Notación cientifica

La notación científica es una forma de expresar números que son demasiado grandes o demasiado pequeños (por lo general, darían como resultado una larga cadena de dígitos) para escribirlos convenientemente en forma decimal. Puede denominarse forma científica o forma de índice estándar, o forma estándar en el Reino Unido. Esta notación de base diez es comúnmente utilizada por científicos, matemáticos e ingenieros, en parte porque puede simplificar ciertas operaciones aritméticas. En las calculadoras científicas se suele conocer como "SCI" modo de visualización.

En notación científica, los números distintos de cero se escriben en la forma

o m multiplicado por diez elevado a la potencia de n, donde n es un número entero, y el coeficiente m es un número real distinto de cero (generalmente entre 1 y 10 en valor absoluto, y casi siempre escrito como un decimal final). El número entero n se llama exponente y el número real m se llama significando o mantisa. El término "mantisa" puede ser ambiguo cuando se trata de logaritmos, porque también es el nombre tradicional de la parte fraccionaria del logaritmo común. Si el número es negativo, un signo menos precede a m, como en la notación decimal ordinaria. En notación normalizada, el exponente se elige de manera que el valor absoluto (módulo) de la mantisa m sea al menos 1 pero menor que 10.

El punto flotante decimal es un sistema aritmético computarizado estrechamente relacionado con la notación científica.

Notación normalizada

Cualquier número real dado se puede escribir en la forma m×10^ⁿ de muchas maneras: por ejemplo, 350 se puede escribir como 3.5×10² o 35×10¹ or 350×10⁰.

En notación científica normalizada (llamada "forma estándar" en el Reino Unido), el exponente n se elige de modo que el valor absoluto de m sigue siendo al menos uno pero menos de diez (1 ≤ |m| < 10). Por lo tanto, 350 se escribe como 3.5×10². Esta forma permite una fácil comparación de números: los números con exponentes más grandes son (debido a la normalización) más grandes que aquellos con exponentes más pequeños, y la resta de exponentes da una estimación del número de órdenes de magnitud que separan los números. También es la forma que se requiere cuando se usan tablas de logaritmos comunes. En notación normalizada, el exponente n es negativo para un número con valor absoluto entre 0 y 1 (por ejemplo, 0,5 se escribe como 5×10⁻¹). El 10 y el exponente a menudo se omiten cuando el exponente es 0.

La forma científica normalizada es la forma típica de expresión de números grandes en muchos campos, a menos que se desee una forma no normalizada o normalizada de forma diferente, como la notación de ingeniería. La notación científica normalizada a menudo se llama notación exponencial, aunque el último término es más general y también se aplica cuando m no está restringido al rango de 1 a 10 (como en la notación de ingeniería para ejemplo) y a bases distintas de 10 (por ejemplo, 3.15× 2^²⁰).

Notación de ingeniería

La notación de ingeniería (a menudo llamada "ENG" en las calculadoras científicas) difiere de la notación científica normalizada en que el exponente n está restringido a múltiplos de 3. En consecuencia, el valor absoluto de m está en el rango 1 ≤ |m| < 1000, en lugar de 1 ≤ |m| < 10. Aunque similar en concepto, la notación de ingeniería rara vez se llama notación científica. La notación de ingeniería permite que los números coincidan explícitamente con sus prefijos SI correspondientes, lo que facilita la lectura y la comunicación oral. Por ejemplo, 12.5 ×10⁻⁹ m se puede leer como "doce coma cinco nanómetros" y escrito como 12,5 nm, mientras que su notación científica equivale a 1.25×10⁻⁸ m probablemente se leería como "uno punto dos cinco veces diez elevado a menos ocho metros".

Cifras significativas

Una cifra significativa es un dígito en un número que aumenta su precisión. Esto incluye todos los números distintos de cero, ceros entre dígitos significativos y ceros indicados como significativos. Los ceros iniciales y finales no son dígitos significativos, porque existen solo para mostrar la escala del número. Desafortunadamente, esto conduce a la ambigüedad. El número 1230400 generalmente se lee con cinco cifras significativas: 1, 2, 3, 0 y 4, los dos ceros finales sirven solo como marcadores de posición y agregan sin precisión Sin embargo, se usaría el mismo número si los dos últimos dígitos también se midieran con precisión y se encontrara que son iguales a 0, siete cifras significativas.

Cuando un número se convierte en notación científica normalizada, se reduce a un número entre 1 y 10. Todos los dígitos significativos permanecen, pero ya no se requieren los ceros de retención. Por lo tanto 1230400 se convertiría en 1.2304×10⁶ si tuviera cinco dígitos significativos. Si el número se conociera con seis o siete cifras significativas, se mostraría como 1,23040×10⁶ o 1.230400×10⁶. Por lo tanto, una ventaja adicional de la notación científica es que el número de cifras significativas no es ambiguo.

Dígitos finales estimados

Es habitual en la medición científica registrar todos los dígitos definitivamente conocidos de la medición y estimar al menos un dígito adicional si hay alguna información disponible sobre su valor. El número resultante contiene más información de la que tendría sin el dígito adicional, que puede considerarse un dígito significativo porque transmite cierta información que conduce a una mayor precisión en las mediciones y en las agregaciones de mediciones (sumándolas o multiplicándolas).

Se puede transmitir información adicional sobre la precisión mediante notación adicional. A menudo es útil saber qué tan exacto es el dígito final. Por ejemplo, el valor aceptado de la masa del protón se puede expresar correctamente como 1,67262192369 (51)×10⁻²⁷ kg, que es la abreviatura de (1.67262192369±0.00000000051)×10⁻²⁷ kg.

Notación E

A Texas Instruments TI-84 Además de la pantalla de cálculo que muestra la constante Avogadro en la notación E

La mayoría de las calculadoras y muchos programas informáticos presentan resultados muy grandes y muy pequeños en notación científica, normalmente invocados por una tecla etiquetada como EXP (para exponent), EEX (para ingresar exponente), EE, EX, E, or × 10 ^x según el proveedor y el modelo. Debido a que los exponentes en superíndice como 10⁷ no siempre se pueden mostrar convenientemente, la letra E (o e) se usa a menudo para representar "veces diez elevado a la potencia de" (que se escribiría como "× 10ⁿ") y es seguido por el valor del exponente; en otras palabras, para cualquier número real m y entero n, el uso de "mEn" indicaría un valor de m × 10ⁿ. En este uso, el carácter e no está relacionado con la constante matemática e o la función exponencial e^x (a confusión que es improbable si la notación científica se representa con una E mayúscula). Aunque E significa exponente, la notación generalmente se conoce como (científica) E notación en lugar de (científica) notación exponencial . El uso de la notación E facilita la entrada de datos y la legibilidad en la comunicación textual, ya que minimiza las pulsaciones de teclas, evita tamaños de fuente reducidos y proporciona una visualización más simple y concisa, pero no se recomienda en algunas publicaciones.

Ejemplos y otras notaciones

• Desde su primera versión publicada para el IBM 704 en 1956, el idioma Fortran ha utilizado la notación E para números de puntos flotantes. No formaba parte de la especificación preliminar a partir de 1954.
• La notación E ya fue utilizada por los desarrolladores del sistema operativo SHARE (SOS) para el IBM 709 en 1958.
• En la mayoría de los idiomas de programación populares, 6.022E23 (o 6.022e23) es equivalente a 6.02×1023, y 1.6×10−35 sería escrito 1.6E-35 (por ejemplo Ada, Analytica, C/C+++, Fortran, MATLAB, Scilab, Perl, Java, Python, Lua, JavaScript y otros).
• Después de la introducción de las primeras calculadoras de bolsillo que apoyan la notación científica en 1972 (HP-35, SR-10) el término decapower a veces se utiliza en las comunidades de usuarios emergentes para el multiplicador de potencia a menudo para distinguirlo mejor de los exponentes "normales". Asimismo, la letra "D" se utilizó en números escritos. Esta nota fue propuesta por Jim Davidson y publicada en el número de enero de 1976 del boletín Hewlett-Packard de Richard J. Nelson 65 notas para usuarios de HP-65, y fue adoptado y llevado a la comunidad de instrumentos de Texas por Richard C. Vanderburgh, el editor del 52-Notas newsletter para usuarios SR-52 en noviembre de 1976.
• Las pantallas de las calculadoras de bolsillo LED no mostraban una "E" o "e". En cambio, uno o más dígitos quedaron en blanco entre el mantissa y el exponente (por ejemplo. 6.022 23, como en el Hewlett-Packard HP-25), o un par de dígitos más pequeños y ligeramente elevados reservados para el exponente fue utilizado (por ejemplo,. 6.022 23, como en el Commodore PR100).
• Fortran (al menos desde FORTRAN IV hasta 1961) también utiliza "D" para significar números de doble precisión en notación científica.
• Similar, un "D" fue utilizado por ordenadores de bolsillo Sharp PC-1280, PC-1470U, PC-1475, PC-1480U, PC-1490U, PC-1490UII, PC-E500, PC-E500S, PC-E550, PC-E650 y PC-U6000 para indicar números de doble precisión de 20 dígitos en notación científica en BASIC entre 1987 y 1995.
• Algunos nuevos compiladores FORTRAN como DEC FORTRAN 77 (f77), Intel Fortran, Compaq/Digital Visual Fortran o GNU Fortran (gfortran) apoyan "Q" para significar números de precisión cuádruple en notación científica.
• MATLAB apoya ambas letras, "E" y "D", para indicar números en notación científica.
• El lenguaje de programación ALGOL 60 (1960) utiliza un subscript ten "₁₀" carácter en lugar de la letra E, por ejemplo: 6.0221023.
• El uso del "₁₀"en los diversos estándares Algol proporcionó un desafío en algunos sistemas informáticos que no proporcionaron tal "₁₀" carácter. Como consecuencia, Stanford University Algol-W requirió el uso de una sola cita, por ejemplo. 6.022'+23, y algunas variantes del Algol soviético permitieron el uso del carácter cirílico "ю", por ejemplo 6.022ю+23.
• Posteriormente, el lenguaje de programación ALGOL 68 proporcionó la elección de 4 caracteres: E, e, , o ₁₀. Por ejemplo: 6.022E23, 6.022e23, 6.02223 o 6.0221023.

• Símbolo exponente decimal es parte del Estándar Unicode, por ejemplo. 6.022⏨23. Está incluido como U+23E8 ⏨ DECIMAL EXPONENT SYMBOL para acomodar el uso en los lenguajes de programación Algol 60 y Algol 68.
• en 1962, Ronald O. Whitaker of Rowco Engineering Co. propuso una nomenclatura de sistema de poder de diez, donde el exponente sería circunscrito, por ejemplo 6.022 × 10³ sería escrito como "6.0223".
• La serie TI-83 y la serie TI-84 Plus de calculadoras utilizan un estilizado E carácter para mostrar decimal exponent y el 10 carácter para denotar un operador equivalente ×10^.
• El lenguaje de programación de Simula requiere el uso de " (o " por mucho tiempo), por ejemplo: 6.022&23 (o 6.022&&23).
• El Wolfram Language (utilizado en Mathematica) permite una notación corta de 6.022*^23. (En lugar, E denota la constante matemática e).

Uso de espacios

En notación científica normalizada, en notación E y en notación de ingeniería, el espacio (que en la composición tipográfica puede estar representado por un espacio de ancho normal o un espacio delgado) que se permite solo antes y después "×" o delante de "E" a veces se omite, aunque es menos común hacerlo antes del carácter alfabético.

Más ejemplos de notación científica

• La masa de un electrón es sobre 0,000000000000000000000000000000910938356kg. En la notación científica, esto está escrito 9.10938356×10^{−31 -}kg (en unidades SI).
• La masa de la Tierra se trata 5972400000000000000000000kg. En la notación científica, esto está escrito 5.9724×10²⁴kg.
• La circunferencia de la Tierra es aproximadamente 40000000m. En la notación científica, esto es 4×10⁷m. En notación de ingeniería, esto está escrito 40×10⁶m. En estilo de escritura SI, esto puede ser escrito 40 mm ()40 megametros).
• Una pulgada se define como exactamente 25,4 mm. Citando un valor 25.400 mm muestra que el valor es correcto para el micrometre más cercano. Un valor aproximado con sólo dos dígitos significativos sería 2.5×10¹mm en su lugar. Como no hay límite para el número de dígitos significativos, la longitud de una pulgada podría, si fuera necesario, ser escrito como (sayo) 2.54000000000×10¹mm en su lugar.
• La hiperinflación es un problema que se produce cuando se imprime demasiado dinero con respecto a que haya demasiados productos básicos, lo que hace que la tasa de inflación aumente en un 50% o más en un solo mes; las monedas tienden a perder su valor intrínseco con el tiempo. Algunos países han tenido una tasa de inflación de 1 millón o más en un solo mes, lo que generalmente resulta en el abandono de la moneda del país poco después. En noviembre de 2008, la tasa mensual de inflación del dólar de Zimbabwe alcanzó los 79,6 millones de dólares; el valor aproximado con tres cifras significativas sería 7.96×10¹⁰ por ciento.

Convertir números

Convertir un número en estos casos significa convertir el número a notación científica, volverlo a convertir a decimal o cambiar la parte del exponente de la ecuación. Ninguno de estos altera el número real, solo cómo se expresa.

Decimal a científica

Primero, mueva el punto separador decimal suficientes lugares, n, para colocar el valor del número dentro del rango deseado, entre 1 y 10 para la notación normalizada. Si el decimal se movió a la izquierda, agregue × 10n; a la derecha, × 10−n. Para representar el número 1,230,400 en notación científica normalizada, el separador decimal se movería 6 dígitos a la izquierda y × 106 añadidos, lo que da como resultado 1.2304×10⁶. El número −0.0040321 tendría su separador decimal desplazado 3 dígitos a la derecha en lugar de a la izquierda y produciría −4.0321×10⁻³ como resultado.

Científico a decimal

Para convertir un número de notación científica a notación decimal, primero elimine el × 10n al final, luego desplaza los dígitos del separador decimal n a la derecha (n positivo) o a la izquierda (n negativo). El número 1.2304× 10⁶ tendría su separador decimal desplazado 6 dígitos a la derecha y se convertiría en 1,230,400, mientras que −4.0321×10⁻³ tendría su separador decimal movido 3 dígitos a la izquierda y sería −0.0040321.

Exponencial

La conversión entre diferentes representaciones de notación científica del mismo número con diferentes valores exponenciales se logra realizando operaciones opuestas de multiplicación o división por una potencia de diez en la parte significativa y una resta o suma de uno en la parte del exponente. El separador decimal en el significado se desplaza x lugares a la izquierda (o derecha) y x se suma (o resta) al exponente, como se muestra a continuación.

Operaciones básicas

Dados dos números en notación científica,

x0=m0× × 10n0{displaystyle x_{0}=m_{0}times 10^{n_{0}}

x1=m1× × 10n1{displaystyle x_{1}=m_{1}times 10^{n_{1}}

La multiplicación y la división se realizan usando las reglas para la operación con exponenciación:

x0x1=m0m1× × 10n0+n1{displaystyle x_{0}x_{1}=m_{0}m_{1}times 10^{n_{0}+n_{1}}

x0x1=m0m1× × 10n0− − n1{fnMicroc} {x_{0}{x_{1}}={frac Horas 10^{n_{0}-n_{1}}

Algunos ejemplos son:

5.67× × 10− − 5× × 2.34× × 102.. 13.3× × 10− − 5+2=13.3× × 10− − 3=1.33× × 10− − 2{displaystyle 5.67times 10^{-5}times 2.34times 10^{2}approx 13.3times 10^{-5+2}=13.3times 10^{-3}=1.33times 10^{-2}

2.34× × 1025.67× × 10− − 5.. 0.413× × 102− − ()− − 5)=0.413× × 107=4.13× × 106{displaystyle {frac {2.34times 10^{2}{5.67times 10^{-5}}approx 0.413times 10^{2-(-5)}=0.413times 10^{7}=4.13times 10^{6}}

La suma y la resta requieren que los números se representen usando la misma parte exponencial, de modo que la mantisa pueda simplemente sumarse o restarse:

x0=m0× × 10n0{displaystyle x_{0}=m_{0}times 10^{n_{0}} y x1=m1× × 10n1{displaystyle x_{1}=m_{1}times 10^{n_{1}} con n0=n1{displaystyle No.

A continuación, suma o resta los significados:

x0± ± x1=()m0± ± m1)× × 10n0{displaystyle x_{0}pm x_{1}=(m_{0}pm m_{1})times 10^{n_{0}}

Un ejemplo:

2.34× × 10− − 5+5.67× × 10− − 6=2.34× × 10− − 5+0.567× × 10− − 5=2.907× × 10− − 5{displaystyle 2.34times 10^{-5}+5.67times 10^{-6}=2.34times 10^{-5}+0.567times 10^{-5}=2.907times 10^{-5}}

Otras bases

Si bien la base diez se usa normalmente para la notación científica, también se pueden usar potencias de otras bases, siendo la base 2 la siguiente más utilizada.

Por ejemplo, en notación científica de base 2, el número 1001_b en binario (=9_d) se escribe como 1.001_b × 2_d^11_b o 1.001_b × 10_b^11_b usando números binarios (o más corto 1.001 × 10¹¹ si el contexto binario es obvio). En notación E, esto se escribe como 1.001_bE11_b (o más corto: 1.001E11) con la letra E ahora representa "por dos (10_b) a la potencia" aquí. Para distinguir mejor este exponente de base 2 de un exponente de base 10, a veces también se indica un exponente de base 2 usando la letra B en lugar de E, una notación abreviada propuesta originalmente por Bruce Alan Martin del Laboratorio Nacional de Brookhaven en 1968, como en 1.001_bB11_b (o más corto: 1.001B11). A modo de comparación, el mismo número en representación decimal: 1,125 × 2³ (con representación decimal) o 1,125B3 (todavía con representación decimal). Algunas calculadoras usan una representación mixta para números binarios de coma flotante, donde el exponente se muestra como un número decimal incluso en modo binario, por lo que lo anterior se convierte en 1.001_b × 10_b^3_d o menos 1.001B3.

Esto está estrechamente relacionado con la representación de coma flotante en base 2 que se usa comúnmente en la aritmética informática y el uso de prefijos binarios IEC (por ejemplo, 1B10 para 1×2¹⁰ (kibi), 1B20 para 1×2²⁰ (mebi), 1B30 por 1×2³⁰ (gibi), 1B40 por 1×2⁴⁰ (tebi)).

Similar a B (o b), las letras H (o h) y O (o o, o C) a veces también se usan para indicar veces 16 u 8 a la potencia como en 1.25 = 1,40_h × 10_h^0_h = 1,40H0 = 1.40h0, o 98000 = 2.7732_o × 10_o^5_o = 2,7732o5 = 2,7732C5.

Otra convención similar para indicar exponentes de base 2 es usar una letra P (o p, para "potencia"). En esta notación, el significado siempre debe ser hexadecimal, mientras que el exponente siempre debe ser decimal. Esta notación puede ser producida por implementaciones de la familia de funciones printf siguiendo la especificación C99 y (Especificación Unix Única) estándar IEEE Std 1003.1 POSIX, cuando se usa %a o %A especificadores de conversión. A partir de C++ 11, las funciones de E/S de C++ también podían analizar e imprimir la notación P. Mientras tanto, la notación ha sido completamente adoptada por el lenguaje estándar desde C++17. Swift de Apple también lo admite. También es requerido por el estándar binario de coma flotante IEEE 754-2008. Ejemplo: 1.3DEp42 representa 1.3DE_h × 2⁴².

La notación de ingeniería puede verse como una notación científica de base 1000.