Teorema de Gelfand-Naimark

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En matemáticas, el teorema de Gelfand-Naimark establece que una C*-álgebra arbitraria A es isométricamente *-isomorfa a una C*-subálgebra de operadores acotados en una Espacio de Hilbert. Este resultado fue probado por Israel Gelfand y Mark Naimark en 1943 y fue un punto significativo en el desarrollo de la teoría de las C*-álgebras ya que estableció la posibilidad de considerar una C*-álgebra como una entidad algebraica abstracta sin referencia a realizaciones particulares. como un álgebra de operadores.

Detalles

La representación Gelfand-Naimark π es la suma directa de las representaciones π_f de A donde f oscila sobre el conjunto de estados puros de A y π_f es la representación irreducible asociada a f por la construcción GNS. Así, la representación de Gelfand-Naimark actúa sobre la suma directa de Hilbert de los espacios de Hilbert H_f por

{displaystyle pi (x)[bigoplus _{f}H_{f}]=bigoplus _{f}pi _{f}(x)H_{f}.}

π(x) es un operador lineal acotado ya que es la suma directa de una familia de operadores, cada uno con norma ≤ ||x||.

Teorema. La representación de Gelfand-Naimark de un álgebra C* es una representación * isométrica.

Basta con mostrar que el mapa π es inyectivo, ya que para *-morfismos de C*-álgebras inyectivo implica isométrico. Sea x un elemento distinto de cero de A. Por el teorema de extensión de Kerin para funcionales lineales positivos, existe un estado f en A tal que f(z) ≥ 0 para todo z no negativo en A y f(−x* x) < 0. Considere la representación GNS π_f con el vector cíclico ξ. Desde

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se sigue que π_f (x) ≠ 0, entonces π (x) ≠ 0, entonces π es inyectiva.

La construcción de la representación de Gelfand-Naimark depende únicamente de la construcción GNS y, por lo tanto, es significativa para cualquier *-álgebra A de Banach que tenga una identidad aproximada. En general (cuando A no es un C*-álgebra) no será una representación fiel. El cierre de la imagen de π(A) será un álgebra C* de operadores llamada álgebra envolvente C* de A. De manera equivalente, podemos definir el Álgebra envolvente C* de la siguiente manera: defina una función de valor real en A mediante

|x|_{{operatorname {C}^{*}}}=sup _{f}{sqrt {f(x^{*}x)}}

como f varía sobre los estados puros de A. Esta es una semi-norma, a la que nos referimos como la C* semi-norma de A. El conjunto I de elementos de A cuya seminorma es 0 forma un ideal de dos colas en A cerrado por involución. Así, el espacio vectorial cociente A / I es un álgebra involutiva y la norma

|cdot |_{{operatorname {C}^{*}}}

factores a través de una norma en A / I, que a excepción de la integridad, es una norma C* en A / I (a veces se denominan normas pre-C*). Tomando la terminación de A / I en relación con esta norma pre-C* se produce un C*-álgebra B.

Por el teorema de Krein-Milman se puede demostrar sin demasiada dificultad que para x un elemento del *-álgebra de Banach A que tiene una identidad aproximada:

sup _{{fin operatorname {State}(A)}}f(x^{*}x)=sup _{{fin operatorname {PureState}(A)}}f(x^{*}x).

Se deduce que una forma equivalente para la norma C* en A es tomar el supremo anterior sobre todos los estados.

La construcción universal también se utiliza para definir C*-álgebras universales de isometrías.

Remark. La representación Gelfand o el isomorfismo Gelfand para un álgebra C* conmutativa con unidad $A$ es un isométrico *-isomorfismo de $A$ al álgebra de funciones continuas de valor complejo en el espacio de las funciones lineales multiplicativas, que en el caso comunicativo son precisamente los estados puros, de A con la débil* topología.

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