Operador Laplace-Betrami

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Operador generalizando el Laplaciano en geometría diferencial

En geometría diferencial, el operador de Laplace-Beltrami es una generalización del operador de Laplace a funciones definidas en subvariedades en el espacio euclidiano y, de manera aún más general, en variedades riemannianas y pseudoriemannianas. Lleva el nombre de Pierre-Simon Laplace y Eugenio Beltrami.

Para cualquier función de valor real dos veces diferenciable f definida en el espacio euclidiano Rⁿ, el método de Laplace El operador (también conocido como Laplaciano) lleva f a la divergencia de su campo vectorial gradiente, que es la suma de las n segundas derivadas puras. de f con respecto a cada vector de base ortonormal para Rⁿ. Al igual que el laplaciano, el operador de Laplace-Beltrami se define como la divergencia del gradiente y es un operador lineal que convierte funciones en funciones. El operador se puede ampliar para operar con tensores como la divergencia de la derivada covariante. Alternativamente, el operador se puede generalizar para operar en formas diferenciales utilizando la divergencia y la derivada exterior. El operador resultante se llama operador de Laplace-de Rham (llamado así en honor a Georges de Rham).

Detalles

El operador de Laplace-Beltrami, al igual que el laplaciano, es la divergencia (riemanniana) del gradiente (riemanniano):

{displaystyle Delta f={rm {div}}(nabla f).}

Es posible una fórmula explícita en coordenadas locales.

Supongamos primero que M es una variedad de Riemann orientada. La orientación permite especificar una forma de volumen definida en M, dada en un sistema de coordenadas orientado xⁱ por

{displaystyle operatorname {vol} _{n}:={sqrt {|g|}};dx^{1}wedge cdots wedge dx^{n}}

donde |g|:= |det(g_ij)| es el valor absoluto del determinante del tensor métrico, y el dxⁱ son las formas 1 que forman el marco dual del marco

{displaystyle partial _{i}:={frac {partial }{partial x^{i}}}}

del paquete tangente ${displaystyle TM}$ y ${displaystyle wedge }$ es el producto de cuña.

La divergencia de un campo vectorial ${displaystyle X}$ en el manifold se define entonces como la función de escalar ${displaystyle nabla cdot X}$ con la propiedad

{displaystyle (nabla cdot X)operatorname {vol} _{n}:=L_{X}operatorname {vol} _{n}}

donde L_X es la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial X. En coordenadas locales se obtiene

{displaystyle nabla cdot X={frac {1}{sqrt {|g|}}}partial _{i}left({sqrt {|g|}}X^{i}right)}

donde aquí y debajo está implícita la notación de Einstein, de modo que se suma el índice repetido i.

El gradiente de una función de escalar √ es el campo vectorial grad f que se puede definir a través del producto interior ${displaystyle langle cdotcdot rangle }$ en el múltiple, como

{displaystyle langle operatorname {grad} f(x),v_{x}rangle =df(x)(v_{x})}

para todos los vectores v_x anclados en el punto x en el espacio tangente T_xM del colector en el punto x. Aquí, dƒ es la derivada exterior de la función ƒ; es un argumento de 1 forma v_x. En coordenadas locales, se tiene

{displaystyle left(operatorname {grad} fright)^{i}=partial ^{i}f=g^{ij}partial _{j}f}

donde g^ij son las componentes de la inversa del tensor métrico, de modo que g^ijg_jk = δⁱ_k con δⁱ_k el delta de Kronecker.

Combinando las definiciones de gradiente y divergencia, la fórmula para el operador de Laplace-Beltrami aplicada a una función escalar ƒ es, en coordenadas locales

{displaystyle Delta f={frac {1}{sqrt {|g|}}}partial _{i}left({sqrt {|g|}}g^{ij}partial _{j}fright).}

Si M no está orientado, entonces el cálculo anterior se realiza exactamente como se presenta, excepto que la forma del volumen debe ser reemplazada por un elemento de volumen (una densidad en lugar de una forma). Ni el gradiente ni la divergencia dependen realmente de la elección de la orientación, por lo que el operador de Laplace-Beltrami en sí no depende de esta estructura adicional.

Autoadjunción formal

El derivado exterior ${displaystyle d}$ y ${displaystyle -nabla }$ son adjoints formales, en el sentido de que para una función compacta ${displaystyle f}$

{displaystyle int _{M}df(X)operatorname {vol} _{n}=-int _{M}fnabla cdot Xoperatorname {vol} _{n}}

(prueba)

donde la última igualdad es una aplicación de Stokes' teorema. La dualización da

{displaystyle int _{M}f,Delta h,operatorname {vol} _{n}=-int _{M}langle df,dhrangle ,operatorname {vol} _{n}}

()2)

para todas las funciones de apoyo compacto ${displaystyle f}$ y ${displaystyle h}$ . Por el contrario,2) caracteriza completamente al operador Laplace-Beltrami, en el sentido de que es el único operador con esta propiedad.

Como consecuencia, el operador de Laplace-Beltrami es negativo y formalmente autónomo, lo que significa que para funciones compatibles compactamente ${displaystyle f}$ y ${displaystyle h}$ ,

{displaystyle int _{M}f,Delta hoperatorname {vol} _{n}=-int _{M}langle df,dhrangle operatorname {vol} _{n}=int _{M}h,Delta foperatorname {vol} _{n}.}

Debido a que el operador de Laplace-Beltrami, definido de esta manera, es negativo en lugar de positivo, a menudo se define con el signo opuesto.

Valores propios del operador de Laplace-Beltrami (teorema de Lichnerowicz-Obata)

Sea M una variedad riemanniana compacta sin límite. Queremos considerar la ecuación de valores propios,

{displaystyle -Delta u=lambda u,}

Donde ${displaystyle u}$ es la función eigen asociada con el eigenvalue ${displaystyle lambda }$ . Se puede mostrar usando la autoadjunción demostrada por encima de que los eigenvalues ${displaystyle lambda }$ son reales. La compactidad del manifold ${displaystyle M}$ permite mostrar que los eigenvalues son discretos y, además, el espacio vectorial de las funciones eigen asociadas con un eigenvalue dado ${displaystyle lambda }$ , es decir, los eigenspaces son todos finitos-dimensionales. Observe tomando la función constante como una función eigen, obtenemos ${displaystyle lambda =0}$ es un eigenvalue. También desde que hemos considerado ${displaystyle -Delta }$ una integración por partes muestra que ${displaystyle lambda geq 0}$ . Más precisamente si multiplicamos la ecuación eigenvalue a través de la función eigen ${displaystyle u}$ e integrar la ecuación resultante en ${displaystyle M}$ que tenemos (utilizando la notación ${displaystyle dV=operatorname {vol} _{n}}$ ):

{displaystyle -int _{M}Delta u u dV=lambda int _{M}u^{2} dV}

Realizar una integración por partes o lo mismo que usar el teorema de divergencia en el término de la izquierda, y desde ${displaystyle M}$ no tiene límites

{displaystyle -int _{M}Delta u u dV=int _{M}|nabla u|^{2} dV}

Juntando las dos últimas ecuaciones llegamos a

{displaystyle int _{M}|nabla u|^{2} dV=lambda int _{M}u^{2} dV}

Concluimos de la última ecuación que ${displaystyle lambda geq 0}$ .

Un resultado fundamental de André Lichnerowicz afirma que: Dado un compacto n-dimensional Manifold Riemanniano sin límites ${displaystyle ngeq 2}$ . Suponga que la curvatura Ricci satisface el límite inferior:

0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Ric⁡ ⁡ ()X,X)≥ ≥ κ κ g()X,X),κ κ ■0,{displaystyle operatorname {Ric} (X,X)geq kappa g(X,X),kappa √0,}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/835c0fedb6094702d6a0031a88062d88c5e7094b" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.83ex; height:2.843ex;"/>

Donde ${displaystyle g(cdotcdot)}$ es el tensor métrico y ${displaystyle X}$ es cualquier vector tangente en el manga ${displaystyle M}$ . Luego el primer eigenvalue positivo ${displaystyle lambda _{1}}$ de la ecuación eigenvalue satisface el límite inferior:

{displaystyle lambda _{1}geq {frac {n}{n-1}}kappa.}

Este límite inferior es agudo y alcanzado en la esfera ${displaystyle mathbb {S} ^{n}}$ . De hecho ${displaystyle mathbb {S} ^{2}}$ el espacio eigeno para ${displaystyle lambda _{1}}$ es tridimensional y abarcada por la restricción de las funciones de coordinación ${displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ desde ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ a ${displaystyle mathbb {S} ^{2}}$ . Utilizando coordenadas esféricas ${displaystyle (thetaphi)}$ , en ${displaystyle mathbb {S} ^{2}}$ la esfera bidimensional, establecido

{displaystyle x_{3}=cos phi =u_{1},}

Vemos fácilmente en la fórmula del laplaciano esférico que se muestra a continuación que

{displaystyle -Delta _{mathbb {S} ^{2}}u_{1}=2u_{1}}

Así, el límite inferior del teorema de Lichnerowicz se alcanza al menos en dos dimensiones.

Por el contrario, fue probado por Morio Obata, n- tamaño compacto Riemannian manifold sin límites eran tales que para el primer eigenvalue positivo ${displaystyle lambda _{1}}$ uno tiene,

{displaystyle lambda _{1}={frac {n}{n-1}}kappa}

entonces el manifold es isométrico a n- esfera dimensional ${displaystyle mathbb {S} ^{n}(1/{sqrt {kappa }})}$ , la esfera del radio ${displaystyle 1/{sqrt {kappa }}}$ . Pruebas de todas estas declaraciones pueden encontrarse en el libro de Isaac Chavel. Los bordes afilados analógicos también se mantienen para otras geometrías y para ciertos laplacianos degenerados asociados con estas geometrías como el Kohn Laplacian (después de Joseph J. Kohn) en un manifold compacto CR. Aplicaciones que existen para la incrustación global de estos manifolds CR en ${displaystyle mathbb {C} ^{n}.}$

Tensor laplaciano

El operador Laplace-Beltrami puede ser escrito usando el trazo (o contracción) del derivado covariante iterado asociado con la conexión Levi-Civita. El Hessian (tensor) de una función ${displaystyle f}$ es el 2-tensor simétrico

{displaystyle displaystyle {mbox{Hess}}fin mathbf {Gamma } ({mathsf {T}}^{*}Motimes {mathsf {T}}^{*}M)}

{displaystyle {mbox{Hess}}f:=nabla ^{2}fequiv nabla nabla fequiv nabla mathrm {d} f}

donde df denota la derivada (exterior) de una función f.

Sea X_i una base de campos vectoriales tangentes (no necesariamente inducidos por un sistema de coordenadas). Entonces los componentes de Hess f están dados por

{displaystyle ({mbox{Hess}}f)_{ij}={mbox{Hess}}f(X_{i},X_{j})=nabla _{X_{i}}nabla _{X_{j}}f-nabla _{nabla _{X_{i}}X_{j}}f}

Se ve fácilmente que esto se transforma tensorialmente, ya que es lineal en cada uno de los argumentos X_i, X_j. El operador de Laplace-Beltrami es entonces la traza (o contracción) del hessiano con respecto a la métrica:

{displaystyle displaystyle Delta f:=mathrm {tr} nabla mathrm {d} fin {mathsf {C}}^{infty }(M)}

Más precisamente, esto significa

{displaystyle displaystyle Delta f(x)=sum _{i=1}^{n}nabla mathrm {d} f(X_{i},X_{i})}

o en términos de la métrica

{displaystyle Delta f=sum _{ij}g^{ij}({mbox{Hess}}f)_{ij}.}

En índices abstractos, el operador a menudo se escribe

{displaystyle Delta f=nabla ^{a}nabla _{a}f}

siempre que se entienda implícitamente que esta huella es en realidad la huella del tensor de Hesse.

Debido a que la derivada covariante se extiende canónicamente a tensores arbitrarios, el operador de Laplace-Beltrami definido en un tensor T por

{displaystyle Delta T=g^{ij}left(nabla _{X_{i}}nabla _{X_{j}}T-nabla _{nabla _{X_{i}}X_{j}}Tright)}

está bien definido.

Operador Laplace-de Rham

De manera más general, se puede definir un operador diferencial laplaciano en secciones del conjunto de formas diferenciales en una variedad pseudo-riemanniana. En una variedad de Riemann es un operador elíptico, mientras que en una variedad de Lorentz es hiperbólico. El operador de Laplace-de Rham está definido por

{displaystyle Delta =mathrm {d} delta +delta mathrm {d} =(mathrm {d} +delta)^{2},;}

donde d es el derivado exterior o diferencial y δ es el codifferential, actuando como (1)−^{kn+n+ 1}Alternativad on k-formas, donde se encuentra la estrella Hodge. El operador de primer orden ${displaystyle mathrm {d} +delta }$ es el operador Hodge-Dirac.

Al calcular el operador de Laplace-de Rham en una función escalar f, tenemos δf = 0, por lo que eso

{displaystyle Delta f=delta ,mathrm {d} f.}

Hasta un signo general, el operador de Laplace-de Rham es equivalente a la definición anterior del operador de Laplace-Beltrami cuando actúa sobre una función escalar; vea la prueba para más detalles. En funciones, el operador de Laplace-de Rham es en realidad el negativo del operador de Laplace-Beltrami, ya que la normalización convencional del codiferencial asegura que el operador de Laplace-de Rham es (formalmente) positivo definido, mientras que el operador de Laplace-Beltrami suele ser negativo. El signo es simplemente una convención y ambos son comunes en la literatura. El operador de Laplace-de Rham difiere más significativamente del tensor laplaciano restringido a actuar sobre tensores sesgados-simétricos. Aparte del signo incidental, los dos operadores se diferencian por una identidad de Weitzenböck que involucra explícitamente al tensor de curvatura de Ricci.

Ejemplos

Muchos ejemplos del operador de Laplace-Beltrami se pueden resolver explícitamente.

Espacio euclidiano

En las coordenadas cartesianas habituales xⁱ en el espacio euclidiano, la métrica se reduce al delta Kronecker, y uno por lo tanto tiene ${displaystyle |g|=1}$ . En consecuencia, en este caso

{displaystyle Delta f={frac {1}{sqrt {|g|}}}partial _{i}{sqrt {|g|}}partial ^{i}f=partial _{i}partial ^{i}f}

que es el Laplaciano ordinario. En coordenadas curvilinear, como coordenadas esféricas o cilíndricas, se obtienen expresiones alternativas.

Del mismo modo, el operador de Laplace-Beltrami correspondiente a la métrica de Minkowski con firma (− + + +) es el d'alembertiano.

Laplaciana esférica

(feminine)

El laplaciano esférico es el operador de Laplace-Beltrami en el ()n −1)- esfera con su métrica canónica de curvatura seccional constante 1. Es conveniente considerar la esfera como isométricamente incrustada en Rⁿ como esfera unitaria centrada en el origen. Entonces para una función f on Sⁿ⁻¹, el laplaciano esférico se define por

{displaystyle Delta _{S^{n-1}}f(x)=Delta f(x/|x|)}

Donde f()x/ Torturaxtención) es el grado cero extensión homogénea de la función f a Rⁿ Y ${displaystyle Delta }$ es el Laplaciano del espacio euclidiano ambiente. Concretamente, esto está implícito por la conocida fórmula del Euclidean Laplacian en las coordenadas polares esféricas:

{displaystyle Delta f=r^{1-n}{frac {partial }{partial r}}left(r^{n-1}{frac {partial f}{partial r}}right)+r^{-2}Delta _{S^{n-1}}f.}

Más generalmente, se puede formular un truco similar utilizando el paquete normal para definir el operador de Laplace–Beltrami de cualquier manifold Riemanniano isometrically embebido como una hipersuperficie del espacio euclidiano.

También se puede dar una descripción intrínseca del operador Laplace-Beltrami en la esfera en un sistema de coordenadas normal. Vamos. ()φ, .) ser coordenadas esféricas en la esfera con respecto a un punto particular p de la esfera (el " polo norte"), es decir, coordenadas polares geodésicas con respecto a p. Aquí. φ representa la medición de latitud a lo largo de una velocidad de unidad geodésica p, y . un parámetro que representa la elección de la dirección geodésica en Sⁿ⁻¹. Entonces el laplaciano esférico tiene la forma:

{displaystyle Delta _{S^{n-1}}f(xiphi)=(sin phi)^{2-n}{frac {partial }{partial phi }}left((sin phi)^{n-2}{frac {partial f}{partial phi }}right)+(sin phi)^{-2}Delta _{xi }f}

Donde ${displaystyle Delta _{xi }}$ es el operador de Laplace-Beltrami en la unidad ordinaria ()n − 2)- Esfera. En particular, para el 2-sfere ordinario utilizando notación estándar para coordenadas polares obtenemos:

{displaystyle Delta _{S^{2}}f(thetaphi)=(sin phi)^{-1}{frac {partial }{partial phi }}left(sin phi {frac {partial f}{partial phi }}right)+(sin phi)^{-2}{frac {partial ^{2}}{partial theta ^{2}}}f}

Espacio hiperbólico

Una técnica similar funciona en el espacio hiperbólico. Aquí el espacio hiperbólico Hⁿ⁻¹ se puede incrustar en el espacio de Minkowski n dimensional, un espacio vectorial real. equipado con la forma cuadrática

{displaystyle q(x)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-cdots -x_{n}^{2}.}

Entonces Hⁿ es el subconjunto del futuro cono nulo en el espacio de Minkowski dado por

1}.,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Hn={}x▪ ▪ q()x)=1,x1■1}.{displaystyle ¿Qué?1}.,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d612fbda27d8a94aa1b7bbc6edadef0dd3099ab9" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.194ex; height:2.843ex;"/>

Entonces

{displaystyle Delta _{H^{n-1}}f=left.Box fleft(x/q(x)^{1/2}right)right|_{H^{n-1}}}

Aquí. ${displaystyle f(x/q(x)^{1/2})}$ es el grado cero extensión homogénea f al interior del futuro cono nulo y $.$ es el operador de onda

{displaystyle Box ={frac {partial ^{2}}{partial x_{1}^{2}}}-cdots -{frac {partial ^{2}}{partial x_{n}^{2}}}.}

El operador también se puede escribir en coordenadas polares. Sean (t, ξ) coordenadas esféricas en la esfera con respecto a un punto particular p de Hⁿ⁻¹ (digamos, el centro del disco de Poincaré). Aquí t representa la distancia hiperbólica desde p y ξ un parámetro que representa la elección de la dirección de la geodésica en S ^n-2. Entonces el laplaciano hiperbólico tiene la forma:

{displaystyle Delta _{H^{n-1}}f(t,xi)=sinh(t)^{2-n}{frac {partial }{partial t}}left(sinh(t)^{n-2}{frac {partial f}{partial t}}right)+sinh(t)^{-2}Delta _{xi }f}

Donde ${displaystyle Delta _{xi }}$ es el operador de Laplace-Beltrami en la unidad ordinaria (n - 2) - esfera. En particular, para el plano hiperbólico utilizando notación estándar para coordenadas polares obtenemos:

{displaystyle Delta _{H^{2}}f(r,theta)=sinh(r)^{-1}{frac {partial }{partial r}}left(sinh(r){frac {partial f}{partial r}}right)+sinh(r)^{-2}{frac {partial ^{2}}{partial theta ^{2}}}f}

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