Peine de dirac

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Distribución periódica ("función") del muestreo de Dirac delta

En matemáticas, un peine de Dirac (también conocido como función sha, tren de impulsos o función de muestreo) es una función periódica con la fórmula

{displaystyle operatorname {text{Ш}} _{ T}(t):=sum _{k=-infty }^{infty }delta (t-kT)}

{displaystyle T}

tk.

{displaystyle delta }

{displaystyle delta }

dientes

El símbolo ${displaystyle operatorname {text{Ш}} ,,(t)}$ , donde se omite el período, representa un peine Dirac del período unitario. Esto implica

{displaystyle operatorname {text{Ш}} _{ T}(t) ={frac {1}{T}}operatorname {text{Ш}} !!!left({frac {t}{T}}right).}

Debido a que la función peine de Dirac es periódica, se puede representar como una serie de Fourier basada en el núcleo de Dirichlet:

{displaystyle operatorname {text{Ш}} _{ T}(t)={frac {1}{T}}sum _{n=-infty }^{infty }e^{i2pi n{frac {t}{T}}}.}

La función de peine de Dirac permite representar fenómenos continuos y discretos, como muestreo y aliasing, en un único marco de análisis continuo de Fourier en distribuciones templadas, sin ninguna referencia a series de Fourier. La transformada de Fourier de un peine de Dirac es otro peine de Dirac. Debido al teorema de convolución sobre distribuciones templadas que resulta ser la fórmula de suma de Poisson, en el procesamiento de señales, el peine de Dirac permite modelar el muestreo por multiplicación con él, pero también permite modelar la periodización por convolución con él.

Identidad de Dirac-Comb

El peine Dirac se puede construir de dos maneras, ya sea usando el comb operador (amplificador de funcionamiento) aplicado a la función que es constantemente ${displaystyle 1}$ , o, alternativamente, utilizando el rep operador (perforación actual) aplicado a la Dirac delta ${displaystyle delta }$ . Formalmente, este rendimiento (Woodward 1953; Brandwood 2003)

{displaystyle operatorname {comb} _{T}{1}=operatorname {text{Ш}} _{T}=operatorname {rep} _{T}{delta },}

{displaystyle operatorname {comb} _{T}{f(t)}triangleq sum _{k=-infty }^{infty },f(kT),delta (t-kT)}

{displaystyle operatorname {rep} _{T}{g(t)}triangleq sum _{k=-infty }^{infty },g(t-kT).}

En el procesamiento de señales, esta propiedad de una mano permite muestrear una función ${displaystyle f(t)}$ por multiplicación con ${displaystyle operatorname {text{Ш}} _{ T}}$ , y por otro lado también permite la periodización de ${displaystyle f(t)}$ por convolution con ${displaystyle operatorname {text{Ш}} _{T}}$ (Bracewell 1986). La identidad de Dirac comb es un caso particular del Teorema Convolution para distribuciones templadas.

Escalado

La propiedad de escalado del peine Dirac sigue de las propiedades de la función Dirac delta. Desde ${displaystyle delta (t)={frac {1}{a}} delta !left({frac {t}{a}}right)}$ para números reales positivos ${displaystyle a}$ , sigue que:

{displaystyle operatorname {text{Ш}} _{ T}left(tright)={frac {1}{T}}operatorname {text{Ш}} ,!left({frac {t}{T}}right),}

{displaystyle operatorname {text{Ш}} _{ aT}left(tright)={frac {1}{aT}}operatorname {text{Ш}} ,!left({frac {t}{aT}}right)={frac {1}{a}}operatorname {text{Ш}} _{ T}!!left({frac {t}{a}}right).}

{displaystyle a}

{displaystyle operatorname {text{Ш}} _{ T}}

Serie Fourier

Está claro que ${displaystyle operatorname {text{Ш}} _{ T}(t)}$ es periódica con el período ${displaystyle T}$ . Eso es,

{displaystyle operatorname {text{Ш}} _{ T}(t+T)=operatorname {text{Ш}} _{ T}(t)}

{displaystyle operatorname {text{Ш}} _{ T}(t)=sum _{n=-infty }^{+infty }c_{n}e^{i2pi n{frac {t}{T}}},}

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}c_{n}&={frac {1}{T}}int _{t_{0}}^{t_{0}+T}operatorname {text{Ш}} _{ T}(t)e^{-i2pi n{frac {t}{T}}},dtquad (-infty <t_{0}cn=1T∫ ∫ t0t0+T.T⁡ ⁡ ()t)e− − i2π π ntTdt()− − JUEGO JUEGO c)t0c)+JUEGO JUEGO )=1T∫ ∫ − − T2T2.T⁡ ⁡ ()t)e− − i2π π ntTdt=1T∫ ∫ − − T2T2δ δ ()t)e− − i2π π ntTdt=1Te− − i2π π n0T=1T.{displaystyle {begin{aligned}c_{n} {1}{T}int ¿Por qué? No. {T}},dtquad (-infty ♪♪ {0}tratado+infty)\\cH00={frac {1}{T}int _{-{frac {T}{2}} {fnMicroc} {T}{2}operatorname {text{¶}} _{ T}(t)e^{-i2pi No. {T},dt\\fnMicroc {1}{T}int _{-{frac {T}{2}} {frac {2}delta (t)e^{-i2pi n{frac} {T},dt\\fnMicroc {1}}e^{-i2pi} ¿Qué? {1} {T}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}c_{n}&={frac {1}{T}}int _{t_{0}}^{t_{0}+T}operatorname {text{Ш}} _{ T}(t)e^{-i2pi n{frac {t}{T}}},dtquad (-infty <t_{0}

Todos los coeficientes de Fourier son 1/T, lo que da como resultado

{displaystyle operatorname {text{Ш}} _{ T}(t)={frac {1}{T}}sum _{n=-infty }^{infty }!!e^{i2pi n{frac {t}{T}}}.}

Cuando el período es una unidad, esto simplifica

{displaystyle operatorname {text{Ш}} !(x)=sum _{n=-infty }^{infty }!!e^{i2pi nx}.}

Observación: Más rigurosamente, la integración de Riemann o Lebesgue sobre cualquier producto que incluya una función delta de Dirac produce cero. Por esta razón, la integración anterior (determinación de los coeficientes de la serie de Fourier) debe entenderse "en el sentido de funciones generalizadas". Esto significa que, en lugar de usar la función característica de un intervalo aplicada al peine de Dirac, se usa la llamada función unitaria de Lighthill como función de corte; ver Lighthill 1958, p.62, Teorema 22 para más detalles.

Transformada de Fourier

La transformación Fourier de un peine Dirac es también un peine Dirac. Para la transformación de Fourier ${displaystyle {mathcal {F}}}$ expresado en el dominio de frecuencia (Hz) el comb Dirac ${displaystyle operatorname {text{Ш}} _{T}}$ período de sesiones ${displaystyle T}$ se transforma en un combo Dirac reescalado de período ${displaystyle 1/T,}$ i.e. for

{displaystyle {mathcal {F}}left[fright](xi)=int _{-infty }^{infty }dtf(t)e^{-2pi ixi t},}

{displaystyle {mathcal {F}}left[operatorname {text{Ш}} _{T}right](xi)={frac {1}{T}}sum _{k=-infty }^{infty }delta (xi -k{frac {1}{T}})={frac {1}{T}}operatorname {text{Ш}} _{ {frac {1}{T}}}(xi)~}

es proporcional a otro peine Dirac, pero con período ${displaystyle 1/T}$ en dominio de frecuencia (radian/s). El peine Dirac ${displaystyle operatorname {text{Ш}} }$ período unitario ${displaystyle T=1}$ es por lo tanto una función eigen ${displaystyle {mathcal {F}}}$ al eigenvalue ${displaystyle 1.}$

Este resultado se puede establecer (Bracewell 1986) considerando las respectivas transformaciones de Fourier ${displaystyle S_{tau }(xi)={mathcal {F}}[s_{tau }](xi)}$ de la familia de funciones ${displaystyle s_{tau }(x)}$ definidas por

{displaystyle s_{tau }(x)=tau ^{-1}e^{-pi tau ^{2}x^{2}}sum _{n=-infty }^{infty }e^{-pi tau ^{-2}(x-n)^{2}}.}

Desde ${displaystyle s_{tau }(x)}$ es una serie convergente de funciones gausianas, y los gais se transforman en Gausios, cada uno de sus respectivas transformaciones de Fourier ${displaystyle S_{tau }(xi)}$ también resulta en una serie de Gaussians, y el cálculo explícito establece que

{displaystyle S_{tau }(xi)=tau ^{-1}sum _{m=-infty }^{infty }e^{-pi tau ^{2}m^{2}}e^{-pi tau ^{-2}(xi -m)^{2}}.}

Funciones ${displaystyle s_{tau }(x)}$ y ${displaystyle S_{tau }(xi)}$ son así cada uno parecido a una función periódica que consiste en una serie de espigas equidistas gausianas ${displaystyle tau ^{-1}e^{-pi tau ^{-2}(x-n)^{2}}}$ y ${displaystyle tau ^{-1}e^{-pi tau ^{-2}(xi -m)^{2}}}$ cuyos respectivos "heights" (pre-factores) se determinan disminuyendo lentamente las funciones de sobre Gaussian que caen a cero en el infinito. Note que en el límite ${displaystyle tau rightarrow 0}$ cada punto Gaussiano se convierte en un impulso Dirac infinitamente agudo centrado respectivamente en ${displaystyle x=n}$ y ${displaystyle xi =m}$ para cada respectivo ${displaystyle n}$ y ${displaystyle m}$ , y por lo tanto también todos los prefactores ${displaystyle e^{-pi tau ^{2}m^{2}}}$ dentro ${displaystyle S_{tau }(xi)}$ eventualmente ser indistinguible de ${displaystyle e^{-pi tau ^{2}xi ^{2}}}$ . Por lo tanto, las funciones ${displaystyle s_{tau }(x)}$ y sus respectivas transformaciones de Fourier ${displaystyle S_{tau }(xi)}$ converger a la misma función y esta función límite es una serie de picos equidistantes infinitos Gaussian, cada punto multiplicado por el mismo prefactor de uno, es decir, el peine Dirac para el período de unidad:

{displaystyle lim _{tau rightarrow 0}s_{tau }(x)=operatorname {text{Ш}} ({x}),}

{displaystyle lim _{tau rightarrow 0}S_{tau }(xi)=operatorname {text{Ш}} ({xi }).}

Desde ${displaystyle S_{tau }={mathcal {F}}[s_{tau }]}$ , obtenemos en este límite el resultado a ser demostrado:

{displaystyle {mathcal {F}}[operatorname {text{Ш}} ]=operatorname {text{Ш}}.}

El resultado correspondiente para el período ${displaystyle T}$ se puede encontrar explotando la propiedad escalada de la transformación Fourier,

{displaystyle {mathcal {F}}[operatorname {text{Ш}} _{T}]={frac {1}{T}}operatorname {text{Ш}} _{frac {1}{T}}.}

Otra manera de establecer que el peine Dirac se transforma en otro peine Dirac comienza examinando continuos transformaciones Fourier de funciones periódicas en general, y luego se especializa en el caso del peine Dirac. Para mostrar también que la regla específica depende de la convención para la transformación Fourier, esto se mostrará utilizando frecuencia angular con ${displaystyle omega =2pi xi:}$ para cualquier función periódica ${displaystyle f(t)=f(t+T)}$ su transformación Fourier

{displaystyle {mathcal {F}}left[fright](omega)=F(omega)=int _{-infty }^{infty }dtf(t)e^{-iomega t}}

obedece:

{displaystyle F(omega)(1-e^{iomega T})=0}

porque Fourier transforming ${displaystyle f(t)}$ y ${displaystyle f(t+T)}$ conduce a ${displaystyle F(omega)}$ y ${displaystyle F(omega)e^{iomega T}.}$ Esta ecuación implica que ${displaystyle F(omega)=0}$ casi en todas partes con las únicas excepciones posibles ${displaystyle omega =komega _{0},}$ con ${displaystyle omega _{0}=2pi /T}$ y ${displaystyle kin mathbb {Z}.}$ Al evaluar la transformación de Fourier ${displaystyle F(komega _{0})}$ los correspondientes tiempos de expresión de la serie Fourier los resultados correspondientes de la función delta. Para el caso especial de la transformación Fourier del peine Dirac, la serie Fourier integral durante un solo período cubre sólo la función Dirac en el origen y da así ${displaystyle 1/T}$ para cada uno ${displaystyle k.}$ Esto se puede resumir interpretando el peine Dirac como un límite del núcleo Dirichlet tal que, en las posiciones ${displaystyle omega =komega _{0},}$ todos los exponenciales en la suma ${displaystyle sum nolimits _{m=-infty }^{infty }e^{pm iomega mT}}$ apuntar a la misma dirección y añadir constructivamente. En otras palabras, la continua transformación Fourier de funciones periódicas conduce a

{displaystyle F(omega)=2pi sum _{k=-infty }^{infty }c_{k}delta (omega -komega _{0})}

con

{displaystyle omega _{0}=2pi /T,}

{displaystyle c_{k}={frac {1}{T}}int _{-T/2}^{+T/2}dtf(t)e^{-i2pi kt/T}.}

Coeficientes de la serie Fourier ${displaystyle c_{k}=1/T}$ para todos ${displaystyle k}$ cuando ${displaystyle frightarrow operatorname {text{Ш}} _{T}}$ , es decir.

{displaystyle {mathcal {F}}left[operatorname {text{Ш}} _{T}right](omega)={frac {2pi }{T}}sum _{k=-infty }^{infty }delta (omega -k{frac {2pi }{T}})}

es otro peine Dirac, pero con período ${displaystyle 2pi /T}$ en el dominio de frecuencia angular (radian/s).

Como se mencionó, la regla específica depende de la convención para la transformación Fourier utilizada. De hecho, al utilizar la propiedad de escalado de la función Dirac delta, la anterior puede ser reexpresada en el dominio ordinario de frecuencia (Hz) y se obtiene de nuevo:

{displaystyle operatorname {text{Ш}} _{ T}(t){stackrel {mathcal {F}}{longleftrightarrow }}{frac {1}{T}}operatorname {text{Ш}} _{ {frac {1}{T}}}(xi)=sum _{n=-infty }^{infty }!!e^{-i2pi xi nT},}

de modo que el período unitario peine de Dirac se transforme en sí mismo:

{displaystyle operatorname {text{Ш}} !(t){stackrel {mathcal {F}}{longleftrightarrow }}operatorname {text{Ш}} !(xi).}

Por último, el peine Dirac es también una función eigena de la transformación continua unitaria Fourier en espacio de frecuencia angular al eigenvalue 1 cuando ${displaystyle T={sqrt {2pi }}}$ porque para la transformación unitaria Fourier

{displaystyle {mathcal {F}}left[fright](omega)=F(omega)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{infty }dtf(t)e^{-iomega t},}

lo anterior puede reexpresarse como

{displaystyle operatorname {text{Ш}} _{ T}(t){stackrel {mathcal {F}}{longleftrightarrow }}{frac {sqrt {2pi }}{T}}operatorname {text{Ш}} _{ {frac {2pi }{T}}}(omega)={frac {1}{sqrt {2pi }}}sum _{n=-infty }^{infty }!!e^{-iomega nT}.}

Muestreo y alias

Multiplicar cualquier función por un peine de Dirac la transforma en un tren de impulsos con integrales iguales al valor de la función en los nodos del peine. Esta operación se utiliza frecuentemente para representar el muestreo.

{displaystyle (operatorname {text{Ш}} _{ T}x)(t)=sum _{k=-infty }^{infty }!!x(t)delta (t-kT)=sum _{k=-infty }^{infty }!!x(kT)delta (t-kT).}

Debido a la propiedad de autotransformación del peine de Dirac y al teorema de convolución, esto corresponde a la convolución con el peine de Dirac en el dominio de la frecuencia.

{displaystyle operatorname {text{Ш}} _{ T}x {stackrel {mathcal {F}}{longleftrightarrow }} {frac {1}{T}}operatorname {text{Ш}} _{frac {1}{T}}*X}

Since convolution with a delta function ${displaystyle delta (t-kT)}$ es equivalente a cambiar la función por ${displaystyle kT}$ , la convolución con el peine Dirac corresponde a la replicación o sumación periódica:

{displaystyle (operatorname {text{Ш}} _{ {frac {1}{T}}}!*X)(f)=!sum _{k=-infty }^{infty }!!X!left(f-{frac {k}{T}}right)}

Esto conduce a una formulación natural del teorema de muestreo Nyquist–Shannon. Si el espectro de la función ${displaystyle x}$ no contiene frecuencias superiores a B (es decir, su espectro es no cero solamente en el intervalo ${displaystyle (-B,B)}$ ) luego muestras de la función original a intervalos ${displaystyle {tfrac {1}{2B}}}$ son suficientes para reconstruir la señal original. Suficiente para multiplicar el espectro de la función muestrada por una función rectángulo adecuada, que es equivalente a la aplicación de un filtro de bajapass de pared de ladrillo.

{displaystyle operatorname {text{Ш}} _{ !{frac {1}{2B}}}x {stackrel {mathcal {F}}{longleftrightarrow }} 2B,operatorname {text{Ш}} _{ 2B}*X}

{displaystyle {frac {1}{2B}}Pi left({frac {f}{2B}}right)(2B,operatorname {text{Ш}} _{ 2B}*X)=X}

En el dominio del tiempo, esta "multiplicación con la función del rect" equivale a "convolución con la función sinc" (Woodward 1953, p.33-34). Por lo tanto, restaura la función original de sus muestras. Esto se conoce como la fórmula de interpolación Whittaker-Shannon.

Observación: Más rigurosamente, la multiplicación de la función rect con una función generalizada, como el peine de Dirac, falla. Esto se debe a resultados indeterminados del producto de multiplicación en los límites del intervalo. Como solución alternativa, se utiliza una función unitaria de Lighthill en lugar de la función rect. Es suave en los límites de los intervalos, por lo que produce determinados productos de multiplicación en todas partes; consulte Lighthill 1958, p.62, Teorema 22 para más detalles.

Uso en estadísticas direccionales

En estadísticas direccionales, el peine Dirac del período ${displaystyle 2pi }$ es equivalente a una función envuelta Dirac delta y es el análogo de la función Dirac delta en estadísticas lineales.

En estadísticas lineales, la variable aleatoria ${displaystyle (x)}$ se distribuye generalmente sobre la línea real-número, o algún subconjunto, y la densidad de probabilidad de ${displaystyle x}$ es una función cuyo dominio es el conjunto de números reales, y cuya parte integral de ${displaystyle -infty }$ a ${displaystyle +infty }$ es unidad. En estadísticas direccionales, la variable aleatoria ${displaystyle (theta)}$ se distribuye sobre el círculo de la unidad, y la densidad de probabilidad de ${displaystyle theta }$ es una función cuyo dominio es algún intervalo de los números reales de longitud ${displaystyle 2pi }$ y cuya parte integral a lo largo de ese intervalo es la unidad. Así como la parte integral del producto de una función Dirac delta con una función arbitraria sobre la línea real-número produce el valor de esa función a cero, por lo que la parte integral del producto de un combo Dirac de período ${displaystyle 2pi }$ con una función arbitraria del período ${displaystyle 2pi }$ sobre el círculo de la unidad produce el valor de esa función a cero.

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