Pentadecágono

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Poligono con 15 bordes

En geometría, un pentadecágono o pentakaidecágono o 15 gónos es un polígono de quince lados.

Pentadecágono regular

Un pentadecágono regular está representado por el símbolo de Schläfli {15}.

Un pentadecágono regular tiene ángulos interiores de 156° y con una longitud de lado a, tiene un área dada por

{displaystyle {begin{aligned}A={frac {15}{4}}a^{2}cot {frac {pi }{15}}&={frac {15}{4}}{sqrt {7+2{sqrt {5}}+2{sqrt {15+6{sqrt {5}}}}}}a^{2}\&={frac {15a^{2}}{8}}left({sqrt {3}}+{sqrt {15}}+{sqrt {2}}{sqrt {5+{sqrt {5}}}}right)\&simeq 17.6424,a^{2}.end{aligned}}}

Construcción

Como 15 = 3 × 5, un producto de distintos números primos de Fermat, se puede construir un pentadecágono regular usando un compás y una regla: Las siguientes construcciones de pentadecágonos regulares con un círculo circunstante dado son similares a la ilustración de la proposición XVI en el Libro IV de los Elementos de Euclides.

Compare la construcción según Euclid en esta imagen: Pentadecagon

En la construcción para el círculo dado: ${displaystyle {overline {FG}}={overline {CF}}{text{,}};{overline {AH}}={overline {GM}}{text{,}};|E_{1}E_{6}|}$ es un lado del triángulo equilátero y ${displaystyle |E_{2}E_{5}|}$ es un lado de un pentágono regular. El punto ${displaystyle H}$ divide el radio ${displaystyle {overline {AM}}}$ en relación dorada: ${displaystyle {frac {overline {AH}}{overline {HM}}}={frac {overline {AM}}{overline {AH}}}={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}=Phi approx 1.618{text{.}}}$

Comparado con la primera animación (con líneas verdes) se encuentran en las dos siguientes imágenes los dos arcos circulares (para ángulos 36° y 24°) girados 90° en sentido contrario. No utilizan el segmento ${displaystyle {overline {CG}}}$ , pero más bien utilizan segmento ${displaystyle {overline {MG}}}$ como radio ${displaystyle {overline {AH}}}$ para el segundo arco circular (ángulo 36°).

Una brújula y construcción de hendidura para una longitud lateral determinada. La construcción es casi igual a la del pentágono en un lado dado, entonces también la presentación es exitosa por extensión un lado y genera un segmento, aquí ${displaystyle {overline {FE_{2}}}{text{,}}}$ que se divide según la relación de oro:

${displaystyle {frac {overline {E_{1}E_{2}}}{overline {E_{1}F}}}={frac {overline {E_{2}F}}{overline {E_{1}E_{2}}}}={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}=Phi approx 1.618{text{.}}}$

Circumradius ${displaystyle {overline {E_{2}M}}=R;;;;}$ Longitud lateral ${displaystyle {overline {E_{1}E_{2}}}=a;;;;}$ Angle ${displaystyle DE_{1}M=ME_{2}D=78^{circ }}$

${displaystyle {begin{aligned}R&=acdot {frac {1}{2}}cdot left({sqrt {5+2cdot {sqrt {5}}}}+{sqrt {3}}right)={frac {1}{2}}cdot {sqrt {8+2cdot {sqrt {5}}+2{sqrt {15+6cdot {sqrt {5}}}}}}cdot a\&={frac {sin(78^{circ })}{sin(24^{circ })}}cdot aapprox 2.40486cdot aend{aligned}}}$

Construcción para una longitud lateral determinada

Construcción para una longitud lateral determinada como animación,

{displaystyle {overline {E_{2}M}}={overline {CG}}}

Simetría

El pentadecágono regular tiene simetría diédrica Dih₁₅, de orden 30, representada por 15 líneas de reflexión. Dih₁₅ tiene 3 subgrupos diédricos: Dih₅, Dih₃ y Dih₁. Y cuatro simetrías cíclicas más: Z₁₅, Z₅, Z₃ y Z₁, con Z_n representa la simetría rotacional π/n radianes.

En el pentadecágono, hay 8 simetrías distintas. John Conway etiqueta estas simetrías con una letra y el orden de la simetría sigue a la letra. Da r30 para la simetría reflexiva completa, Dih₁₅. Da d (diagonal) con líneas de reflexión a través de los vértices, p con líneas de reflexión a través de los bordes (perpendicular), y para el pentadecágono de lados impares i con líneas especulares a través de vértices y aristas, y g para simetría cíclica. a1 no etiqueta simetría.

Estas simetrías inferiores permiten grados de libertad al definir pentadecágonos irregulares. Sólo el subgrupo g15 no tiene grados de libertad pero puede verse como aristas dirigidas.

Pentadecagramos

Hay tres polígonos estrella regulares: {15/2}, {15/4}, {15/7}, construidos a partir de los mismos 15 vértices de un pentadecagon regular, pero conectados saltando cada segundo, cuarto o séptimo vértice respectivamente.

También hay tres figuras de estrellas regulares: {15/3}, {15/5}, {15/6}, siendo la primera un compuesto de tres pentágonos, el segundo un compuesto de cinco triángulos equiláteros y el tercero un compuesto de tres pentagramas.

La figura compuesta {15/3} puede verse en términos generales como el equivalente bidimensional del compuesto 3D de cinco tetraedros.

Imagen	{15/2}	{15/3} o 3{5}	{15/4}	{15/5} o 5{3}	{15/6} o 3{5/2}	{15/7}
Ángulo interior	132°	108°	84°	60°	36°	12°

Pentadecágonos isogonales

Los truncamientos más profundos del pentadecágono y pentadecagramas regulares pueden producir formas poligonales de estrella intermedias isogonales (transitivas a vértices) con vértices espaciados iguales y dos longitudes de aristas.

truncaciones verticales-transitivas del pentadecagón
Quasiregular	Isogonal	Quasiregular
t{15/2}={30/2}		t{15/13}={30/13}
t{15/7} = {30/7}		t{15/8}={30/8}
t{15/11}={30/22}		t{15/4}={30/4}

Polígonos de Petrie

El pentadecagón regular es el polígono Petrie para algunos politópicos de mayor dimensión, proyectado en una proyección ortogonal delgado:

14-simplex (14D)

Usos

Un triángulo regular, decagon y pentadecagon puede llenar completamente un vértice plano. Sin embargo, debido al número impar del triángulo de los lados, las figuras no pueden alternar alrededor del triángulo, por lo que el vértice no puede producir un revestimiento semiregular.

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