Pappus de Alejandría

Papo de Alejandría (griego: Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς; c. 290 – c. 350 d.C.) fue uno de los últimos grandes matemáticos griegos de la antigüedad; es conocido por su Synagoge (Συναγωγή) o Colección (c. 340), y para el teorema del hexágono de Pappus en geometría proyectiva. No se sabe nada de su vida, salvo lo que se puede encontrar en sus propios escritos: que tuvo un hijo llamado Hermodoro y que fue maestro en Alejandría.

Colección, su obra más conocida, es un compendio de matemáticas en ocho volúmenes, la mayor parte de los cuales sobrevive. Cubre una amplia gama de temas, que incluyen geometría, matemáticas recreativas, duplicación del cubo, polígonos y poliedros.

Contexto

Papo estuvo activo en el siglo IV d.C. En un período de estancamiento general de los estudios matemáticos, él destaca como una notable excepción. "Hasta qué punto estaba por encima de sus contemporáneos, cuán poco apreciado o comprendido por ellos, se demuestra por la ausencia de referencias a él en otros escritores griegos y por el hecho de que su trabajo no tuvo ningún efecto para detener la decadencia de la matemática. ciencia," Escribe Thomas Little Heath. "En este sentido, el destino de Pappus se parece sorprendentemente al de Diofanto."

Citas

En sus escritos supervivientes, Pappus no da ninguna indicación de la fecha de los autores cuyas obras utiliza, ni de la época (pero véase más abajo) en la que él mismo escribió. Si no hubiera otra información sobre la fecha disponible, todo lo que se podría saber sería que fue posterior a Ptolomeo (fallecido c. 168 d. C.), a quien cita, y anterior a Proclo (nacido c.< /abbr> 411), quien lo cita.

La Suda del siglo X afirma que Pappus tenía la misma edad que Teón de Alejandría, quien estuvo activo durante el reinado del emperador Teodosio I (372–395). Una fecha diferente la da una nota marginal a un manuscrito de finales del siglo X (una copia de una tabla cronológica del mismo Teón), que afirma, junto a una entrada sobre el emperador Diocleciano (que reinó entre 284 y 305), que ";en ese momento escribió Pappus".

Sin embargo, una fecha verificable proviene de la datación de un eclipse solar mencionado por el propio Pappus. En su comentario sobre el Almagest calcula "el lugar y el momento de la conjunción que dio lugar al eclipse en Tybi en 1068 después de Nabonasar". Esto equivale al 18 de octubre de 320, por lo que Pappus debe haber estado activo alrededor de 320.

Obras

La gran obra de Pappus, en ocho libros y titulada Synagoge o Colección, no ha sobrevivido en su forma completa: el primer libro se ha perdido y el resto ha sufrido importantemente. La Suda enumera otras obras de Pappus: Χωρογραφία οἰκουμενική (Chorographia oikoumenike o Descripción del mundo habitado), comentario sobre los cuatro libros del Almagest de Ptolomeo, Ποταμοὺς τοὺς ἐν Λιβύῃ (Los ríos en Libia) y Ὀνειροκριτικά (La interpretación de los sueños). El propio Pappus menciona otro comentario propio sobre el Ἀνάλημμα (Analemma) de Diodoro de Alejandría. Pappus también escribió comentarios sobre los Elementos de Euclides (de los cuales se conservan fragmentos en Proclo y los Escolia, mientras que el del Décimo Libro se ha encontrado en un manuscrito árabe), y sobre Ἁρμονικά< de Ptolomeo. /i> (Armonika).

Federico Commandino tradujo la Colección de Pappus al latín en 1588. El historiador matemático y clasicista alemán Friedrich Hultsch (1833-1908) publicó una presentación definitiva en tres volúmenes de la traducción de Commandino con Tanto la versión griega como la latina (Berlín, 1875-1878). Utilizando el trabajo de Hultsch, el historiador matemático belga Paul ver Eecke fue el primero en publicar una traducción de la Colección a un idioma europeo moderno; su traducción francesa en dos volúmenes tiene el título Pappus d'Alexandrie. La Collection Mathématique. (París y Brujas, 1933).

Colección

Las características de la Colección de Pappus son que contiene un relato, ordenado sistemáticamente, de los resultados más importantes obtenidos por sus predecesores y, en segundo lugar, notas explicativas o ampliadoras de descubrimientos anteriores. Estos descubrimientos forman, de hecho, un texto que Pappus amplía discursivamente. Heath consideró valiosas las introducciones sistemáticas a los distintos libros, porque establecían claramente un esquema de los contenidos y el alcance general de los temas a tratar. A partir de estas introducciones se puede juzgar el estilo de escritura de Pappus, que es excelente e incluso elegante en el momento en que se libera de las ataduras de las fórmulas y expresiones matemáticas. Heath también descubrió que su característica exactitud hacía de su Colección "un sustituto muy admirable de los textos de los numerosos y valiosos tratados de matemáticos anteriores de los que el tiempo nos ha privado".

Las partes supervivientes de Collection se pueden resumir de la siguiente manera.

Libro I

El libro I se ha perdido por completo. Sólo podemos conjeturar que el Libro I perdido, al igual que el Libro II, se refería a la aritmética debido a que el Libro III se introdujo claramente como el comienzo de un nuevo tema.

Libro II

Todo el Libro II (cuya primera parte se ha perdido, el fragmento existente comienza a mitad de la proposición 14) analiza un método de multiplicación de un libro sin nombre de Apolonio de Perga. Las proposiciones finales tratan de multiplicar los valores numéricos de las letras griegas en dos líneas de poesía, produciendo dos números muy grandes aproximadamente iguales a 2×10⁵⁴ y 2×10³⁸ .

Libro III

El Libro III contiene problemas geométricos, planos y sólidos. Se puede dividir en cinco secciones:

1. Sobre el famoso problema de encontrar dos proporciones medias entre dos líneas dadas, que surgió de la duplicación del cubo, reducida por Hippócrates de Chios al primero. Pappus ofrece varias soluciones de este problema, incluyendo un método de hacer aproximaciones sucesivas a la solución, cuya importancia aparentemente no pudo apreciar; añade su propia solución del problema más general de encontrar geométricamente el lado de un cubo cuyo contenido está en cualquier relación dada con el de uno dado.
2. En la aritmética, geométrica y armónica significa entre dos líneas rectas, y el problema de representar a los tres en una y la misma figura geométrica. Esto sirve como introducción a una teoría general de los medios, de los cuales Pappus distingue diez tipos, y da una tabla que representa ejemplos de cada uno en números enteros.
3. Sobre un curioso problema sugerido por Euclid I. 21.
4. Sobre la inscripción de cada uno de los cinco polihedra regular en una esfera. Aquí Pappus observó que un dodecaedro regular y un icosahedro regular podían ser inscritos en la misma esfera de tal manera que sus vértices todos estaban en los mismos 4 círculos de latitud, con 3 de los 12 vértices del icosaedro en cada círculo, y 5 de los 20 vértices del dodecaedro en cada círculo. Esta observación se ha generalizado a poliótopos duales de mayor dimensión.
5. Una adición de un escritor posterior sobre otra solución del primer problema del libro.

Libro IV

Del Libro IV se han perdido el título y el prefacio, por lo que el programa ha de extraerse del propio libro. Al principio se encuentra la conocida generalización de Euclides I.47 (teorema del área de Pappus), luego siguen varios teoremas sobre el círculo, que conducen al problema de la construcción de un círculo que circunscribirá tres círculos dados, tocándose dos y dos. Esta y varias otras proposiciones sobre el contacto, p.e. casos de círculos tocándose e inscritos en la figura formada por tres semicírculos y conocida como arbelos ("cuchillo de zapatero") forman la primera división del libro; Pappus pasa entonces a considerar ciertas propiedades de la espiral de Arquímedes, la concoide de Nicomedes (ya mencionada en el Libro I como método para duplicar el cubo) y la curva descubierta muy probablemente por Hipias de Elis alrededor del 420 a.C., y conocido por el nombre, τετραγωνισμός, o cuadratriz. La proposición 30 describe la construcción de una curva de doble curvatura llamada por Pappus hélice sobre una esfera; se describe por un punto que se mueve uniformemente a lo largo del arco de un círculo máximo, que a su vez gira uniformemente alrededor de su diámetro, describiendo el punto un cuadrante y el círculo máximo una revolución completa al mismo tiempo. Se encuentra el área de la superficie incluida entre esta curva y su base: el primer caso conocido de cuadratura de una superficie curva. El resto del libro trata de la trisección de un ángulo y de la solución de problemas más generales del mismo tipo mediante la cuadratriz y la espiral. En una solución del primer problema se encuentra el primer uso registrado de la propiedad de una cónica (una hipérbola) con referencia al foco y la directriz.

Libro V

En el Libro V, después de un interesante prefacio sobre los polígonos regulares y que contiene comentarios sobre la forma hexagonal de las celdas de los panales, Pappus se dirige a la comparación de las áreas de diferentes figuras planas que tienen todas el mismo perímetro (siguiendo a Zenodorus& #39;s tratado sobre este tema), y de los volúmenes de diferentes figuras sólidas que tienen todas la misma área superficial, y, por último, una comparación de los cinco sólidos regulares de Platón. Por cierto, Pappus describe los otros trece poliedros delimitados por polígonos equiláteros y equiangulares pero no similares, descubiertos por Arquímedes, y encuentra, mediante un método que recuerda al de Arquímedes, la superficie y el volumen de una esfera.

Libro VI

Según el prefacio, el Libro VI tiene como objetivo resolver las dificultades que surgen en las llamadas "Obras Astronómicas Menores" (Μικρὸς Ἀστρονομούμενος), es decir, obras distintas del Almagest. En consecuencia, comenta la Sphaerica de Teodosio, la Esfera móvil de Autólico, el libro de Teodosio sobre Día y noche, el tratado de Aristarco Sobre el tamaño y las distancias del Sol y la Luna, y Óptica y fenómenos de Euclides.

Libro VII

Desde que Michel Chasles citó este libro de Pappus en su historia de los métodos geométricos, se ha convertido en objeto de considerable atención.

El prefacio del Libro VII explica los términos análisis y síntesis, y la distinción entre teorema y problema. Pappus luego enumera las obras de Euclides, Apolonio, Aristeo y Eratóstenes, treinta y tres libros en total, cuya sustancia pretende dar, con los lemas necesarios para su aclaración. Con la mención de los Porismos de Euclides tenemos una explicación de la relación del porismo con el teorema y el problema. En el mismo prefacio se incluye (a) el famoso problema conocido con el nombre de Pappus, a menudo enunciado así: Habiendo dado un número de líneas rectas, encontrar el lugar geométrico de un punto tal que las longitudes de las perpendiculares sobre, o (más generalmente) las líneas trazadas desde él oblicuamente con inclinaciones dadas hacia, las líneas dadas satisfacen la condición de que el producto de algunas de ellas pueda guardar una proporción constante con el producto de las restantes; (Pappus no lo expresa de esta forma sino mediante composición de razones, diciendo que si se da la razón que se compone de las razones de pares uno de un conjunto y uno de otro de las líneas así trazadas, y de la razón del impar, si lo hubiere, a una recta dada, el punto estará sobre una curva dada en posición); (b) los teoremas que fueron redescubiertos por Paul Guldin y que recibieron su nombre, pero que parecen haber sido descubiertos por el propio Pappus.

El Libro VII también contiene

1. bajo la cabeza del De Sectione Determinata de Apolonio, los lemas que, examinados de cerca, se consideran casos de involución de seis puntos;
2. importantes lemas sobre los Porisms de Euclides, incluyendo lo que se llama teorema hexagonal de Pappus;
3. un lema sobre Surface Loci de Euclid que afirma que el locus de un punto tal que su distancia desde un punto dado lleva una relación constante a su distancia de una línea recta dada es un cónico, y es seguido por pruebas de que el cónico es una parabola, elipse o hiperbola según la relación constante es igual a, menos o mayor que 1 (las primeras pruebas registradas de las propiedades, que no aparecen en Apolonio).

La cita de Pappus hecha por Chasles fue repetida por Wilhelm Blaschke y Dirk Struik. En Cambridge, Inglaterra, John J. Milne brindó a los lectores el beneficio de su lectura de Pappus. En 1985, Alexander Jones escribió su tesis en la Universidad de Brown sobre el tema. Springer-Verlag publicó al año siguiente una versión revisada de su traducción y comentario. Jones logra mostrar cómo Pappus manipuló el cuadrilátero completo, utilizó la relación de conjugados armónicos proyectivos y mostró conciencia de las proporciones cruzadas de puntos y líneas. Además, el concepto de polo y polar se revela como un lema en el Libro VII.

Libro VIII

Por último, el Libro VIII trata principalmente de la mecánica, las propiedades del centro de gravedad y algunas potencias mecánicas. Se intercalan algunas proposiciones sobre geometría pura. La Proposición 14 muestra cómo dibujar una elipse a través de cinco puntos dados, y la Proposición 15 da una construcción simple para los ejes de una elipse cuando se dan un par de diámetros conjugados.

Legado