Raíz cuadrada

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Número cuyo cuadrado es un número dado

Notación para la raíz cuadrada (principal)

x

Por ejemplo,

\sqrt 25 = 5

, desde

25 = 5 \cdot 5

, o

52

(5 cuadrados).

En matemáticas, una raíz cuadrada de un número $x$ es un número $y$ tal que $y 2 = x$ ; es decir, un número $y$ cuyo cuadrado (resultado de multiplicar el número por sí mismo, o $y$ ⋅ $y$ ) es $x$ . Por ejemplo, 4 y −4 son raíces cuadradas de 16, porque $42 = (-4) 2 = 16$ .

Cada número real no negativo $x$ tiene una raíz cuadrada no negativa única, llamada principal raíz cuadrada, que es denotado por ${displaystyle {sqrt {x}},}$ donde el símbolo ${displaystyle {sqrt {~^{~}}}}$ se llama señal radical o radio. Por ejemplo, para expresar el hecho de que la principal raíz cuadrada de 9 es 3, escribimos ${displaystyle {sqrt {9}}=3}$ . El término (o número) cuya raíz cuadrada se considera se conoce como el radicand. El radicand es el número o expresión debajo del signo radical, en este caso 9. Para no negativo $x$ , la principal raíz cuadrada también se puede escribir en notación exponente, como $x 1/2$ .

Cada número positivo $x$ tiene dos raíces cuadradas: ${displaystyle {sqrt {x}},}$ que es positivo, y ${displaystyle -{sqrt {x}},}$ que es negativo. Las dos raíces se pueden escribir más concisamente usando el signo ± como ${displaystyle pm {sqrt {x}}}$ . Aunque la principal raíz cuadrada de un número positivo es sólo una de sus dos raíces cuadradas, la designación "el raíz cuadrada" se utiliza a menudo para referirse a la raíz cuadrada principal.

Las raíces cuadradas de números negativos se pueden analizar en el marco de los números complejos. De manera más general, las raíces cuadradas se pueden considerar en cualquier contexto en el que una noción de "cuadrado" de un objeto matemático está definido. Estos incluyen espacios de funciones y matrices cuadradas, entre otras estructuras matemáticas.

Historia

YBC 7289 comprimido de arcilla

La tableta de arcilla Yale Babylonian Collection YBC 7289 fue creada entre 1800 BC y 1600 BC, mostrando ${sqrt {2}}$ y ${textstyle {frac {sqrt {2}}{2}}={frac {1}{sqrt {2}}}}$ respectivamente como 1;24,51,10 y 0;42,25,35 base 60 números en un cuadrado cruzado por dos diagonales. (1;24,51,10) base 60 corresponde a 1.41421296, que es un valor correcto a 5 puntos decimales (1.41421356...).

El papiro matemático Rhind es una copia de 1650 a. C. de un papiro de Berlín anterior y otros textos, posiblemente el papiro Kahun, que muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas mediante un método de proporción inversa.

En la antigua India, el conocimiento de los aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada era al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados alrededor del 800-500 a. C. (posiblemente mucho antes). En el Baudhayana Sulba Sutra se proporciona un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3. Aryabhata, en el Aryabhatiya (sección 2.4), ha dado un método para encontrar la raíz cuadrada de números que tienen muchos dígitos.

Era conocido por los antiguos griegos que las raíces cuadradas de enteros positivos que no son cuadrados perfectos son siempre números irracionales: números no expresibles como una relación de dos enteros (es decir, no pueden ser escritos exactamente como ${textstyle {frac {m}{n}}}$ , donde m y n son enteros). Este es el teorema Euclid X, 9, casi sin duda debido a Theaetetus que data de alrededor de 380 aC. El caso particular de la raíz cuadrada de 2 se asume hasta la fecha anterior a los pitagóricos, y se atribuye tradicionalmente a Hippasus. Es exactamente la longitud de la diagonal de un cuadrado con longitud lateral 1.

En el trabajo matemático chino Writings on Reckoning, escrito entre el 202 a. C. y el 186 a. método, que dice "...combinar el exceso y la deficiencia como divisor; (tomando) el numerador de deficiencia multiplicado por el denominador en exceso y el numerador en exceso multiplicado por el denominador de deficiencia, combínelos como el dividendo."

Regiomontanus (1436-1476) inventó un símbolo para las raíces cuadradas, escrito como una R elaborada. También se usó una R para radix para indicar raíces cuadradas en Ars Magna de Gerolamo Cardano.

Según el historiador de las matemáticas D.E. Smith, el método de Aryabhata para encontrar la raíz cuadrada fue introducido por primera vez en Europa por Cataneo, en 1546.

Según Jeffrey A. Oaks, los árabes usaban la letra jīm/ĝīm (ج ), la primera letra de la palabra "جذر" (transliterado de diversas formas como jaḏr, jiḏr, ǧaḏr o ǧiḏr, "raíz"), colocado en su forma inicial (ﺟ) sobre un número para indicar su raíz cuadrada. La letra jīm se asemeja a la forma actual de raíz cuadrada. Su uso se remonta a finales del siglo XII en las obras del matemático marroquí Ibn al-Yasamin.

El símbolo "√" porque la raíz cuadrada se utilizó por primera vez en forma impresa en 1525, en Coss de Christoph Rudolff.

Propiedades y usos

El gráfico de la función f()x) = √x, compuesto de media parabola con un directo vertical

La principal función de raíz cuadrada $f(x)={sqrt {x}}$ (generalmente referido como la "función raíz cuadrada") es una función que mapea el conjunto de números reales no negativos sobre sí mismo. En términos geométricos, la función raíz cuadrada mapea el área de un cuadrado a su longitud lateral.

La raíz cuadrada de x es racional si y solo si x es un número racional que se puede representar como una razón de dos cuadrados perfectos. (Ver raíz cuadrada de 2 para pruebas de que este es un número irracional, e irracional cuadrático para una prueba de todos los números naturales no cuadrados). La función de raíz cuadrada asigna números racionales a números algebraicos, siendo este último un superconjunto de los números racionales).

Para todos los números reales x,

<math alttext="{displaystyle {sqrt {x^{2}}}=left|xright|={begin{cases}x,&{mbox{if }}xgeq 0\-x,&{mbox{if }}xx2=SilencioxSilencio={}x,six≥ ≥ 0− − x,six.0.{displaystyle {sqrt {x^{2}}}=leftundaxright sometida={begin{cases}x, limitada{mbox{if }}xgeq 0\\-x, implica{mbox{if }x}0end{cases}}}}}}}}}<img alt=" sqrt{x^2} = left|xright| = begin{cases} x, & mbox{if }x ge 0 \ -x, & mbox{if }x

(ver valor absoluto)

Para todos los números reales no negativos x e y,

sqrt{xy} = sqrt x sqrt y

sqrt x = x^{1/2}.

La función de raíz cuadrada es continua para todo x no negativo y diferenciable para todo x positivo. Si f denota la función raíz cuadrada, cuya derivada viene dada por:

f'(x) = frac{1}{2sqrt x}.

La serie Taylor ${sqrt {1+x}}$ sobre x = 0 convergencias para la vidax← ≤ 1, y es dado por

{displaystyle {sqrt {1+x}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{frac {1}{2}}x-{frac {1}{8}}x^{2}+{frac {1}{16}}x^{3}-{frac {5}{128}}x^{4}+cdots}

La raíz cuadrada de un número no negativo se usa en la definición de norma euclidiana (y distancia), así como en generalizaciones como los espacios de Hilbert. Define un concepto importante de desviación estándar utilizado en teoría de probabilidad y estadística. Tiene un uso importante en la fórmula de raíces de una ecuación cuadrática; campos cuadráticos y anillos de enteros cuadráticos, que se basan en raíces cuadradas, son importantes en álgebra y tienen usos en geometría. Las raíces cuadradas aparecen con frecuencia en fórmulas matemáticas en otros lugares, así como en muchas leyes físicas.

Raíces cuadradas de enteros positivos

Un número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa, que son opuestas entre sí. Cuando se habla de la raíz cuadrada de un número entero positivo, generalmente se trata de la raíz cuadrada positiva.

Las raíces cuadradas de un número entero son números enteros algebraicos, más específicamente números enteros cuadráticos.

La raíz cuadrada de un entero positivo es el producto de las raíces de sus factores principales, porque la raíz cuadrada de un producto es el producto de las raíces cuadradas de los factores. Desde ${displaystyle {sqrt {p^{2k}}}=p^{k},}$ Sólo las raíces de esos primos que tienen un poder extraño en la factorización son necesarias. Más precisamente, la raíz cuadrada de una factorización principal es

{displaystyle {sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}dots p_{n}^{e_{n}}{sqrt {p_{1}dots p_{k}}}.}

Como desarrollos decimales

Las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos (por ejemplo, 0, 1, 4, 9, 16) son números enteros. En todos los demás casos, las raíces cuadradas de los enteros positivos son números irracionales y, por lo tanto, tienen decimales que no se repiten en sus representaciones decimales. En la siguiente tabla se dan aproximaciones decimales de las raíces cuadradas de los primeros números naturales.

$n$	${displaystyle {sqrt {n}},}$ truncado a 50 lugares decimales
0	0
1	1
2	1.41421356237309504880168872420969807856967187537694
3	1.73205080756887729352744634150587236694280525381038
4	2
5	2.236067977499789640917366873127623544061835961152
6	2.44948974278317809819728407470589139196594748065667
7	2.64575131106459059050161575363926042571025918308245
8	2.82842712474619009760337744841939615713934375075389
9	3
10	3.16227766016837933199889354443271853371955513932521

Como expansiones en otros sistemas numéricos

Al igual que antes, las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos (por ejemplo, 0, 1, 4, 9, 16) son números enteros. En todos los demás casos, las raíces cuadradas de los números enteros positivos son números irracionales y, por lo tanto, tienen dígitos que no se repiten en cualquier sistema de notación posicional estándar.

Las raíces cuadradas de los números enteros pequeños se usan en los diseños de funciones hash SHA-1 y SHA-2 para no proporcionar números bajo la manga.

Como fracciones continuas periódicas

Uno de los resultados más interesantes del estudio de los números irracionales como fracciones continuas lo obtuvo Joseph Louis Lagrange c. 1780. Lagrange encontró que la representación de la raíz cuadrada de cualquier número entero positivo no cuadrado como fracción continua es periódico. Es decir, cierto patrón de denominadores parciales se repite indefinidamente en la fracción continua. En cierto sentido, estas raíces cuadradas son los números irracionales más simples, porque se pueden representar con un patrón repetitivo simple de números enteros.

${sqrt {2}}$	= [1; 2, 2,...]
${sqrt {3}}$	= [1; 1, 2, 1, 2,...]
$sqrt{4}$	= [2]
${sqrt {5}}$	= [2; 4, 4,...]
${sqrt {6}}$	= [2; 2, 4, 2, 4,...]
${sqrt {7}}$	= [2; 1, 1, 4, 1, 1, 4,...]
${sqrt {8}}$	= [2; 1, 4, 1, 4,...]
${displaystyle {sqrt {9}}}$	= [3]
${sqrt {10}}$	= [3; 6, 6,...]
${sqrt {11}}$	= [3; 3, 6, 3, 6,...]
${sqrt {12}}$	= [3; 2, 6, 2, 6,...]
${displaystyle {sqrt {13}}}$	= [3; 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 6,...]
${displaystyle {sqrt {14}}}$	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 1, 6,...]
${displaystyle {sqrt {15}}}$	= [3; 1, 6, 1, 6,...]
${displaystyle {sqrt {16}}}$	= [4]
${displaystyle {sqrt {17}}}$	= [4; 8, 8,...]
${displaystyle {sqrt {18}}}$	= [4; 4, 8, 4, 8,...]
${displaystyle {sqrt {19}}}$	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8,...]
${displaystyle {sqrt {20}}}$	= [4; 2, 8, 2, 8,...]

La notación de corchetes utilizada anteriormente es una forma abreviada de una fracción continua. Escrito en la forma algebraica más sugerente, la fracción continua simple para la raíz cuadrada de 11, [3; 3, 6, 3, 6,...], se ve así:

sqrt{11} = 3 + cfrac{1}{3 + cfrac{1}{6 + cfrac{1}{3 + cfrac{1}{6 + cfrac{1}{3 + ddots}}}}}

donde el patrón de dos dígitos {3, 6} se repite una y otra vez en los denominadores parciales. Dado que 11 = 3² + 2, lo anterior también es idéntico a las siguientes fracciones continuas generalizadas:

{displaystyle {sqrt {11}}=3+{cfrac {2}{6+{cfrac {2}{6+{cfrac {2}{6+{cfrac {2}{6+{cfrac {2}{6+ddots }}}}}}}}}}=3+{cfrac {6}{20-1-{cfrac {1}{20-{cfrac {1}{20-{cfrac {1}{20-{cfrac {1}{20-ddots }}}}}}}}}}.}

Cálculo

Las raíces cuadradas de números positivos no son en general números racionales y, por lo tanto, no se pueden escribir como una expresión decimal recurrente o terminal. Por lo tanto, en general, cualquier intento de calcular una raíz cuadrada expresada en forma decimal solo puede producir una aproximación, aunque se puede obtener una secuencia de aproximaciones cada vez más precisas.

La mayoría de las calculadoras de bolsillo tienen una tecla de raíz cuadrada. Las hojas de cálculo de computadora y otro software también se usan con frecuencia para calcular las raíces cuadradas. Las calculadoras de bolsillo suelen implementar rutinas eficientes, como el método de Newton (frecuentemente con una suposición inicial de 1), para calcular la raíz cuadrada de un número real positivo. Al calcular raíces cuadradas con tablas de logaritmos o reglas de cálculo, se pueden explotar las identidades

{displaystyle {sqrt {a}}=e^{(ln a)/2}=10^{(log _{10}a)/2},}

donde in y log₁₀ son los logaritmos natural y en base 10.

Por juicio y terror, uno puede fijar una estimación para ${sqrt {a}}$ y aumentar o reducir la estimación hasta que esté de acuerdo con suficiente precisión. Para esta técnica es prudente utilizar la identidad

{displaystyle (x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2},}

ya que permite ajustar la estimación x en alguna cantidad c y medir el cuadrado del ajuste en términos de la estimación original y su cuadrado. Además, (x + c)² ≈ x² + 2xc cuando c está cerca de 0, porque la recta tangente a la gráfica de x² + 2xc + c² en c = 0, en función de c solo, es y = 2xc + x². Por lo tanto, se pueden planificar pequeños ajustes a x configurando 2xc a a, o c = a/(2x).

El método iterativo más común para calcular la raíz cuadrada a mano se conoce como el "método babilónico" o "método de Heron" en honor al filósofo griego del siglo I Herón de Alejandría, quien lo describió por primera vez. El método utiliza el mismo esquema iterativo que el método de Newton-Raphson cuando se aplica a la función y = f(x) = x² − a, usando el hecho de que su pendiente en cualquier punto es dy/dx = f′(x) = 2x, pero es anterior por muchos siglos. El algoritmo consiste en repetir un cálculo simple que da como resultado un número más cercano a la raíz cuadrada real cada vez que se repite con su resultado como la nueva entrada. La motivación es que si x es una sobreestimación de la raíz cuadrada de un número real no negativo a entonces a/x será una subestimación, por lo que el promedio de estos dos números es una mejor aproximación que cualquiera de ellos. Sin embargo, la desigualdad de las medias aritmética y geométrica muestra que esta media es siempre una sobrestimación de la raíz cuadrada (como se indica más adelante), por lo que puede servir como una nueva sobrestimación con la que repetir el proceso, que converge como consecuencia de las sucesivas sobreestima y subestima estar más cerca el uno del otro después de cada iteración. Para encontrar x:

Inicio con un valor de inicio positivo arbitrario x. El más cercano a la raíz cuadrada a, cuanto menos serán necesarias las iteraciones para alcanzar la precisión deseada.
Sustitución x por término mediox + a/x) / 2 entre x y a/x.
Repetir desde el paso 2, utilizando este promedio como el nuevo valor x.

Es decir, si una suposición arbitraria ${sqrt {a}}$ es x₀, y x_{n + 1} =x_n + a/x_n) / 2, entonces cada x_n es una aproximación de ${sqrt {a}}$ que es mejor para grande n que para pequeños n. Si a es positivo, la convergencia es cuadrática, lo que significa que al acercarse al límite, el número de dígitos correctos se duplica aproximadamente en cada próxima iteración. Si a = 0La convergencia es lineal.

Uso de la identidad

sqrt{a} = 2^{-n}sqrt{4^n a},

el cálculo de la raíz cuadrada de un número positivo se puede reducir al de un número en el rango $[1,4)$ . Esto simplifica la búsqueda de un valor inicial para el método iterativo que esté cerca de la raíz cuadrada, para lo cual se puede usar una aproximación polinomial o lineal por partes.

La complejidad de tiempo para calcular una raíz cuadrada con n dígitos de precisión es equivalente a la de multiplicar dos números de n dígitos.

Otro método útil para calcular la raíz cuadrada es el algoritmo de raíz enésima móvil, aplicado para n = 2.

El nombre de la función de raíz cuadrada varía de un lenguaje de programación a otro, siendo común sqrt (a menudo pronunciado "squirt"), usado en C, C++ y derivado lenguajes como JavaScript, PHP y Python.

Raíces cuadradas de números negativos y complejos

Primera hoja de la raíz cuadrada compleja

Segunda hoja de la raíz cuadrada compleja

Usando la superficie Riemann de la raíz cuadrada, se muestra cómo las dos hojas encajan juntas

El cuadrado de cualquier número positivo o negativo es positivo, y el cuadrado de 0 es 0. Por lo tanto, ningún número negativo puede tener una raíz cuadrada real. Sin embargo, es posible trabajar con un conjunto más inclusivo de números, llamados números complejos, que contienen soluciones a la raíz cuadrada de un número negativo. Esto se hace introduciendo un nuevo número, denotado por i (a veces escrito como j, especialmente en el contexto de la electricidad donde "i" representa tradicionalmente la corriente eléctrica) y se llama la unidad imaginaria, que se define tal que i² = −1. Usando esta notación, podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero también tenemos (−i)² = i² = −1 y entonces −i es también una raíz cuadrada de −1. Por convención, la raíz cuadrada principal de −1 es i, o más generalmente, si x es cualquier número no negativo, entonces la raíz cuadrada principal de −x es

sqrt{-x} = i sqrt x.

El lado derecho (así como su negativo) es de hecho una raíz cuadrada de −x, ya que

(isqrt x)^2 = i^2(sqrt x)^2 = (-1)x = -x.

Para cada número complejo distinto de cero z existen precisamente dos números w tales que w² = z: la raíz cuadrada principal de z (definida a continuación) y su negativo.

Raíz cuadrada principal de un número complejo

Representación geométrica de las raíces segunda a sexta de un número complejo

z

, en forma polar

re iφ

Donde

r = Silencio z Silencio

φ = arg z

. Si

z

es real,

φ = 0

π

. Las raíces principales se muestran en negro.

Para encontrar una definición para la raíz cuadrada que nos permita elegir consistentemente un solo valor, llamado el valor principal, comenzamos observando que cualquier número complejo ${displaystyle x+iy}$ puede ser visto como un punto en el plano, ${displaystyle (x,y),}$ expresado usando coordenadas cartesianas. El mismo punto puede ser reinterpretado usando coordenadas polares como el par ${displaystyle (r,varphi),}$ Donde $r geq 0$ es la distancia del punto desde el origen, y $varphi$ es el ángulo que la línea desde el origen hasta el punto hace con el real positivo ( $x$ Eje. En un análisis complejo, la ubicación de este punto está escrita convencionalmente ${displaystyle re^{ivarphi }.}$ Si

<math alttext="{displaystyle z=re^{ivarphi }{text{ with }}-pi z=reiφ φ con− − π π .φ φ ≤ ≤ π π ,{displaystyle z=re^{ivarphi }{text{ with }-pi > il}<img alt="{displaystyle z=re^{ivarphi }{text{ with }}-pi

principal raíz cuadrada

z

{displaystyle {sqrt {z}}={sqrt {r}}e^{ivarphi /2}.}

z

varphi = 0

z

{displaystyle {sqrt {r}}e^{i(0)/2}={sqrt {r}};}

<math alttext="{displaystyle -pi - - π π .φ φ \leq \leq π π {displaystyle - 'pi' significa 'varphi leq pi } <img alt="{displaystyle -pi

{displaystyle z=-2i}

{displaystyle varphi =-pi /2}

{displaystyle {sqrt {-2i}}={sqrt {2e^{ivarphi }}}={sqrt {2}}e^{ivarphi /2}={sqrt {2}}e^{i(-pi /4)}=1-i}

{displaystyle {tilde {varphi }}:=varphi +2pi =3pi /2}

{displaystyle {sqrt {2}}e^{i{tilde {varphi }}/2}={sqrt {2}}e^{i(3pi /4)}=-1+i=-{sqrt {-2i}}.}

La función principal de la raíz cuadrada es holomorfa en todas partes excepto en el conjunto de números reales no positivos (en los reinos estrictamente negativos ni siquiera es continua). La serie Taylor anterior ${sqrt {1+x}}$ sigue siendo válido para números complejos $x$ con $<math alttext="{displaystyle |x|SilencioxSilencio.1.{displaystyle Silenciox habit1} <img alt="{displaystyle |x|$

Lo anterior también se puede expresar en términos de funciones trigonométricas:

{displaystyle {sqrt {rleft(cos varphi +isin varphi right)}}={sqrt {r}}left(cos {frac {varphi }{2}}+isin {frac {varphi }{2}}right).}

Fórmula algebraica

Las raíces cuadradas

i

Cuando el número se expresa usando sus partes real e imaginaria, se puede usar la siguiente fórmula para la raíz cuadrada principal:

{displaystyle {sqrt {x+iy}}={sqrt {frac {{sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}{2}}}+ioperatorname {sgn}(y){sqrt {frac {{sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{2}}},}

donde $sgn(y)$ es el signo de $y$ (excepto que, aquí, sgn(0) = 1). En particular, las partes imaginarias del número original y el valor principal de su raíz cuadrada tienen el mismo signo. La parte real del valor principal de la raíz cuadrada siempre es no negativa.

Por ejemplo, las raíces cuadradas principales de $\pm i$ están dadas por:

{displaystyle {begin{aligned}{sqrt {i}}&={frac {1}{sqrt {2}}}+i{frac {1}{sqrt {2}}}={frac {sqrt {2}}{2}}(1+i),\{sqrt {-i}}&={frac {1}{sqrt {2}}}-i{frac {1}{sqrt {2}}}={frac {sqrt {2}}{2}}(1-i).end{aligned}}}

Notas

A continuación, el complejo z y w se puede expresar como:

${displaystyle z=|z|e^{itheta _{z}}}$
${displaystyle w=|w|e^{itheta _{w}}}$

Donde $<math alttext="{displaystyle -pi - - π π .Silencio Silencio z\leq \leq π π {displaystyle - 'pi'' ¿Por qué? <img alt="{displaystyle -pi$ y $<math alttext="{displaystyle -pi - - π π .Silencio Silencio w\leq \leq π π {displaystyle - 'pi' significa 'theta' <img alt="{displaystyle -pi$ .

Debido a la naturaleza discontinua de la función raíz cuadrada en el plano complejo, las siguientes leyes no son ciertas en general.

${displaystyle {sqrt {zw}}={sqrt {z}}{sqrt {w}}}$
Counterexample para la principal raíz cuadrada: $z = 1 -$ y $w = 1 -$
Esta igualdad sólo es válida cuando $<math alttext="{displaystyle -pi - - π π .Silencio Silencio z+Silencio Silencio w\leq \leq π π {displaystyle - 'pi' significa 'theta' <img alt="{displaystyle -pi$
${displaystyle {frac {sqrt {w}}{sqrt {z}}}={sqrt {frac {w}{z}}}}$
Counterexample para la principal raíz cuadrada: $w = 1$ y $z = 1 -$
Esta igualdad sólo es válida cuando $<math alttext="{displaystyle -pi - - π π .Silencio Silencio w- - Silencio Silencio z\leq \leq π π {displaystyle - 'pi' significa 'theta' <img alt="{displaystyle -pi$
${displaystyle {sqrt {z^{*}}}=left({sqrt {z}}right)^{*}}$
Counterexample para la principal raíz cuadrada: $z = 1 -$ )
Esta igualdad sólo es válida cuando ${displaystyle theta _{z}neq pi }$

Un problema similar aparece con otras funciones complejas con cortes de rama, por ejemplo, el logaritmo complejo y las relaciones $log z + log w = registro(zw)$ o $registro(z *) = registro(z) *$ que no son ciertas en general.

Asumir erróneamente que una de estas leyes subyace a varias "pruebas" defectuosas, por ejemplo, la siguiente muestra que $-1 = 1$ :

{displaystyle {begin{aligned}-1&=icdot i\&={sqrt {-1}}cdot {sqrt {-1}}\&={sqrt {left(-1right)cdot left(-1right)}}\&={sqrt {1}}\&=1.end{aligned}}}

La tercera igualdad no puede justificarse (ver prueba inválida). Se puede hacer para mantener cambiando el significado de √ para que esto ya no represente la principal raíz cuadrada (ver arriba) pero selecciona una rama para la raíz cuadrada que contiene ${displaystyle {sqrt {1}}cdot {sqrt {-1}}.}$ El lado izquierdo se convierte en

sqrt{-1} cdot sqrt{-1}=i cdot i=-1

si la rama incluye +i o

sqrt{-1} cdot sqrt{-1}=(-i) cdot (-i)=-1

si la rama incluye −i, mientras que el lado derecho se convierte en

{displaystyle {sqrt {left(-1right)cdot left(-1right)}}={sqrt {1}}=-1,}

donde la última igualdad, ${displaystyle {sqrt {1}}=-1,}$ es una consecuencia de la elección de rama en la redefinición de √.

Raíces enésimas y raíces polinómicas

La definición de una raíz cuadrada $x$ como número $y$ tales que ${displaystyle y^{2}=x}$ ha sido generalizado de la siguiente manera.

Una raíz de cubo $x$ es un número $y$ tales que ${displaystyle y^{3}=x}$ ; se denota ${displaystyle {sqrt[{3}]{x}}.}$

Si $n$ es un entero superior a dos, una raíz n° $x$ es un número $y$ tales que ${displaystyle y^{n}=x}$ ; se denota ${displaystyle {sqrt[{n}]{x}}.}$

Dado cualquier polinomio $p$ , una raíz de $p$ es un número $Sí.$ tales que $p () Sí.) = 0$ . Por ejemplo, el $n$ las raíces de $x$ son las raíces del polinomio (en $Sí.$ ) ${displaystyle y^{n}-x.}$

El teorema de Abel-Ruffini establece que, en general, las raíces de un polinomio de grado cinco o superior no se pueden expresar en términos de $n$ th raíces.

Raíces cuadradas de matrices y operadores

Si A es una matriz u operador definido positivo, entonces existe precisamente una matriz u operador definido positivo B con B² = A; luego definimos A^1/2 = B. En general, las matrices pueden tener múltiples raíces cuadradas o incluso una infinidad de ellas. Por ejemplo, la matriz identidad 2 × 2 tiene una infinidad de raíces cuadradas, aunque solo una de ellas es definida positiva.

En dominios integrales, incluidos campos

Cada elemento de un dominio integral no tiene más de 2 raíces cuadradas. La diferencia de dos cuadrados identidad $u 2 - v 2 = (u - v)(u + v)$ se demuestra usando la conmutatividad de la multiplicación. Si $u$ y $v$ son raíces cuadradas del mismo elemento, entonces $u 2 - v 2 = 0$ . Debido a que no hay divisores de cero, esto implica $u = v$ o $u + v = 0$ , donde este último significa que dos raíces son inversas aditivas entre sí. En otras palabras, si un elemento es una raíz cuadrada $u$ de un elemento $a$ existe, entonces las únicas raíces cuadradas de $a$ son $u$ y $-u$ . La única raíz cuadrada de 0 en un dominio integral es el 0 mismo.

En un campo de característica 2, un elemento tiene una raíz cuadrada o no tiene ninguna, porque cada elemento es su propio inverso aditivo, de modo que $- u = u$ . Si el campo es finito de característica 2, entonces cada elemento tiene una raíz cuadrada única. En un campo de cualquier otra característica, cualquier elemento distinto de cero tiene dos raíces cuadradas, como se explicó anteriormente, o no tiene ninguna.

Dado un número primo impar $p$ , sea $q = p e$ para algún entero positivo $e$ . Un elemento distinto de cero del campo $Fq$ con elementos $q$ es un elemento cuadrático residuo si tiene una raíz cuadrada en $F q$ . De lo contrario, es un no residuo cuadrático. Hay $(q - 1)/2$ residuos cuadráticos y $(q - 1)/2$ no residuos cuadráticos; el cero no se cuenta en ninguna clase. Los residuos cuadráticos forman un grupo bajo la multiplicación. Las propiedades de los residuos cuadráticos se utilizan ampliamente en teoría de números.

En anillos en general

A diferencia de un dominio integral, una raíz cuadrada en un anillo arbitrario (unital) no necesita ser única hasta firmar. Por ejemplo, en el anillo $mathbb {Z} /8mathbb {Z}$ de enteros modulo 8 (que es comunicativo, pero tiene cero divisores), el elemento 1 tiene cuatro raíces cuadradas distintas: ±1 y ±3.

Otro ejemplo es proporcionado por el anillo de las quaterniones ${displaystyle mathbb {H}}$ que no tiene divisores cero, pero no es conmutativo. Aquí, el elemento −1 tiene infinitamente muchas raíces cuadradas, incluyendo $\pm i$ , $\pm j$ , y $\pm k$ . De hecho, el conjunto de raíces cuadradas de −1 es exactamente

{ai + bj + ck mid a^2 + b^2 + c^2 = 1}.

Una raíz cuadrada de 0 es 0 o un divisor cero. Así en anillos donde no existen divisores cero, es únicamente 0. Sin embargo, los anillos con cero divisores pueden tener múltiples raíces cuadradas de 0. Por ejemplo, en ${displaystyle mathbb {Z} /n^{2}mathbb {Z}}$ cualquier múltiplo de $n$ es una raíz cuadrada de 0.

Construcción geométrica de la raíz cuadrada

Construyendo la longitud

{displaystyle x={sqrt {a}}}

, dado el

a

y la longitud de la unidad

El Espiral de Theodorus hasta el triángulo con una hipotenusa de √4

La raíz cuadrada de un número positivo se define generalmente como la longitud lateral de un cuadrado con el área igual al número dado. Pero la forma cuadrada no es necesaria para ella: si uno de dos objetos planos similares Euclidean tiene el área a tiempos mayores que otros, entonces la proporción de sus tamaños lineales es ${sqrt {a}}$ .

Una raíz cuadrada se puede construir con una brújula y una recta. En sus Elementos, Euclides (fl. 300 BC) dio la construcción de la media geométrica de dos cantidades en dos lugares diferentes: Proposición II.14 y Proposición VI.13. Desde la media geométrica a y b es ${sqrt {ab}}$ , uno puede construir ${sqrt {a}}$ simplemente tomando b = 1.

La construcción también está dada por Descartes en su La Géométrie, véase la figura 2 en la página 2. Sin embargo, Descartes no hizo ningún reclamo de originalidad y su audiencia habría estado bastante familiarizada con Euclides.

La segunda prueba de Euclid en el Libro VI depende de la teoría de triángulos similares. Deje que el AHB sea un segmento de línea de longitud a + b con AH = a y HB = b. Construir el círculo con AB como diámetro y dejar que C sea una de las dos intersecciones del acorde perpendicular en H con el círculo y denota la longitud CH como h. Luego, usando el teorema de Thales y, como en la prueba del teorema de Pitágoras por triángulos similares, el triángulo AHC es similar al triángulo CHB (como en realidad ambos son al triángulo ACB, aunque no lo necesitamos, pero es la esencia de la prueba del teorema de Pitágoras) de modo que AH:CH es como HC:HB, es decir. a/h = h/b, de lo que concluimos por multimultiplicación que h² = ab, y finalmente eso ${displaystyle h={sqrt {ab}}}$ . Al marcar el punto medio O del segmento de línea AB y dibujar el radio OC de longitud ()a + b)/2, entonces claramente OC > CH, i.e. ${textstyle {frac {a+b}{2}}geq {sqrt {ab}}}$ (con igualdad si a = b), que es la desigualdad aritmética-geométrica media para dos variables y, como se señaló anteriormente, es la base de la comprensión griega antigua del "método de Hierro".

Otro método de construcción geométrica utiliza triángulos rectos e inducción: ${sqrt {1}}$ se puede construir, y una vez ${sqrt {x}}$ ha sido construido, el triángulo derecho con las piernas 1 y ${sqrt {x}}$ tiene una hipotenusa ${displaystyle {sqrt {x+1}}}$ . La construcción de sucesivas raíces cuadradas de esta manera produce el Espiral de Teodoro representado arriba.

Notas

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Raíz cuadrada

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Como desarrollos decimales

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Cálculo

Raíces cuadradas de números negativos y complejos

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Fórmula algebraica

Notas

Raíces enésimas y raíces polinómicas

Raíces cuadradas de matrices y operadores

En dominios integrales, incluidos campos

En anillos en general

Construcción geométrica de la raíz cuadrada

Notas

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Primo de Mersenne

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