Número muy abundante

En teoría de números, un número muy abundante es un número natural con la propiedad de que la suma de sus divisores (incluido él mismo) es mayor que la suma de los divisores de cualquier número natural menor.

Los números muy abundantes y varias clases similares de números fueron introducidos por primera vez por Pillai (1943), y los primeros trabajos sobre el tema fueron realizados por Alaoglu y Erdős (1944). Alaoglu y Erdős tabularon todos los números muy abundantes hasta 10⁴ y demostraron que el número de números muy abundantes es menor que cualquier N es al menos proporcional a log² N.

Definición formal y ejemplos

Formalmente, un número natural n se llama muy abundante si y sólo si para todos los números naturales m < n,

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donde σ denota la función de suma de divisores. Los primeros números muy abundantes son

1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60... A002093 en el OEIS).

Por ejemplo, 5 no es muy abundante porque σ(5) = 5+1 = 6 es más pequeño que σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7, mientras que 8 es muy abundante porque σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 es mayor que todos los valores anteriores de σ.

Los únicos números impares muy abundantes son el 1 y el 3.

Relaciones con otros conjuntos de números

Aunque los primeros ocho factoriales son muy abundantes, no todos los factoriales son muy abundantes. Por ejemplo,

σ(9!) = σ(362880) = 1481040,

pero hay un número menor con una suma mayor de divisores,

σ(360360) = 1572480,

Así que 9! no es muy abundante.

Alaoglu y Erdős observaron que todos los números superabundantes son muy abundantes y preguntaron si hay infinitos números muy abundantes que no son superabundantes. Esta pregunta fue respondida afirmativamente por Jean-Louis Nicolas (1969).

A pesar de la terminología, no todos los números muy abundantes son números abundantes. En particular, ninguno de los primeros siete números altamente abundantes (1, 2, 3, 4, 6, 8 y 10) es abundante. Junto con el 16, el noveno número muy abundante, estos son los únicos números muy abundantes que no lo son.

7200 es el número más grande y poderoso que también es muy abundante: todos los números más grandes y muy abundantes tienen un factor primo que los divide solo una vez. Por lo tanto, 7200 es también el número más grande y altamente abundante con una suma impar de divisores.