Parametrización (geometría)

En matemáticas, y más concretamente en geometría, parametrización (o parametrización; también parametrización, parametrización) es el proceso de encontrar ecuaciones paramétricas de una curva, una superficie o, más generalmente, una variedad o variedad, definida por una ecuación implícita. El proceso inverso se llama implicitización. "Para parametrizar" por sí solo significa "expresar en términos de parámetros".

La parametrización es un proceso matemático que consiste en expresar el estado de un sistema, proceso o modelo en función de unas cantidades independientes llamadas parámetros. El estado del sistema generalmente está determinado por un conjunto finito de coordenadas y, por tanto, la parametrización consiste en una función de varias variables reales para cada coordenada. El número de parámetros es el número de grados de libertad del sistema.

Por ejemplo, la posición de un punto que se mueve en una curva en el espacio tridimensional está determinada por el tiempo necesario para alcanzar el punto partiendo de un origen fijo. Si x, y, z son las coordenadas del punto, el movimiento es así descrito por una ecuación paramétrica

x=f()t)Sí.=g()t)z=h()t),{displaystyle {begin{aligned}x limitada=f(t)\y simultáneamente=g(t)\z pulmonar=h(t),end{aligned}}

donde t es el parámetro y denota la hora. Esta ecuación paramétrica determina completamente la curva, sin necesidad de ninguna interpretación de t como tiempo, y por eso se denomina ecuación paramétrica de la curva (a veces esto se abrevia diciendo que se tiene una curva paramétrica). De manera similar, se obtiene la ecuación paramétrica de una superficie considerando funciones de dos parámetros t y u.

No unicidad

Las parametrizaciones generalmente no son únicas. El objeto tridimensional ordinario se puede parametrizar (o "coordinatizar") igualmente eficientemente con coordenadas cartesianas (x, y, z), coordenadas polares cilíndricas (ρ, φ, z), coordenadas esféricas (r, φ, θ) u otros sistemas de coordenadas.

Similarly, the color space of human trichromatic color vision can be parameterized in terms of the three colors red, green and blue, RGB, or with cyan, magenta, yellow and black, CMYK.

Dimensionalidad

Generalmente, el número mínimo de parámetros necesarios para describir un modelo u objeto geométrico es igual a su dimensión, y el alcance de los parámetros (dentro de sus rangos permitidos) es el espacio de parámetros. Aunque un buen conjunto de parámetros permite la identificación de cada punto en el espacio de objetos, puede ser que, para una parametrización dada, diferentes valores de parámetros puedan referirse al mismo punto. Estas asignaciones son sobreyectivas pero no inyectivas. Un ejemplo es el par de coordenadas polares cilíndricas (ρ, φ, z) y (ρ, φ + 2π, z).

Invariancia

Como se indicó anteriormente, existe arbitrariedad en la elección de los parámetros de un determinado modelo, objeto geométrico, etc. A menudo, se desea determinar propiedades intrínsecas de un objeto que no dependen de esta arbitrariedad, que por lo tanto son independientes de cualquier elección particular de parámetros. Este es particularmente el caso de la física, donde la invariancia de parametrización (o "invariancia de reparametrización") es un principio rector en la búsqueda de teorías físicamente aceptables (particularmente en la relatividad general).

Por ejemplo, mientras que la ubicación de un punto fijo en alguna línea curva puede estar dada por un conjunto de números cuyos valores dependen de cómo se parametriza la curva, la longitud (apropiadamente definida) de la curva entre dos dichos puntos fijos serán independientes de la elección particular de parametrización (en este caso: el método mediante el cual un punto arbitrario en la línea se indexa de forma única). La longitud de la curva es, por tanto, una cantidad invariable en la parametrización. En tales casos, la parametrización es una herramienta matemática empleada para extraer un resultado cuyo valor no depende ni hace referencia a los detalles de la parametrización. De manera más general, la invariancia de parametrización de una teoría física implica que la dimensionalidad o el volumen del espacio de parámetros es mayor de lo necesario para describir la física (las cantidades de importancia física) en cuestión.

Aunque la teoría de la relatividad general se puede expresar sin referencia a un sistema de coordenadas, los cálculos de cantidades físicas (es decir, observables), como la curvatura del espacio-tiempo, invariablemente implican la introducción de un sistema de coordenadas particular para hacer referencia a los puntos del espacio-tiempo involucrados. en el cálculo. Entonces, en el contexto de la relatividad general, la elección del sistema de coordenadas puede considerarse como un método de 'parametrizar' el espacio-tiempo y la insensibilidad del resultado de un cálculo de una cantidad físicamente significativa a esa elección pueden considerarse como un ejemplo de invariancia de parametrización.

Como otro ejemplo, se dice que las teorías físicas cuyas cantidades observables dependen sólo de las distancias relativas (la relación de distancias) entre pares de objetos son invariantes de escala. En tales teorías, cualquier referencia en el curso de un cálculo a una distancia absoluta implicaría la introducción de un parámetro respecto del cual la teoría es invariante.

Ejemplos

• Superficie del niño
• McCullagh parametrization of the Cauchy distributions
• Parametrization (climate), the parametric representation of general circulation models and numerical weather prediction
• Perfil de la esfera isotérmica
• Modelo Lambda-CDM, el modelo estándar de la cosmología Big Bang

Técnicas

• Parametrización de Feynman
• Parametrización de Schwinger
• Modelo sólido
• Inyección de dependencia