Paralelo (geometría)

En geometría, las líneas paralelas son líneas rectas infinitas coplanares que no se cruzan en ningún punto. Los planos paralelos son planos en el mismo espacio tridimensional que nunca se encuentran. Las Curvas paralelas son curvas que no se tocan ni se cruzan y mantienen una distancia mínima fija. En el espacio euclidiano tridimensional, también se dice que una línea y un plano que no comparten un punto son paralelos. Sin embargo, dos líneas no coplanares se denominan líneas sesgadas. Los segmentos de recta y los vectores euclidianos son paralelos si tienen la misma dirección (no necesariamente la misma longitud).

Las líneas paralelas son el tema del postulado de las paralelas de Euclides. El paralelismo es principalmente una propiedad de las geometrías afines y la geometría euclidiana es un ejemplo especial de este tipo de geometría. En algunas otras geometrías, como la geometría hiperbólica, las líneas pueden tener propiedades análogas a las que se hace referencia como paralelismo.

Símbolo

El símbolo paralelo es ∥ ∥ {displaystyle parallel }. Por ejemplo, AB∥ ∥ CD{displaystyle ABparallel CD} indica que la línea AB es paralelo a la línea CD.

En el conjunto de caracteres Unicode, los signos "paralelos" y "no paralelos" tienen códigos U+2225 (∥) y U+2226 (∦), respectivamente. Además, U+22D5 (⋕) representa la relación "igual y paralela a".

El mismo símbolo se utiliza para una función binaria en ingeniería eléctrica (el operador paralelo). Se distingue de los corchetes doble-vertical-line, U+2016 (prime), que indican una norma (por ejemplo. . . x. . {displaystyle Toddxfnso}), así como de la lógica o el operador (||) en varios idiomas de programación.

Paralelismo euclidiano

Dos líneas en un avión

Condiciones de paralelismo

Dadas líneas rectas paralelas l y m en el espacio Euclideano, las siguientes propiedades son equivalentes:

1. Cada punto en línea m se encuentra exactamente a la misma distancia (mínimo) de la línea l ()líneas equidistas).
2. Línea m está en el mismo plano que la línea l pero no intersecte l (Reconozca que las líneas se extienden al infinito en cualquier dirección).
3. Cuando las líneas m y l ambos están intersectados por una tercera línea recta (a transversal) en el mismo plano, los ángulos correspondientes de intersección con la transversal son congruentes.

Dado que estas son propiedades equivalentes, cualquiera de ellas podría tomarse como la definición de líneas paralelas en el espacio euclidiano, pero la primera y la tercera propiedades implican medición y, por lo tanto, son "más complicadas" que el segundo. Por tanto, la segunda propiedad es la que suele elegirse como propiedad definitoria de las rectas paralelas en la geometría euclidiana. Las otras propiedades son entonces consecuencias del Postulado Paralelo de Euclides.

Historia

La definición de líneas paralelas como un par de líneas rectas en un plano que no se encuentran aparece como Definición 23 en el Libro I de los Elementos de Euclides. Otros griegos discutieron definiciones alternativas, a menudo como parte de un intento de probar el postulado paralelo. Proclo atribuye a Posidonio una definición de líneas paralelas como líneas equidistantes y cita a Gémino en un tono similar. Simplicio también menciona a Posidonio. definición así como su modificación por parte del filósofo Aganis.

A finales del siglo XIX, en Inglaterra, los Elementos de Euclides todavía eran el libro de texto estándar en las escuelas secundarias. El tratamiento tradicional de la geometría estaba siendo presionado para cambiar por los nuevos desarrollos en la geometría proyectiva y la geometría no euclidiana, por lo que en ese momento se escribieron varios libros de texto nuevos para la enseñanza de la geometría. Una diferencia importante entre estos textos reformistas, tanto entre ellos como entre ellos y Euclides, es el tratamiento de las líneas paralelas. Estos textos reformistas no estuvieron exentos de críticos y uno de ellos, Charles Dodgson (también conocido como Lewis Carroll), escribió una obra, Euclid y sus rivales modernos, en la que se critican estos textos.

Uno de los primeros libros de texto reformistas fue Geometría elemental de James Maurice Wilson de 1868. Wilson basó su definición de líneas paralelas en la noción primitiva de dirección. Según Wilhelm Killing, la idea se remonta a Leibniz. Wilson, sin definir dirección ya que es un primitivo, usa el término en otras definiciones como su sexta definición, "Dos líneas rectas que se cruzan tienen direcciones diferentes, y la diferencia de sus direcciones es el ángulo entre ellos." Wilson (1868, p. 2) En la definición 15 introduce líneas paralelas de esta manera; "Las líneas rectas que tienen la misma dirección, pero que no son partes de la misma línea recta, se llaman líneas paralelas." Wilson (1868, p. 12) Augustus De Morgan revisó este texto y lo declaró un fracaso, principalmente sobre la base de esta definición y la forma en que Wilson la usó para probar cosas sobre líneas paralelas. Dodgson también dedica una gran parte de su obra (Acto II, Escena VI § 1) a denunciar el tratamiento de los paralelos por parte de Wilson. Wilson eliminó este concepto de la tercera edición y posteriores de su texto.

A otras propiedades, propuestas por otros reformadores, utilizadas como sustitutos de la definición de líneas paralelas, no les fue mucho mejor. La principal dificultad, como señaló Dodgson, era que para utilizarlos de esta manera era necesario añadir axiomas adicionales al sistema. La definición de línea equidistante de Posidonio, expuesta por Francis Cuthbertson en su texto de 1874 Geometría euclidiana adolece del problema de que se debe demostrar que los puntos que se encuentran a una distancia fija dada en un lado de una línea recta formar una línea recta. Esto no se puede probar y se debe suponer que es cierto. Los ángulos correspondientes formados por una propiedad transversal, utilizada por W. D. Cooley en su texto de 1860, Los elementos de la geometría, simplificados y explicados requiere una prueba del hecho de que si una transversal corta un par de rectas en congruentes ángulos correspondientes entonces todas las transversales deben hacerlo. Nuevamente, se necesita un nuevo axioma para justificar esta afirmación.

Construcción

Las tres propiedades anteriores conducen a tres métodos diferentes de construcción de líneas paralelas.

• 
  Propiedad 1: Línea m tiene en todas partes la misma distancia a la línea l.
• 
  Propiedad 2: Tome una línea aleatoria a través de a que intersecta l dentro x. Punto de movimiento x al infinito.
• 
  Propiedad 3: Ambos l y m compartir una línea transversal a que los intersecciona a 90°.

Distancia entre dos líneas paralelas

Debido a que las líneas paralelas en un plano euclidiano son equidistantes, existe una distancia única entre las dos líneas paralelas. Dadas las ecuaciones de dos rectas paralelas no verticales ni horizontales,

Sí.=mx+b1{displaystyle Y=mx+b_{1}

Sí.=mx+b2,{displaystyle Y=mx+b_{2},}

La distancia entre las dos líneas se puede encontrar ubicando dos puntos (uno en cada línea) que se encuentran en una perpendicular común a las líneas paralelas y calculando la distancia entre ellas. Como las rectas tienen pendiente m, una perpendicular común tendría pendiente −1/m y podemos tomar la recta con ecuación y = −x/m como perpendicular común. Resuelve los sistemas lineales.

{}Sí.=mx+b1Sí.=− − x/m{displaystyle {begin{cases}y=mx+b_{1}y=-x/mend{cases}}

y

{}Sí.=mx+b2Sí.=− − x/m{displaystyle {begin{cases}y=mx+b_{2}y=-x/mend{cases}}

para conseguir las coordenadas de los puntos. Las soluciones a los sistemas lineales son los puntos

()x1,Sí.1) =()− − b1mm2+1,b1m2+1){displaystyle left(x_{1},y_{1}right) =left({frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}} {frac {b_{1} {m^{2}+1}right),}

y

()x2,Sí.2) =()− − b2mm2+1,b2m2+1).{displaystyle left(x_{2},y_{2}right) =left({frac} {-b_{2}m}{m^{2}+1}} {frac {b_{2} {m^{2}+1}right).}

Estas fórmulas todavía dan las coordenadas de punto correctas incluso si las líneas paralelas son horizontales (es decir, m = 0). La distancia entre los puntos es

d=()x2− − x1)2+()Sí.2− − Sí.1)2=()b1m− − b2mm2+1)2+()b2− − b1m2+1)2,{displaystyle d={sqrt {left(x_{2}-x_{1}right)^{2}+left (y_{2}-y_{1} {2}}={sqrt {left({frac})}={sqrt {sqrt {left} {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}right)^{2}+left({frac} ¿Qué?

que se reduce a

d=Silenciob2− − b1Silenciom2+1.{displaystyle d={frac {fnK}-b_{1} {m^{2}+1},}

Cuando las rectas están dadas por la forma general de la ecuación de una recta (se incluyen las rectas horizontales y verticales):

ax+bSí.+c1=0{displaystyle ax+by+c_{1}=0,}

ax+bSí.+c2=0,{displaystyle ax+by+c_{2}=0,,}

su distancia se puede expresar como

d=Silencioc2− − c1Silencioa2+b2.{displaystyle d={frac {ch00}-c_{1}tuvos {a^{2}+b^{2}}}}}

Dos líneas en un espacio tridimensional

Dos líneas en el mismo espacio tridimensional que no se cruzan no tienen por qué ser paralelas. Sólo si están en un plano común se les llama paralelos; de lo contrario se llaman líneas oblicuas.

Dos rectas distintas l y m en un espacio tridimensional son paralelas si y sólo si la distancia desde un punto P en la recta m al punto más cercano en la línea l es independiente de la ubicación de P en la línea m. Esto nunca es válido para líneas sesgadas.

Una línea y un avión

Una recta m y un plano q en un espacio tridimensional, la recta que no se encuentra en ese plano, son paralelos si y sólo si no se cruzan.

Equivalentemente, son paralelos si y sólo si la distancia de un punto P on line m al punto más cercano en avión q es independiente de la ubicación de P on line m.

Dos aviones

De manera similar al hecho de que las líneas paralelas deben estar ubicadas en el mismo plano, los planos paralelos deben estar situados en el mismo espacio tridimensional y no contener ningún punto en común.

Dos planos distintos q y r son paralelos si y sólo si la distancia desde un punto P en el plano q al punto más cercano en el plano r es independiente de la ubicación de P en el plano q. Esto nunca se cumplirá si los dos planos no están en el mismo espacio tridimensional.

En geometría no euclidiana

En geometría no euclidiana, el concepto de línea recta se reemplaza por el concepto más general de geodésica, una curva que es localmente recta con respecto a la métrica (definición de distancia) en una variedad de Riemann, una superficie ( o espacio de dimensiones superiores) que a su vez puede ser curvo. En la relatividad general, las partículas que no están bajo la influencia de fuerzas externas siguen las geodésicas en el espacio-tiempo, una variedad de cuatro dimensiones con 3 dimensiones espaciales y 1 dimensión temporal.

En geometría no euclidiana (geometría elíptica o hiperbólica) las tres propiedades euclidianas mencionadas anteriormente no son equivalentes y solo la segunda (la línea m está en el mismo plano que la línea l pero no intersecta a l) es útil en geometría no euclidiana (geometría elíptica o hiperbólica) Geometrías euclidianas, ya que no implica mediciones. En geometría general, las tres propiedades anteriores dan tres tipos diferentes de curvas, curvas equidistantes, geodésicas paralelas y geodésicas que comparten una perpendicular común, respectivamente.

Geometría hiperbólica

Mientras que en la geometría euclidiana dos geodésicas pueden cruzarse o ser paralelas, en la geometría hiperbólica hay tres posibilidades. Dos geodésicas pertenecientes al mismo plano pueden ser:

1. intersección, si se intersectan en un punto común en el plano,
2. paralelo, si no se intersectan en el plano, pero convergen a un punto límite común en el infinito (punto ideal), o
3. ultra paralelo, si no tienen un punto límite común en el infinito.

En la literatura ultra paralelo geodésica a menudo se llama no injerencia. Geodesia intersectando en el infinito se llaman Limitación paralela.

Como en la ilustración, a través de un punto a que no está en la línea l hay dos líneas paralelas limitantes, una para cada punto ideal de dirección de la línea l. Separan las líneas que cruzan la línea l y las que son ultra paralelas a la línea l.

Las líneas ultraparalelas tienen una única perpendicular común (teorema ultraparalelo) y divergen en ambos lados de esta perpendicular común.

Geometría esférica o elíptica

En geometría esférica, todas las geodésicas son círculos máximos. Los círculos máximos dividen la esfera en dos hemisferios iguales y todos los círculos máximos se cruzan entre sí. Por lo tanto, no existen geodésicas paralelas a una geodésica determinada, ya que todas las geodésicas se cruzan. Las curvas equidistantes en la esfera se llaman paralelos de latitud de manera análoga a las líneas de latitud en un globo terráqueo. Los paralelos de latitud se pueden generar mediante la intersección de la esfera con un plano paralelo a un plano que pasa por el centro de la esfera.

Variante reflexiva

Si l, m, n son tres líneas distintas, entonces l∥ ∥ m ∧ ∧ m∥ ∥ n ⟹ ⟹ l∥ ∥ n.{displaystyle lparallel m land mparallel n\implies lparallel n.}

En este caso, el paralelismo es una relación transitiva. Sin embargo, en caso l = nLas líneas superpuestas son no considerado paralelo en la geometría euclidiana. La relación binaria entre líneas paralelas es evidentemente una relación simétrica. Según los principios de Euclides, el paralelismo es no una relación reflexiva y así fallas ser una relación de equivalencia. Sin embargo, en la geometría affine se toma un lápiz de líneas paralelas como una clase de equivalencia en el conjunto de líneas donde el paralelismo es una relación de equivalencia.

Con este fin, Emil Artin (1957) adoptó una definición de paralelismo según la cual dos rectas son paralelas si tienen todos o ninguno de sus puntos en común. Entonces una recta es paralela a sí misma de modo que las propiedades reflexiva y transitiva pertenecen a este tipo de paralelismo, creando una relación de equivalencia en el conjunto de rectas. En el estudio de la geometría de incidencia, esta variante de paralelismo se utiliza en el plano afín.