {1} = 0}$ y ${ estilo de visualización Pi _ {2}: a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} z + d_ {2} = 0}$ , el ángulo diedro entre ellos se define como el ángulo $alfa$ entre sus direcciones normales: $cos alpha ={frac {{hat {n}}_{1}cdot {hat {n}}_{2}}{|{hat {n}}_{1}||{ hat {n}}_{2}|}}={frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{sqrt { a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{raíz cuadrada {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+ c_{2}^{2}}}}}.$

Planos en diversas áreas de las matemáticas.

Además de su estructura geométrica familiar, con isomorfismos que son isometrías con respecto al producto interior habitual, el plano puede verse en varios otros niveles de abstracción. Cada nivel de abstracción corresponde a una categoría específica.

En un extremo, todos los conceptos geométricos y métricos pueden abandonarse para dejar el plano topológico, que puede considerarse como una hoja de goma infinita homotópicamente trivial idealizada, que conserva una noción de proximidad, pero no tiene distancias. El plano topológico tiene el concepto de trayectoria lineal, pero no el concepto de línea recta. El plano topológico, o su equivalente, el disco abierto, es la vecindad topológica básica utilizada para construir superficies (o 2 variedades) clasificadas en topología de baja dimensión. Los isomorfismos del plano topológico son todos biyecciones continuas. El plano topológico es el contexto natural de la rama de la teoría de grafos que trata con grafos planos y resultados como el teorema de los cuatro colores.

El plano también puede verse como un espacio afín, cuyos isomorfismos son combinaciones de traslaciones y aplicaciones lineales no singulares. Desde este punto de vista no hay distancias, pero se conservan la colinealidad y las proporciones de distancias en cualquier línea.

La geometría diferencial ve un plano como una variedad real bidimensional, un plano topológico provisto de una estructura diferencial. Nuevamente, en este caso, no existe la noción de distancia, pero ahora existe un concepto de suavidad de los mapas, por ejemplo, un camino diferenciable o suave (dependiendo del tipo de estructura diferencial aplicada). Los isomorfismos en este caso son biyecciones con el grado de diferenciabilidad elegido.

En la dirección opuesta de la abstracción, podemos aplicar una estructura de campo compatible al plano geométrico, dando lugar al plano complejo y al área principal de análisis complejo. El campo complejo tiene solo dos isomorfismos que dejan fija la recta real, la identidad y la conjugación.

De la misma manera que en el caso real, el plano también puede verse como la variedad compleja más simple, unidimensional (sobre los números complejos), a veces llamada línea compleja. Sin embargo, este punto de vista contrasta marcadamente con el caso del plano como una variedad real bidimensional. Los isomorfismos son todos biyecciones conformes del plano complejo, pero las únicas posibilidades son aplicaciones que corresponden a la composición de una multiplicación por un número complejo y una traslación.

Además, la geometría euclidiana (que tiene curvatura cero en todas partes) no es la única geometría que puede tener el plano. Al plano se le puede dar una geometría esférica usando la proyección estereográfica. Esto se puede considerar como colocar una esfera en el plano (como una pelota en el piso), quitar el punto superior y proyectar la esfera sobre el plano desde este punto). Esta es una de las proyecciones que pueden usarse para hacer un mapa plano de parte de la superficie de la Tierra. La geometría resultante tiene una curvatura positiva constante.

Alternativamente, al plano también se le puede dar una métrica que le dé una curvatura negativa constante dando el plano hiperbólico. La última posibilidad encuentra una aplicación en la teoría de la relatividad especial en el caso simplificado donde hay dos dimensiones espaciales y una dimensión temporal. (El plano hiperbólico es una hipersuperficie temporal en el espacio tridimensional de Minkowski).

Nociones topológicas y geométricas diferenciales

La compactación en un punto del plano es homeomorfa a una esfera (ver proyección estereográfica); el disco abierto es homeomorfo a una esfera a la que le falta el "polo norte"; agregar ese punto completa la esfera (compacta). El resultado de esta compactación es una variedad denominada esfera de Riemann o línea proyectiva compleja. La proyección desde el plano euclidiano a una esfera sin punto es un difeomorfismo e incluso un mapa conforme.

El plano en sí es homeomorfo (y difeomorfo) a un disco abierto. Para el plano hiperbólico tal difeomorfismo es conforme, pero para el plano euclidiano no lo es.

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