Nudo (matemáticas)

En matemáticas, un nudo es una incrustación del círculo S¹ en el espacio euclidiano tridimensional, R³ (también conocido como E³). A menudo dos nudos se consideran equivalentes si son isotópicos ambientales, es decir, si existe una deformación continua de R³ que lleva un nudo al otro.

Una diferencia crucial entre las nociones matemáticas estándar y convencionales de un nudo es que los nudos matemáticos están cerrados: no hay extremos que atar o desatar en un nudo matemático. Propiedades físicas como la fricción y el grosor tampoco se aplican, aunque existen definiciones matemáticas de nudo que tienen en cuenta dichas propiedades. El término nudo también se aplica a incrustaciones de S^j en S ⁿ, especialmente en el caso j = n − 2. La rama de las matemáticas que estudia los nudos se conoce como teoría de nudos y tiene muchas relaciones con la teoría de grafos.

Definición formal

Un nudo es una incrustación del círculo (S1) en un espacio euclidiano tridimensional (R³), o las 3 esferas (S³), ya que las 3 esferas son compactas. Se define que dos nudos son equivalentes si existe una isotopía ambiental entre ellos.

Proyección

Un nudo en R3 (o alternativamente en las 3 esferas, S³), se puede proyectar en un plano R2 (respectivamente una esfera S²). Esta proyección es casi siempre regular, lo que significa que es inyectiva en todas partes, excepto en un número finito de puntos de cruce, que son las proyecciones de sólo dos puntos. i> del nudo, y estos puntos no son colineales. En este caso, al elegir un lado de proyección, se puede codificar completamente la clase de isotopía del nudo mediante su proyección regular registrando una simple información superior/inferior en estos cruces. En términos de teoría de grafos, una proyección regular de un nudo, o diagrama de nudos, es, por tanto, un gráfico plano cuadrivalente con vértices excesivamente o insuficientemente decorados. Las modificaciones locales de este gráfico que permiten pasar de un diagrama a cualquier otro diagrama del mismo nudo (hasta la isotopía ambiental del avión) se denominan movimientos de Reidemeister.

• 

  Reidemeister move 1

• 

  Reidemeister move 2

• 

  Reidemeister move 3

Tipos de nudos

El nudo más simple, llamado nudo sin nudo o nudo trivial, es un círculo redondo incrustado en R3. En el sentido corriente de la palabra, lo que se desanuda no está “anudado”; en absoluto. Los nudos no triviales más simples son el nudo de trébol (3₁ en la tabla), el nudo en forma de ocho (4 ₁) y el nudo cinquefoil (5₁).

Varios nudos, unidos o enredados entre sí, se llaman enlaces. Los nudos son enlaces con un solo componente.

Nudos domesticados versus nudos salvajes

Un nudo poligonal es un nudo cuya imagen en R³ es la unión de un conjunto finito de segmentos de recta. Un nudo manso es cualquier nudo equivalente a un nudo poligonal. Los nudos que no son mansos se denominan salvajes y pueden tener un comportamiento patológico. En la teoría de nudos y en la teoría de las 3 variedades, a menudo el adjetivo "domesticado" se omite. Los nudos lisos, por ejemplo, siempre resultan mansos.

Nudo enmarcado

Un nudo enmarcado es la extensión de un nudo manso a una incrustación del toro sólido D² × S¹ en S³.

El encuadre del nudo es el número de enlace de la imagen de la cinta I × S ¹ con el nudo. Un nudo enmarcado puede verse como la cinta incrustada y el marco es el número (con signo) de vueltas. Esta definición se generaliza a una análoga para enlaces enmarcados. Se dice que los enlaces enmarcados son equivalentes si sus extensiones a toros sólidos son isotópicas ambientales.

Los diagramas de enlaces enmarcados son diagramas de enlaces con cada componente marcado, para indicar el enmarcado, por un número entero que representa una pendiente con respecto al meridiano y la longitud preferida. Una forma estándar de ver un diagrama de vínculo sin marcas como si representara un vínculo enmarcado es utilizar el marco de pizarra. Este encuadre se obtiene convirtiendo cada componente en una cinta que se extiende plana sobre el plano. Un movimiento de Reidemeister tipo I cambia claramente el marco de la pizarra (cambia el número de giros de una cinta), pero los otros dos movimientos no. Reemplazar el tipo Muevo por un tipo Muevo modificado da un resultado para diagramas de vínculos con marco de pizarra similar al teorema de Reidemeister: Los diagramas de vínculos, con marcos de pizarra, representan vínculos enmarcados equivalentes si y sólo si están conectados por una secuencia de (modificados) movimientos de tipo I, II y III. Dado un nudo, se pueden definir infinitas estructuras en él. Suponer que nos dan un nudo con un marco fijo. Se puede obtener un nuevo marco del existente cortando una cinta y girándola un múltiplo entero de 2π alrededor del nudo y luego péguela nuevamente en su lugar hicimos el corte. De esta manera se obtiene un nuevo encuadre a partir de uno antiguo, hasta la relación de equivalencia para nudos enmarcados, dejando el nudo fijo. El encuadre en este sentido está asociado al número de giros. el campo vectorial actúa alrededor del nudo. Saber cuántas veces se gira el campo vectorial el nudo permite determinar el campo vectorial hasta el difeomorfismo y la clase de equivalencia del el encuadre está determinado completamente por este número entero llamado entero de encuadre.

Complemento de nudo

Dado un nudo en las 3 esferas, el complemento del nudo son todos los puntos de las 3 esferas que no están contenidos en el nudo. Un teorema importante de Gordon y Luecke establece que como máximo dos nudos tienen complementos homeomorfos (el nudo original y su reflejo especular). En efecto, esto convierte el estudio de los nudos en el estudio de sus complementos y, a su vez, en la teoría de las 3 variedades.

Descomposición JSJ

La descomposición de JSJ y el teorema de hiperbolización de Thurston reducen el estudio de nudos en las 3 esferas al estudio de varias variedades geométricas mediante empalme u operaciones de satélites. En el nudo representado, la descomposición JSJ divide el complemento en la unión de tres variedades: dos complementos de trébol y el complemento de los anillos borromeos. El complemento trébol tiene la geometría de H² × R, mientras que los anillos borromeos complementan tiene la geometría de H³.

Nudos armónicos

Las representaciones paramétricas de nudos se denominan nudos armónicos. Aaron Trautwein compiló representaciones paramétricas para todos los nudos hasta aquellos con un número de cruce de 8 en su tesis doctoral.

Aplicaciones a la teoría de grafos

Gráfico medial

Peter Tait introdujo otra representación conveniente de los diagramas de nudos en 1877.

Cualquier diagrama de nudos define un gráfico plano cuyos vértices son los cruces y cuyos bordes son caminos entre cruces sucesivos. Exactamente una cara de este gráfico plano no tiene límites; cada uno de los demás es homeomorfo a un disco bidimensional. Colorea estas caras de negro o blanco para que la cara ilimitada sea negra y dos caras cualesquiera que compartan un borde límite tengan colores opuestos. El teorema de la curva de Jordan implica que existe exactamente una coloración de este tipo.

Construimos un nuevo gráfico plano cuyos vértices son las caras blancas y cuyas aristas corresponden a los cruces. Podemos etiquetar cada borde en este gráfico como borde izquierdo o borde derecho, dependiendo de qué hilo parece pasar sobre el otro cuando vemos el cruce correspondiente desde uno de los puntos finales del borde. Los bordes izquierdo y derecho generalmente se indican etiquetando los bordes izquierdos + y los bordes derechos –, o dibujando los bordes izquierdos con líneas continuas y los bordes derechos con líneas discontinuas.

El diagrama de nudos original es el gráfico medial de este nuevo gráfico plano, con el tipo de cada cruce determinado por el signo del borde correspondiente. Cambiar el signo de cada arista corresponde a reflejar el nudo en un espejo.

Incrustación sin enlaces ni nudos

En dos dimensiones, sólo los gráficos planos pueden incrustarse en el plano euclidiano sin cruces, pero en tres dimensiones, cualquier gráfico no dirigido puede incrustarse en el espacio sin cruces. Sin embargo, los gráficos con incrustaciones sin enlaces y sin nudos proporcionan un análogo espacial de los gráficos planos. Una incrustación sin vínculos es una incrustación del gráfico con la propiedad de que dos ciclos cualesquiera están desvinculados; una incrustación sin nudos es una incrustación del gráfico con la propiedad de que cualquier ciclo no está anudado. Los gráficos que tienen incrustaciones sin vínculos tienen una caracterización de gráfico prohibido que involucra a la familia Petersen, un conjunto de siete gráficos que están intrínsecamente vinculados: no importa cómo estén incrustados, algunos dos ciclos estarán vinculados entre sí. No se conoce una caracterización completa de los gráficos con incrustaciones sin nudos, pero el gráfico completo K₇ es uno de los mínimos. Gráficos prohibidos para incrustaciones sin nudos: no importa cómo esté incrustado K₇, contendrá un ciclo que forma un nudo trébol.

Generalización

En las matemáticas contemporáneas, el término nudo se utiliza a veces para describir un fenómeno más general relacionado con las incrustaciones. Dada una variedad M con una subvariedad N, a veces se dice N se puede anudar en M si existe una incrustación de N en M que no es isotópico de N. Los nudos tradicionales forman el caso donde N = S¹ y M = R³ o M = S³</span .

El teorema de Schoenflies establece que el círculo no se anuda en la 2-esfera: cada círculo topológico en la 2-esfera es isotópico de un círculo geométrico. El teorema de Alexander establece que la 2 esferas no se anuda suavemente (ni PL ni topológicamente) en la 3 esferas. En la categoría topológica domesticada, se sabe que la n-esfera no se anuda en la n + 1-esfera para todos los n. Este es un teorema de Morton Brown, Barry Mazur y Marston Morse. La esfera con cuernos de Alexander es un ejemplo de una 2 esferas anudadas en una 3 esferas que no es mansa. En la categoría suave, se sabe que la esfera n no se anuda en la n + 1-esfera proporcionada n ≠ 3. El caso n = 3 es un problema pendiente desde hace mucho tiempo estrechamente relacionado con la pregunta: ¿admite la bola 4 una estructura suave y exótica?

André Haefliger demostró que no hay nudos lisos de dimensiones j en Sⁿ proporcionó 2n − 3j − 3 > 0, y dio más ejemplos de esferas anudadas para todos los n > j ≥ 1 tal que 2n − 3j − 3 = 0. n − j se llama codimensión del nudo. Un aspecto interesante del trabajo de Haefliger es que las clases de isotopías de incrustaciones de S^j en Sⁿ forman un grupo, con operación de grupo dada por la suma de conexión, siempre que la codimensión sea mayor que dos. Haefliger basó su trabajo en el teorema del cobordismo h de Stephen Smale. Uno de los teoremas de Smale es que cuando se trata de nudos en codimensión mayor que dos, incluso los nudos no equivalentes tienen complementos difeomorfos. Esto le da al tema un tono diferente al de la teoría de nudos co-dimensionados. Si se permiten istopías topológicas o PL, Christopher Zeeman demostró que las esferas no se anudan cuando la codimensión es mayor que 2. Vea una generalización a variedades.