Número aleph

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Número infinito cardenal

En las matemáticas, particularmente en la teoría de conjunto, números de aleph son una secuencia de números utilizados para representar la cardinalidad (o tamaño) de conjuntos infinitos que pueden ser bien ordenados. Fueron introducidos por el matemático Georg Cantor y son nombrados por el símbolo que usaba para denotarlos, la letra semita aleph (Aleph) ${displaystyle ,aleph ,}$ ).

La cardinalidad de los números naturales es ${displaystyle ,aleph _{0},}$ (Leer Aleph-nought o aleph-zero; el término aleph-null también se utiliza a veces), la siguiente cardenalidad más grande de un conjunto bien ordenado es aleph-one ${displaystyle ,aleph _{1};,}$ entonces ${displaystyle ,aleph _{2},}$ y así sucesivamente. Continuando de esta manera, es posible definir un número cardenal ${displaystyle ,aleph _{alpha },}$ para cada número de ordinal ${displaystyle ,alpha ;,}$ como se describe a continuación.

El concepto y la notación se deben a Georg Cantor, quien definió la noción de cardinalidad y se dio cuenta de que conjuntos infinitos pueden tener diferentes cardinalidades.

Los números aleph difieren del infinito ( ${displaystyle ,infty ,}$ ) comúnmente encontrado en álgebra y cálculo, en que los alephs miden los tamaños de conjuntos, mientras que el infinito se define comúnmente como un límite extremo de la línea de números reales (aplicado a una función o secuencia que "diverges to infinity" o "auses sin límites"), o como un punto extremo de la línea de números reales extendida.

Aleph-cero

${displaystyle ,aleph _{0},}$ (aleph-zero, también aleph-nought o aleph-null) es la cardinalidad del conjunto de todos los números naturales, y es un cardenal infinito. El conjunto de todas las ordinalidades finitas, llamadas ${displaystyle ,omega ,}$ o ${displaystyle ,omega _{0},}$ (donde) ${displaystyle ,omega ,}$ es la letra griega inferior omega), tiene cardenalidad ${displaystyle ,aleph _{0},}$ . Un conjunto tiene cardenalidad ${displaystyle ,aleph _{0},}$ si y sólo si es contablemente infinito, es decir, hay una bijeción (una correspondencia a una) entre ella y los números naturales. Ejemplos de tales conjuntos son

el conjunto de todos los enteros,
cualquier subconjunto infinito de los enteros, como el conjunto de todos los números cuadrados o el conjunto de todos los números primos,
el conjunto de todos los números racionales,
el conjunto de todos los números constructibles (en el sentido geométrico),
el conjunto de todos los números algebraicos,
el conjunto de todos los números computables,
el conjunto de todas las funciones computables,
el conjunto de todas las cadenas binarias de longitud finita, y
el conjunto de todos los subconjuntos finitos de cualquier conjunto contablemente infinito dado.

Estos ordinal infinitos: ${displaystyle ,omega ;,}$ ${displaystyle ,omega +1;,}$ ${displaystyle ,omega ,cdot 2,,,}$ ${displaystyle ,omega ^{2},,}$ ${displaystyle ,omega ^{omega },}$ y ${displaystyle ,varepsilon _{0},}$ están entre los conjuntos contablemente infinitos. Por ejemplo, la secuencia (con ordinalidad) ${displaystyle ,omega ,cdot 2,}$ ) de todos los números enteros positivos seguidos por todos los enteros positivos incluso

{displaystyle ,{,1,3,5,7,9,...,2,4,6,8,10,...,},}

es una orden del conjunto (con cardenalidad $aleph _{0}$ ) de números enteros positivos.

Si el axioma de la opción contable (una versión más débil del axioma de elección) sostiene, entonces ${displaystyle ,aleph _{0},}$ es más pequeño que cualquier otro cardenal infinito.

Alef-uno

${displaystyle ,aleph _{1},}$ es la cardinalidad del conjunto de todos los números ordinal contables, llamado ${displaystyle ,omega _{1},}$ o a veces ${displaystyle ,Omega ,}$ . Esto ${displaystyle ,omega _{1},}$ es en sí mismo un número ordinal mayor que todos los contados, por lo que es un conjunto incontable. Por lo tanto, ${displaystyle ,aleph _{1},}$ es distinto ${displaystyle ,aleph _{0},}$ . La definición de ${displaystyle ,aleph _{1},}$ implica (en ZF, Zermelo–Fraenkel set theory sin el axioma de la elección) que ningún número cardenal es entre ${displaystyle ,aleph _{0},}$ y ${displaystyle ,aleph _{1},}$ . Si se utiliza el axioma de elección, se puede probar que la clase de números cardinales está totalmente ordenada, y por lo tanto ${displaystyle ,aleph _{1},}$ es el número cardenal infinito segundo. Usando el axioma de elección, se puede mostrar una de las propiedades más útiles del conjunto ${displaystyle ,omega _{1},}$ : cualquier subconjunto contable ${displaystyle ,omega _{1},}$ tiene un límite superior en ${displaystyle ,omega _{1},}$ . (Esto se deriva del hecho de que la unión de un número contable de conjuntos contables es en sí misma contable – una de las aplicaciones más comunes del axioma de elección.) Este hecho es análogo a la situación en ${displaystyle ,aleph _{0};}$ : cada conjunto finito de números naturales tiene un máximo que es también un número natural, y los sindicatos finitos de conjuntos finitos son finitos.

${displaystyle ,omega _{1}~}$ es en realidad un concepto útil, si algo exótico-sonido. Una aplicación de ejemplo es "cerrar" con respecto a operaciones contables; por ejemplo, tratando de describir explícitamente el álgebra σ generado por una colección arbitraria de subconjuntos (véase por ejemplo la jerarquía Borel). Esto es más difícil que las descripciones más explícitas de la "generación" en álgebra (espacios, grupos, etc.) porque en esos casos sólo tenemos que cerrar con respecto a operaciones finitas – sumas, productos y similares. El proceso consiste en definir, para cada ordinal contable, a través de la inducción transfinita, un conjunto de "haciendo" todos los posibles sindicatos y complementos contables, y tomando la unión de todo eso sobre todo ${displaystyle ,omega _{1}}$ .

Hipótesis continua

La cardenalidad del conjunto de números reales (cardialidad del continuum) es ${displaystyle ,2^{aleph _{0}}~.}$ No se puede determinar desde ZFC (Zermelo–Fraenkel teoría de conjunto aumentada con el axioma de elección) donde este número encaja exactamente en la jerarquía número aleph, pero sigue de ZFC que la hipótesis continua, CH, es equivalente a la identidad

{displaystyle 2^{aleph _{0}}=aleph _{1}.}

El CH establece que no existe ningún conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente entre la de los números enteros y la de los números reales. CH es independiente de ZFC: no se puede probar ni refutar dentro del contexto de ese sistema de axiomas (siempre que ZFC sea consistente). Que CH es consistente con ZFC fue demostrado por Kurt Gödel en 1940, cuando demostró que su negación no es un teorema de ZFC. Que es independiente de ZFC fue demostrado por Paul Cohen en 1963, cuando mostró a la inversa que el CH en sí mismo no es un teorema de ZFC, mediante el (entonces novedoso) método de forzamiento.

Aleph-omega

Aleph-omega es

{displaystyle aleph _{omega }=sup ,{,aleph _{n}:nin omega }=sup ,{,aleph _{n}:nin left{,0,1,2,dots ,right},}~}

donde el ordinal infinito más pequeño es denotado $\cdot$ . Es decir, el número cardenal ${displaystyle ,aleph _{omega },}$ es el límite inferior superior

{displaystyle left{,aleph _{n}:nin left{,0,1,2,dots ,right},right}~.}

${displaystyle ,aleph _{omega }}$ es el primer número cardenal incontable que se puede demostrar dentro de la teoría de conjuntos Zermelo-Fraenkel no ser igual a la cardinalidad del conjunto de todos los números reales; para cualquier entero positivo n podemos asumir constantemente que ${displaystyle ,2^{aleph _{0}}=aleph _{n}~,}$ y además es posible asumir ${displaystyle ,2^{aleph _{0}},}$ es tan grande como nos gusta. Sólo nos vemos obligados a evitar establecerlo a ciertos cardenales especiales con cofinalidad ${displaystyle ,aleph _{0}~,}$ significa que hay una función sin límites desde ${displaystyle ,aleph _{0},}$ a ella (ver el teorema de Easton).

Aleph-α para α general

Para definir ${displaystyle ,aleph _{alpha },}$ para el número de ordinal arbitrario ${displaystyle ,alpha ~,}$ debemos definir el funcionamiento cardenal sucesor, que asigna a cualquier número cardenal ${displaystyle ,rho ,}$ el próximo cardenal mejor ordenado ${displaystyle ,rho ^{+},}$ (si el axioma de elección sostiene, este es el próximo cardenal más grande).

Entonces podemos definir los números alef de la siguiente manera:

aleph _{0}=omega

{displaystyle aleph _{alpha +1}=aleph _{alpha }^{+}~}

y para $λ$ , un ordinal de límite infinito,

<math alttext="{displaystyle aleph _{lambda }=bigcup _{beta א א λ λ =⋃ ⋃ β β .λ λ א א β β .{displaystyle aleph _{lambda #=bigcup _{beta ♪♪lambda }aleph ♪♪{beta }~<img alt="{displaystyle aleph _{lambda }=bigcup _{beta

El ordinal inicial α-th infinito está escrito $omega _{alpha }$ . Su cardenalidad está escrita ${displaystyle ,aleph _{alpha }~.}$

Informalmente, el función aleph ${displaystyle ,aleph ,}$ es una bijeción de los ordinals a los cardenales infinitos. Formally, en ZFC, ${displaystyle ,aleph ,}$ es no una función, ya que no es un conjunto (debido a la paradoja Burali-Forti).

Puntos fijos de omega

Para cualquier ordinal α tenemos

{displaystyle alpha leq omega _{alpha }~.}

En muchos casos $omega _{alpha }$ es estrictamente mayor que $α$ . Por ejemplo, para cualquier sucesor ordinal α esto sostiene. Sin embargo, hay algunos ordinal límite que son puntos fijos de la función omega, debido al lema de punto fijo para funciones normales. El primero es el límite de la secuencia

{displaystyle omega,omega _{omega },,omega _{omega _{omega }},,ldots ~.}

Cualquier cardenal débilmente inaccesible es también un punto fijo de la función del aleph. Esto se puede mostrar en ZFC como sigue. Suppose ${displaystyle ,kappa =aleph _{lambda },}$ es un cardenal débilmente inaccesible. Si $lambda$ eran un ordinal sucesor, entonces ${displaystyle ,aleph _{lambda },}$ sería un cardenal sucesor y por lo tanto no débilmente inaccesible. Si ${displaystyle ,lambda ,}$ era un límite ordinal menos que ${displaystyle ,kappa ~,}$ entonces su cofinalidad (y así la cofinalidad de $aleph _{lambda }$ ) sería menos que ${displaystyle ,kappa ,}$ y así ${displaystyle ,kappa ,}$ no sería regular y por lo tanto no débilmente inaccesible. Así ${displaystyle ,lambda geq kappa ,}$ y en consecuencia ${displaystyle ,lambda =kappa ,}$ que lo hace un punto fijo.

Papel del axioma de elección

La cardinalidad de cualquier número ordinal infinito es un número aleph. Cada aleph es la cardinalidad de algún ordinal. El menor de ellos es su ordinal inicial. Cualquier conjunto cuya cardinalidad sea un aleph es equinumero con un ordinal y por lo tanto es bien ordenable.

Cada conjunto finito es bien ordenable, pero no tiene un aleph como cardinalidad.

La suposición de que la cardinalidad de cada conjunto infinito es un número aleph es equivalente sobre ZF a la existencia de un buen ordenamiento de cada conjunto, que a su vez es equivalente al axioma de elección. La teoría de conjuntos ZFC, que incluye el axioma de elección, implica que todo conjunto infinito tiene un número aleph como su cardinalidad (es decir, es equinúmero con su ordinal inicial), y por lo tanto los ordinales iniciales de los números aleph sirven como una clase de representantes para todos números cardinales infinitos posibles.

Cuando se estudia la cardinalidad en ZF sin el axioma de elección, ya no es posible demostrar que cada conjunto infinito tiene algún número aleph como su cardinalidad; los conjuntos cuya cardinalidad es un número aleph son exactamente los conjuntos infinitos que pueden estar bien ordenados. El método del truco de Scott se usa a veces como una forma alternativa de construir representantes de números cardinales en el entorno de ZF. Por ejemplo, se puede definir $card(S)$ como el conjunto de conjuntos con la misma cardinalidad que $S$ del rango mínimo posible. Tiene la propiedad de que $card(S) = card(T)$ si y solo si $S$ y $T$ tienen la misma cardinalidad. (El conjunto $card(S)$ no tiene la misma cardinalidad que $S$ en general, pero todos sus elementos lo hacen).

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