Onda de materia

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Las ondas de materia son una parte central de la teoría de la mecánica cuántica, siendo un ejemplo de dualidad onda-partícula. Toda la materia exhibe un comportamiento ondulatorio. Por ejemplo, un haz de electrones puede difractarse como un haz de luz o una onda de agua. Sin embargo, en la mayoría de los casos, la longitud de onda es demasiado pequeña para tener un impacto práctico en las actividades diarias.

El concepto de que la materia se comporta como una onda fue propuesto por el físico francés Louis de Broglie (/ d ə ˈ b r ɔɪ /) en 1924. También se conoce como la hipótesis de De Broglie. Las ondas de materia se denominan ondas de De Broglie.

La longitud de onda de De Broglie es la longitud de onda, λ, asociada con una partícula masiva (es decir, una partícula con masa, a diferencia de una partícula sin masa) y está relacionada con su momento, p, a través de la constante de Planck, h: ${displaystyle lambda ={frac {h}{p}}={frac {h}{gamma m_{0}v}}.}$

El comportamiento ondulatorio de la materia fue demostrado experimentalmente por primera vez por el experimento de difracción de metal delgado de George Paget Thomson, y de forma independiente en el experimento de Davisson-Germer, ambos usando electrones; y también se ha confirmado para otras partículas elementales, átomos neutros e incluso moléculas. Porque ${displaystyle v={frac {c}{sqrt {2}}}}$ su valor es el mismo que el de la longitud de onda Compton.

Contexto histórico

A fines del siglo XIX, se pensaba que la luz consistía en ondas de campos electromagnéticos que se propagaban de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, mientras que se pensaba que la materia consistía en partículas localizadas (ver la historia de la dualidad de onda y partícula). En 1900, esta división quedó expuesta a dudas cuando, investigando la teoría de la radiación del cuerpo negro, Max Planck propuso que la luz se emite en cuantos discretos de energía. Fue completamente cuestionado en 1905. Ampliando la investigación de Planck de varias maneras, incluida su conexión con el efecto fotoeléctrico, Albert Einstein propuso que la luz también se propaga y absorbe en cuantos; ahora llamados fotones. Estos cuantos tendrían una energía dada por la relación de Planck-Einstein: $E=hnu$

y un impulso $p={frac {E}{c}}={frac {h}{lambda}}$

donde ν (letra griega minúscula nu) y λ (letra griega minúscula lambda) denotan la frecuencia y la longitud de onda de la luz, c la velocidad de la luz y h la constante de Planck. En la convención moderna, la frecuencia está simbolizada por f como se hace en el resto de este artículo. El postulado de Einstein fue confirmado experimentalmente por Robert Millikan y Arthur Compton durante las próximas dos décadas.

Hipótesis de De Broglie

De Broglie, en su tesis doctoral de 1924, propuso que así como la luz tiene propiedades tanto ondulatorias como corpusculares, los electrones también tienen propiedades ondulatorias. De Broglie no simplificó su ecuación en la que lleva su nombre. Concluyó que hν ₀ = m ₀c. También se refirió a la famosa ecuación de la relatividad de Einstein. Así, fue un simple paso llegar a la ecuación que lleva su nombre. Además, al reorganizar la ecuación de cantidad de movimiento establecida en la sección anterior, encontramos una relación entre la longitud de onda, λ, asociada con un electrón y su cantidad de movimiento, p, a través de la constante de Planck, h: $lambda ={frac{h}{p}}.$

Desde entonces, se ha demostrado que la relación se cumple para todos los tipos de materia: toda la materia exhibe propiedades tanto de partículas como de ondas.

Cuando concebí las primeras ideas básicas de la mecánica ondulatoria en 1923-1924, me guiaba el objetivo de realizar una síntesis física real, válida para todas las partículas, de la coexistencia de la onda y de los aspectos corpusculares que había introducido Einstein para los fotones. en su teoría de los cuantos de luz en 1905.— de Broglie

En 1926, Erwin Schrödinger publicó una ecuación que describe cómo debe evolucionar una onda de materia (el análogo de onda de materia de las ecuaciones de Maxwell) y la utilizó para derivar el espectro de energía del hidrógeno. Las frecuencias de las soluciones de la ecuación de Schrödinger no relativista difieren de las ondas de Broglie por la frecuencia de Compton, ya que la energía correspondiente a la masa en reposo de una partícula no forma parte de la ecuación de Schrödinger no relativista.

Confirmación experimental

Las ondas de materia se confirmaron experimentalmente por primera vez en el experimento de difracción de rayos catódicos de George Paget Thomson y en el experimento de Davisson-Germer para electrones, y la hipótesis de De Broglie se confirmó para otras partículas elementales. Además, se ha demostrado que los átomos neutros e incluso las moléculas tienen forma de onda.

Electrones

En 1927 en Bell Labs, Clinton Davisson y Lester Germer dispararon electrones de movimiento lento a un objetivo de níquel cristalino. Se midió la dependencia angular de la intensidad de los electrones difractados y se determinó que tenía el mismo patrón de difracción que los predichos por Bragg para los rayos X. Al mismo tiempo, George Paget Thomson, de la Universidad de Aberdeen, disparaba electrones de forma independiente a láminas de metal muy finas para demostrar el mismo efecto.Antes de la aceptación de la hipótesis de De Broglie, la difracción era una propiedad que se creía que solo exhibían las ondas. Por lo tanto, la presencia de cualquier efecto de difracción de la materia demostró la naturaleza ondulatoria de la materia. Cuando se insertó la longitud de onda de De Broglie en la condición de Bragg, se observó el patrón de difracción predicho, lo que confirmó experimentalmente la hipótesis de De Broglie para los electrones.

Este fue un resultado fundamental en el desarrollo de la mecánica cuántica. Así como el efecto fotoeléctrico demostró la naturaleza corpuscular de la luz, el experimento de Davisson-Germer mostró la naturaleza ondulatoria de la materia y completó la teoría de la dualidad onda-partícula. Para los físicos, esta idea era importante porque significaba que no solo cualquier partícula podía exhibir características de onda, sino que uno podía usar ecuaciones de onda para describir fenómenos en la materia si usaba la longitud de onda de De Broglie.

átomos neutros

Experimentos con difracción de Fresnel y un espejo atómico para reflexión especular de átomos neutros confirman la aplicación de la hipótesis de de Broglie a los átomos, es decir, la existencia de ondas atómicas que sufren difracción, interferencia y permiten la reflexión cuántica por las colas del potencial de atracción. Los avances en el enfriamiento por láser han permitido el enfriamiento de átomos neutros a temperaturas de nanokelvin. A estas temperaturas, las longitudes de onda térmicas de De Broglie entran en el rango de micrómetros. Usando la difracción de átomos de Bragg y una técnica de interferometría de Ramsey, la longitud de onda de De Broglie de los átomos de sodio fríos se midió explícitamente y se encontró que era consistente con la temperatura medida por un método diferente.

Este efecto se ha utilizado para demostrar la holografía atómica y puede permitir la construcción de un sistema de imágenes de sonda atómica con resolución nanométrica. La descripción de estos fenómenos se basa en las propiedades ondulatorias de los átomos neutros, lo que confirma la hipótesis de de Broglie.

El efecto también se ha utilizado para explicar la versión espacial del efecto Zeno cuántico, en el que un objeto inestable puede estabilizarse mediante observaciones repetidas rápidamente.

Moléculas

Experimentos recientes incluso confirman las relaciones de moléculas e incluso macromoléculas que, de otro modo, se supondría demasiado grandes para sufrir efectos mecánicos cuánticos. En 1999, un equipo de investigación en Viena demostró la difracción de moléculas tan grandes como los fullerenos. Los investigadores calcularon una longitud de onda de De Broglie de la velocidad C ₆₀ más probable como 2,5 pm. Experimentos más recientes prueban la naturaleza cuántica de moléculas formadas por 810 átomos y con una masa de 10.123 u. A partir de 2019, esto se ha llevado a moléculas de 25.000 u.

Todavía un paso más allá que Louis de Broglie van las teorías que en la mecánica cuántica eliminan el concepto de una partícula clásica puntual y explican los hechos observados por medio de paquetes de ondas de ondas de materia únicamente.

Relaciones de De Broglie

Las ecuaciones de de Broglie relacionan la longitud de onda λ con el momento p y la frecuencia f con la energía total E de una partícula libre:

{displaystyle {begin{alineado}&lambda ={frac {h}{p}}\&f={frac {E}{h}}end{alineado}}}

donde h es la constante de Planck. Las ecuaciones también se pueden escribir como

{displaystyle {begin{alineado}&mathbf {p} =hbar mathbf {k} \&E=hbar omega \end{alineado}}}

{displaystyle {begin{alineado}&mathbf {p} =hbar {boldsymbol {beta }}\&E=hbar omega \end{alineado}}}

donde ħ = h /2 π es la constante de Planck reducida, k es el vector de onda, β es la constante de fase y ω es la frecuencia angular.

En cada par, la segunda ecuación también se denomina relación de Planck-Einstein, ya que también fue propuesta por Planck y Einstein.

Relatividad especial

Usando dos fórmulas de la relatividad especial, una para la energía de masa relativista y otra para el momento relativista $E=mc^{2}=gamma m_{0}c^{2}$ ${displaystyle mathbf {p} =mmathbf {v} =gamma m_{0}mathbf {v} }$

permite que las ecuaciones se escriban como ${displaystyle {begin{alineado}&lambda =,,{frac {h}{gamma m_{0}v}},=,{frac {h}{m_{0}v }},,,,{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\&f={frac {gamma ,m_{ 0}c^{2}}{h}}={frac {m_{0}c^{2}}{h{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2 }}}}}}}end{alineado}}}$

donde $m_{0}$ denota la masa en reposo de la partícula, $v$ su velocidad, $gama$ el factor de Lorentz y $C$ la velocidad de la luz en el vacío. Consulte a continuación los detalles de la derivación de las relaciones de De Broglie. La velocidad de grupo (igual a la velocidad de la partícula) no debe confundirse con la velocidad de fase (igual al producto de la frecuencia de la partícula y su longitud de onda). En el caso de un medio no dispersivo, resultan ser iguales, pero por lo demás no lo son.

Velocidad de grupo

Albert Einstein explicó por primera vez la dualidad onda-partícula de la luz en 1905. Louis de Broglie planteó la hipótesis de que cualquier partícula también debería exhibir tal dualidad. La velocidad de una partícula, concluyó, siempre debería ser igual a la velocidad de grupo de la onda correspondiente. La magnitud de la velocidad del grupo es igual a la velocidad de la partícula.

Tanto en física cuántica relativista como no relativista, podemos identificar la velocidad de grupo de la función de onda de una partícula con la velocidad de la partícula. La mecánica cuántica ha demostrado con mucha precisión esta hipótesis, y la relación se ha demostrado explícitamente para partículas tan grandes como las moléculas.

De Broglie dedujo que si las ecuaciones de dualidad ya conocidas para la luz fueran las mismas para cualquier partícula, entonces su hipótesis se mantendría. Esto significa que $v_{g}={frac {parcial omega }{parcial k}}={frac {parcial (E/hbar)}{parcial (p/hbar)}}={frac { parcial E}{parcial p}}$

donde E es la energía total de la partícula, p es su momento, ħ es la constante de Planck reducida. Para una partícula libre no relativista se sigue que ${begin{alineado}v_{g}&={frac {parcial E}{parcial p}}={frac {parcial }{parcial p}}left({frac {1}{ 2}}{frac {p^{2}}{m}}right)\&={frac {p}{m}}\&=vend{alineado}}$

donde m es la masa de la partícula yv su velocidad.

También en relatividad especial encontramos que ${begin{alineado}v_{g}&={frac {parcial E}{parcial p}}={frac {parcial }{parcial p}}left({sqrt {p^{ 2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}right)\&={frac {pc^{2}}{sqrt {p^{2}c ^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}}\&={frac {pc^{2}}{E}}end{alineado}}$

donde m ₀ es la masa en reposo de la partícula y c es la velocidad de la luz en el vacío. Pero (ver abajo), usando que la velocidad de fase es v _p = E / p = c / v, por lo tanto ${begin{alineado}v_{g}&={frac {pc^{2}}{E}}\&={frac {c^{2}}{v_{p}}}\& =vend{alineado}}$

donde v es la velocidad de la partícula independientemente del comportamiento de onda.

Velocidad de fase

En mecánica cuántica, las partículas también se comportan como ondas con fases complejas. La velocidad de fase es igual al producto de la frecuencia por la longitud de onda.

Por la hipótesis de De Broglie, vemos que $v_{mathrm {p} }={frac {omega }{k}}={frac {E/hbar }{p/hbar }}={frac {E}{p}}.$

Usando relaciones relativistas para energía y cantidad de movimiento, tenemos ${displaystyle v_{mathrm {p} }={frac {E}{p}}={frac {mc^{2}}{mv}}={frac {gamma m_{0}c^ {2}}{gamma m_{0}v}}={frac{c^{2}}{v}}={frac{c}{beta }}}$

donde E es la energía total de la partícula (es decir, la energía en reposo más la energía cinética en el sentido cinemático), p la cantidad de movimiento, $gama$ el factor de Lorentz, c la velocidad de la luz y β la velocidad como fracción de c. La variable v puede tomarse como la velocidad de la partícula o como la velocidad de grupo de la onda de materia correspondiente. Dado que la velocidad de la partícula $v<c$ para cualquier partícula que tiene masa (según la relatividad especial), la velocidad de fase de las ondas de materia siempre excede c, es decir $v_{mathrm {p} }>c,,$

y como podemos ver, se aproxima a c cuando la velocidad de la partícula está en el rango relativista. La velocidad de fase superlumínica no viola la relatividad especial, porque la propagación de fase no lleva energía. Ver el artículo sobre Dispersión (óptica) para más detalles.

Cuatro vectores

Usando cuatro vectores, las relaciones de De Broglie forman una sola ecuación:

{displaystyle mathbf {P} =hbar mathbf {K} }

que es independiente del marco.

Asimismo, la relación entre la velocidad de grupo/partícula y la velocidad de fase viene dada en forma independiente del marco por:

{displaystyle mathbf {K} =left({frac {omega _{o}}{c^{2}}}right)mathbf {U} }

dónde

Cuatro impulsos $mathbf {P} =izquierda({frac {E}{c}},{vec {mathbf {p} }}derecha)$
Vector de cuatro ondas $mathbf {K} =left({frac {omega }{c}},{vec {mathbf {k} }}right)=left({frac {omega }{c}},{frac {omega }{v_{p}}}mathbf {hat {n}} right)$
cuatro velocidades $mathbf {U} =gamma (c,{vec {mathbf {u} }})=gamma (c,v_{g}{hat {mathbf {n} }})$

Interpretaciones

El propósito de la tesis de 81 páginas de De Broglie era crear una versión mejorada del átomo de Bohr a través de la teoría de la onda piloto. De Broglie presentó su tesis sobre la teoría de las ondas piloto en la Conferencia Solvay de 1927.

La tesis de de Broglie implicaba la hipótesis de que una onda estacionaria guiaba a los electrones en el modelo del átomo de Bohr. La tesis tenía un análisis inusual de que los fotones de mayor energía obedecen la Ley de Wien y son como partículas, mientras que los fotones de menor energía obedecen la ley de Rayleigh-Jeans y son como ondas.La física de partículas tiende a tratar todas las fuerzas mediante la interacción partícula-partícula, lo que hace que Richard Feynman diga que no hay ondas, solo partículas. Y recientemente, ha habido algunas teorías que intentan explicar las interpretaciones de la mecánica cuántica que intentan resolver si el aspecto de la partícula o el de la onda es fundamental en la naturaleza, buscando explicar el otro como una propiedad emergente. Algunas interpretaciones, como la teoría de la variable oculta, tratan la onda y la partícula como entidades distintas. Sin embargo, otros proponen alguna entidad intermedia que no es ni onda ni partícula, sino que solo aparece como tal cuando medimos una u otra propiedad. La interpretación de Copenhague establece que la naturaleza de la realidad subyacente es incognoscible y está más allá de los límites de la investigación científica.

Schrödinger reconoce que su ecuación mecánica cuántica se basa en parte en la tesis de de Broglie. Schrödinger enfatizó que su ecuación era diferente porque estaba en un espacio multidimensional. En su conferencia, dado que tanto la mecánica ondulatoria como la mecánica matricial eran conceptos nuevos, intenta dar a entender que su fórmula es superior al igual que Heisenberg en su discurso.

En la Quinta Conferencia Solvay en 1927, Erwin Schrödinger informó:

Bajo [el nombre de 'mecánica ondulatoria',] en la actualidad se están llevando a cabo dos teorías que, de hecho, están estrechamente relacionadas pero no son idénticas. El primero, que se deriva directamente de la famosa tesis doctoral de L. de Broglie, se refiere a las ondas en el espacio tridimensional. … Por lo tanto, la llamaremos, [la ecuación de Schrödinger], la mecánica ondulatoria multidimensional.

En 1955, Heisenberg demostró que las ondas de las ecuaciones mecánicas cuánticas se reinterpretaron como probabilidades en lugar de ondas clásicas, afirmando:

Un importante paso adelante lo dio el trabajo de Born [ Z. Phys. , 37: 863, 1926 y 38: 803, 1926] en el verano de 1926. En este trabajo se interpretó la onda en el espacio de configuraciones como una onda de probabilidad, con el fin de explicar los procesos de colisión en la teoría de Schrödinger. Esta hipótesis contenía dos novedades importantes en comparación con la de Bohr, Kramers y Slater. El primero de ellos fue la afirmación de que, al considerar las "ondas de probabilidad", nos interesan los procesos no en el espacio tridimensional ordinario, sino en un espacio de configuración abstracto (un hecho que, desafortunadamente, a veces se pasa por alto incluso hoy); el segundo fue el reconocimiento de que la onda de probabilidad está relacionada con un proceso individual.

Se mencionó anteriormente que la "cantidad desplazada" de la onda de Schrödinger tiene valores que son números complejos adimensionales. Según Heisenberg, en lugar de ser una cantidad física ordinaria como, por ejemplo, la intensidad del campo eléctrico de Maxwell o la densidad de masa, la "cantidad desplazada" del paquete de ondas de Schrödinger es una amplitud de probabilidad. Escribió que en lugar de usar el término 'paquete de ondas', es preferible hablar de un paquete de probabilidad.La amplitud de probabilidad de la ecuación de Schrödinger se interpreta como el cálculo de la probabilidad de la ubicación o momento de partículas discretas. Heisenberg recita la descripción de Duane de la difracción de partículas por transferencia de impulso de traducción cuántica probabilística, que permite, por ejemplo, en el experimento de dos rendijas de Young, que cada partícula difractada pase probabilísticamente discretamente a través de una rendija particular. Schrödinger propuso originalmente que su onda de materia estaba 'compuesta de materia manchada', pero la regla de Born cambió la función psi para que se entendiera como una descripción de probabilidad en lugar de una descripción de la densidad de carga de electrones real.

Estas ideas pueden expresarse en lenguaje ordinario de la siguiente manera. En la explicación de las ondas físicas ordinarias, un 'punto' se refiere a una posición en el espacio físico ordinario en un instante de tiempo, en el que se especifica un 'desplazamiento' de alguna cantidad física. Pero en la descripción de la mecánica cuántica, un 'punto' se refiere a una configuración del sistema en un instante de tiempo, estando cada partícula del sistema en cierto sentido presente en cada 'punto' del espacio de configuración, cada partícula en tal ' el punto' está ubicado posiblemente en una posición diferente en el espacio físico ordinario. No hay ninguna indicación explícita y definida de que, en un instante, esta partícula está "aquí" y esa partícula está "allá" en alguna "ubicación" separada en el espacio de configuración. Esta diferencia conceptual implica que, En contraste con la descripción de la onda pre-mecánica cuántica de De Broglie, la descripción del paquete de probabilidad de la mecánica cuántica no expresa directa y explícitamente la idea aristotélica, a la que se refiere Newton, de que la eficacia causal se propaga a través del espacio ordinario por contacto, ni la idea einsteiniana de que tal propagación no es más rápido que la luz. En contraste, estas ideas están tan expresadas en la cuenta de onda clásica, a través de la función de Green, aunque es inadecuada para los fenómenos cuánticos observados. El razonamiento físico para esto fue reconocido por primera vez por Einstein. ni la idea de Einstein de que tal propagación no es más rápida que la luz. En contraste, estas ideas están tan expresadas en la cuenta de onda clásica, a través de la función de Green, aunque es inadecuada para los fenómenos cuánticos observados. El razonamiento físico para esto fue reconocido por primera vez por Einstein. ni la idea de Einstein de que tal propagación no es más rápida que la luz. En contraste, estas ideas están tan expresadas en la cuenta de onda clásica, a través de la función de Green, aunque es inadecuada para los fenómenos cuánticos observados. El razonamiento físico para esto fue reconocido por primera vez por Einstein.

Onda de fase de De Broglie y fenómeno periódico

La tesis de De Broglie partía de la hipótesis, “que a cada porción de energía con masa propia m ₀ se le puede asociar un fenómeno periódico de frecuencia ν ₀, tal que se encuentra: hν ₀ = m ₀c. La frecuencia ν ₀ debe medirse, por supuesto, en el marco de reposo del paquete de energía. Esta hipótesis es la base de nuestra teoría”. (Esta frecuencia también se conoce como frecuencia Compton).

De Broglie siguió su hipótesis inicial de un fenómeno periódico, con frecuencia ν ₀, asociado con el paquete de energía. Usó la teoría especial de la relatividad para encontrar, en el marco del observador del paquete de energía de electrones que se mueve con velocidad $v$ , que su frecuencia aparentemente se redujo a ${displaystyle nu _{1}=nu _{0}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}},.}$

De Broglie razonó que para un observador estacionario este hipotético fenómeno periódico intrínseco de partículas parece estar en fase con una onda de longitud de onda $lambda$ y frecuencia $F$ que se propaga con velocidad de fase $v_{mathrm {p} }$ . De Broglie llamó a esta onda la “onda de fase” («onde de phase» en francés). Esta era su concepción básica de ondas de materia. Observó, como antes, que $v_{mathrm {p} }>c$ , y la onda de fase no transfiere energía.

Si bien el concepto de ondas asociadas con la materia es correcto, de Broglie no saltó directamente a la comprensión final de la mecánica cuántica sin dar pasos en falso. Hay problemas conceptuales con el enfoque que de Broglie tomó en su tesis que no pudo resolver, a pesar de probar varias hipótesis fundamentales diferentes en diferentes artículos publicados mientras trabajaba en su tesis y poco después de publicarla. Estas dificultades fueron resueltas por Erwin Schrödinger, quien desarrolló el enfoque de la mecánica ondulatoria, partiendo de una hipótesis básica algo diferente.

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