Norma matricial

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Norma en un espacio vectorial de matrices

En matemáticas, podemos definir normas para los elementos de un espacio vectorial. Cuando el espacio vectorial en cuestión consta de matrices, éstas se denominan normas matriciales.

Lo que distingue a las normas matriciales de otras normas vectoriales es cómo interactúan con la multiplicación, ya sea entre sí o con vectores, que a su vez pueden tener otras normas definidas.

Preliminares

Dado un campo ${displaystyle K}$ de números reales o complejos, ${displaystyle K^{mtimes n}}$ ser el $K$ -Espacio de vehículos con matrices ${displaystyle m}$ filas y ${displaystyle n}$ columnas y entradas en el campo ${displaystyle K}$ . Una norma de matriz es una norma ${displaystyle K^{mtimes n}}$ .

Este artículo siempre escribirá tales normas con dobles barras verticales (como así: ${displaystyle |A|}$ ). Así, la norma matriz es una función ${displaystyle |cdot |:K^{mtimes n}to mathbb {R} }$ que debe satisfacer las siguientes propiedades:

Para todos los escalares ${displaystyle alpha in K}$ y matrices ${displaystyle A,Bin K^{mtimes n}}$ ,

${displaystyle |A|geq 0}$ ()valor positivo)
${displaystyle |A|=0iff A=0_{m,n}}$ ()definida)
${displaystyle left|alpha Aright|=left|alpha right|left|Aright|}$ ()absolutamente homogénea)
${displaystyle |A+B|leq |A|+|B|}$ ()subadditivo o satisfacción del desigualdad)

La única característica que distingue las matrices de los vectores reordenados es la multiplicación. Las normas matriciales son particularmente útiles si también son submultiplicativas:

${displaystyle left|ABright|leq left|Aright|left|Bright|}$

Cada norma en $K n \times n$ puede ser reescatado para ser sub-multiplicativo; en algunos libros, la terminología matriz está reservada para normas submultiplicativas.

Matriz normas inducidas por normas vectoriales

Suponga una norma vectorial ${displaystyle |cdot |_{alpha }}$ on ${displaystyle K^{n}}$ y una norma vectorial ${displaystyle |cdot |_{beta }}$ on ${displaystyle K^{m}}$ se dan. Cualquier ${displaystyle mtimes n}$ matriz $A$ induce a un operador lineal de ${displaystyle K^{n}}$ a ${displaystyle K^{m}}$ con respecto a la base estándar, y uno define el correspondiente norma inducida o norma del operador o norma subordinada sobre el espacio ${displaystyle K^{mtimes n}}$ de todos ${displaystyle mtimes n}$ matrices como sigue:

{displaystyle {begin{aligned}|A|_{alphabeta }&=sup{|Ax|_{beta }:xin K^{n}{text{ with }}|x|_{alpha }=1}\&=sup left{{frac {|Ax|_{beta }}{|x|_{alpha }}}:xin K^{n}{text{ with }}xneq 0right}.end{aligned}}}

{displaystyle sup }

{displaystyle A}

{displaystyle |cdot |_{alpha }}

{displaystyle |cdot |_{beta }}

{displaystyle |cdot |_{alphabeta }}

Normas matriciales inducidas por normas p vectoriales

Si el p-norm para vectores ( ${displaystyle 1leq pleq infty }$ ) se utiliza para ambos espacios ${displaystyle K^{n}}$ y ${displaystyle K^{m},}$ entonces la norma del operador correspondiente es:

{displaystyle |A|_{p}=sup _{xneq 0}{frac {|Ax|_{p}}{|x|_{p}}}.}

Estas normas inducidas son diferentes del "entry-wise" p-normas y los ronmos de Schatten para matrices tratados a continuación, que son generalmente denotados por ${displaystyle |A|_{p}.}$

En los casos especiales ${displaystyle p=1,infty}$ las normas de matriz inducidas pueden ser calculadas o calculadas

{displaystyle |A|_{1}=max _{1leq jleq n}sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|,}

{displaystyle |A|_{infty }=max _{1leq ileq m}sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|,}

Por ejemplo, para

{displaystyle A={begin{bmatrix}-3&5&7\2&6&4\0&2&8\end{bmatrix}},}

{displaystyle |A|_{1}=max(|{-3}|+2+0;5+6+2;7+4+8)=max(5,13,19)=19,}

{displaystyle |A|_{infty }=max(|{-3}|+5+7;2+6+4;0+2+8)=max(15,12,10)=15.}

En el caso especial ${displaystyle p=2}$ (la norma euclidiana o ${displaystyle ell _{2}}$ -norma para vectores), la norma de matriz inducida es la norma espectral. (Los dos valores sí no coinciden en dimensiones infinitas — véase el radio espectral para mayor discusión.) La norma espectral de una matriz ${displaystyle A}$ es el mayor valor singular de ${displaystyle A}$ (es decir, la raíz cuadrada del mayor valor de la matriz ${displaystyle A^{*}A,}$ Donde ${displaystyle A^{*}}$ denota la transposición conyugal de ${displaystyle A}$ ):

{displaystyle |A|_{2}={sqrt {lambda _{max }left(A^{*}Aright)}}=sigma _{max }(A).}

{displaystyle sigma _{max }(A)}

{displaystyle A.}

{displaystyle |A^{*}A|_{2}=|AA^{*}|_{2}=|A|_{2}^{2}}

{displaystyle |A^{*}A|_{2}=sigma _{max }(A^{*}A)=sigma _{max }(A)^{2}=|A|_{2}^{2}}

{displaystyle |AA^{*}|_{2}=|A|_{2}^{2}}

{displaystyle |A|_{2}=sigma _{max }(A)leq |A|_{rm {F}}=left(sum _{i=1}^{m}sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}right)^{frac {1}{2}}=left(sum _{k=1}^{min(m,n)}sigma _{k}^{2}right)^{frac {1}{2}},}

{displaystyle |A|_{textrm {F}}}

{displaystyle A}

Cuando ${displaystyle p=2}$ tenemos una definición equivalente ${displaystyle |A|_{2}}$ como

{displaystyle sup{x^{*}Ay:xin K^{m},yin K^{n}{text{ with }}|x|_{2}=|y|_{2}=1}.}

Normas matriciales inducidas por normas vectoriales α y β

Supongamos normas vectoriales ${displaystyle |cdot |_{alpha }}$ y ${displaystyle |cdot |_{beta }}$ son utilizados para espacios ${displaystyle K^{n}}$ y ${displaystyle K^{m}}$ respectivamente, la norma del operador correspondiente es:

{displaystyle {begin{aligned}|A|_{alphabeta }&=sup{|Ax|_{alpha }:xin K^{n}{text{ with }}|x|_{beta }=1}.end{aligned}}}

{displaystyle alpha =2}

{displaystyle beta =infty }

{displaystyle |A|_{2,infty }=max _{1leq ileq m}|A_{i:}|_{2},}

{displaystyle A_{i:}}

{displaystyle A}

En los casos especiales ${displaystyle alpha =1}$ y ${displaystyle beta =2}$ , las normas de matriz inducidas pueden ser calculadas por

{displaystyle |A|_{1,2}=max _{1leq jleq n}|A_{:j}|_{2},}

{displaystyle A_{:j}}

{displaystyle A}

Por lo tanto, ${displaystyle |A|_{2,infty }}$ y ${displaystyle |A|_{1,2}}$ son la fila máxima y la columna 2-norm de la matriz, respectivamente.

Propiedades

Cualquier norma de operador es consistente con las normas vectoriales que lo inducen, dando

{displaystyle |Ax|_{beta }leq |A|_{alphabeta }|x|_{alpha }.}

Suppose ${displaystyle |cdot |_{alphabeta }}$ ; ${displaystyle |cdot |_{betagamma }}$ ; y ${displaystyle |cdot |_{alphagamma }}$ son normas del operador inducidas por los pares respectivos de normas vectoriales ${displaystyle (|cdot |_{alpha },|cdot |_{beta })}$ ; ${displaystyle (|cdot |_{beta },|cdot |_{gamma })}$ ; y ${displaystyle (|cdot |_{alpha },|cdot |_{gamma })}$ . Entonces,

{displaystyle |AB|_{alphagamma }leq |A|_{betagamma }|B|_{alphabeta };}

de este modo

{displaystyle |ABx|_{gamma }leq |A|_{betagamma }|Bx|_{beta }leq |A|_{betagamma }|B|_{alphabeta }|x|_{alpha }}

{displaystyle sup _{|x|_{alpha }=1}|ABx|_{gamma }=|AB|_{alphagamma }.}

Matrices cuadradas

Suppose ${displaystyle |cdot |_{alphaalpha }}$ es una norma de operador en el espacio de matrices cuadradas ${displaystyle K^{ntimes n}}$ inducido por normas vectoriales ${displaystyle |cdot |_{alpha }}$ y ${displaystyle |cdot |_{alpha }}$ . Entonces, la norma del operador es una norma de matriz submultiplicativa:

{displaystyle |AB|_{alphaalpha }leq |A|_{alphaalpha }|B|_{alphaalpha }.}

Además, cualquier norma de este tipo satisface la desigualdad

{displaystyle (|A^{r}|_{alphaalpha })^{1/r}geq rho (A)}

()1)

para todos los enteros positivos r, donde $ρ (A)$ es el valor espectral radio de $A$ . Para $A$ simétrica o hermitiana, tenemos igualdad en (1) para la norma 2, ya que en este caso la norma 2 es precisamente el radio espectral de $A$ . Para una matriz arbitraria, es posible que no tengamos igualdad para ninguna norma; un contraejemplo sería

{displaystyle A={begin{bmatrix}0&1\0&0end{bmatrix}},}

{displaystyle lim _{rto infty }|A^{r}|^{1/r}=rho (A).}

Normas consistentes y compatibles

Una norma de matriz ${displaystyle |cdot |}$ on ${displaystyle K^{mtimes n}}$ se llama coherente con una norma vectorial ${displaystyle |cdot |_{alpha }}$ on ${displaystyle K^{n}}$ y una norma vectorial ${displaystyle |cdot |_{beta }}$ on ${displaystyle K^{m}}$ , si:

{displaystyle left|Axright|_{beta }leq left|Aright|left|xright|_{alpha }}

{displaystyle Ain K^{mtimes n}}

{displaystyle xin K^{n}}

m = n

{displaystyle alpha =beta }

{displaystyle |cdot |}

compatible

{displaystyle |cdot |_{alpha }}

Todas las normas inducidas son consistentes por definición. Además, cualquier norma de matriz submultiplicativa en ${displaystyle K^{ntimes n}}$ induce una norma vectorial compatible en ${displaystyle K^{n}}$ definiendo ${displaystyle left|vright|:=left|left(v,v,dotsvright)right|}$ .

"Entrada" normas matriciales

Estas normas tratan un ${displaystyle mtimes n}$ matriz como vector de tamaño ${displaystyle mcdot n}$ , y utilizar una de las normas vectoriales familiares. Por ejemplo, usando el p-norm para vectores, p ≥ 1, tenemos:

{displaystyle |A|_{p,p}=|mathrm {vec} (A)|_{p}=left(sum _{i=1}^{m}sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}right)^{1/p}}

Esta es una norma diferente de la inducida p-norm (ver arriba) y Schatten p-norm (ver abajo), pero la notación es la misma.

El caso especial p = 2 es la norma Frobenius, y p = ∞ produce la norma máxima.

Normas L2,1 y Lp,q

Vamos. ${displaystyle (a_{1},ldotsa_{n})}$ ser las columnas de la matriz ${displaystyle A}$ . De la definición original, la matriz ${displaystyle A}$ presenta n puntos de datos en espacio m-dimensional. El ${displaystyle L_{2,1}}$ la norma es la suma de las normas euroclidianas de las columnas de la matriz:

{displaystyle |A|_{2,1}=sum _{j=1}^{n}|a_{j}|_{2}=sum _{j=1}^{n}left(sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{2}right)^{frac {1}{2}}}

El ${displaystyle L_{2,1}}$ la norma como función de error es más robusta, ya que el error para cada punto de datos (una columna) no se cuadra. Se utiliza en análisis de datos sólidos y codificación escasa.

Para p, q ≥ 1, el ${displaystyle L_{2,1}}$ la norma se puede generalizar a ${displaystyle L_{p,q}}$ norma como sigue:

{displaystyle |A|_{p,q}=left(sum _{j=1}^{n}left(sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{p}right)^{frac {q}{p}}right)^{frac {1}{q}}.}

Norma de Frobenius

Cuando p = q = 2 para el ${displaystyle L_{p,q}}$ norma, se llama la Frobenius norm o el Hilbert-Schmidt norm, aunque este último término se utiliza con más frecuencia en el contexto de los operadores en (posiblemente infinita-dimensional) espacio Hilbert. Esta norma puede definirse de diversas maneras:

{displaystyle |A|_{text{F}}={sqrt {sum _{i}^{m}sum _{j}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={sqrt {operatorname {trace} left(A^{*}Aright)}}={sqrt {sum _{i=1}^{min{m,n}}sigma _{i}^{2}(A)}},}

Donde ${displaystyle sigma _{i}(A)}$ son los valores singulares ${displaystyle A}$ . Recordemos que la función traza devuelve la suma de entradas diagonales de una matriz cuadrada.

La norma Frobenius es una extensión de la norma euclidiana a ${displaystyle K^{ntimes n}}$ y viene del producto interior Frobenius en el espacio de todas las matrices.

La norma Frobenius es submultiplicativa y es muy útil para el álgebra lineal numérica. La submultiplicatividad de la norma Frobenius se puede probar utilizando la desigualdad Cauchy-Schwarz.

La norma Frobenius es a menudo más fácil de calcular que las normas inducidas, y tiene la propiedad útil de ser invariable bajo rotaciones (y operaciones unitarias en general). Eso es, ${displaystyle |A|_{text{F}}=|AU|_{text{F}}=|UA|_{text{F}}}$ para cualquier matriz unitaria ${displaystyle U}$ . Esta propiedad sigue de la naturaleza cíclica del trazo ( ${displaystyle operatorname {trace} (XYZ)=operatorname {trace} (ZXY)}$ ):

{displaystyle |AU|_{text{F}}^{2}=operatorname {trace} left((AU)^{*}AUright)=operatorname {trace} left(U^{*}A^{*}AUright)=operatorname {trace} left(UU^{*}A^{*}Aright)=operatorname {trace} left(A^{*}Aright)=|A|_{text{F}}^{2},}

y análogamente:

{displaystyle |UA|_{text{F}}^{2}=operatorname {trace} left((UA)^{*}UAright)=operatorname {trace} left(A^{*}U^{*}UAright)=operatorname {trace} left(A^{*}Aright)=|A|_{text{F}}^{2},}

donde hemos utilizado la naturaleza unitaria ${displaystyle U}$ (es decir, ${displaystyle U^{*}U=UU^{*}=mathbf {I} }$ ).

También satisface

{displaystyle |A^{*}A|_{text{F}}=|AA^{*}|_{text{F}}leq |A|_{text{F}}^{2}}

{displaystyle |A+B|_{text{F}}^{2}=|A|_{text{F}}^{2}+|B|_{text{F}}^{2}+2Releft(langle A,Brangle _{text{F}}right),}

Donde ${displaystyle langle A,Brangle _{text{F}}}$ es el producto interior Frobenius, y Re es la parte real de un número complejo (irrelevant para matrices reales)

Norma máxima

La norma máxima es la norma por elementos en el límite como p = q va al infinito:

{displaystyle |A|_{max }=max _{ij}|a_{ij}|.}

Esta norma no es submultiplicativa.

Tenga en cuenta que en alguna literatura (como la complejidad de la comunicación), una definición alternativa de máx-norm, también llamada la ${displaystyle gamma _{2}}$ -norm, se refiere a la norma de factorización:

{displaystyle gamma _{2}(A)=min _{U,V:A=UV^{T}}|U|_{2,infty }|V|_{2,infty }=min _{U,V:A=UV^{T}}max _{i,j}|U_{i,:}|_{2}|V_{j,:}|_{2}}

Normas de Schatten

El Schatten p- surgen normas cuando se aplica el p-norm al vector de valores singulares de una matriz. Si los valores singulares de los ${displaystyle mtimes n}$ matriz ${displaystyle A}$ son denotados por σ_i, entonces el Schatten p-norm se define por

{displaystyle |A|_{p}=left(sum _{i=1}^{min{m,n}}sigma _{i}^{p}(A)right)^{1/p}.}

Estas normas nuevamente comparten la notación con las normas p inducidas y de entrada, pero son diferentes.

Todas las normas Schatten son submultiplicativas. También son unitariamente invariantes, lo que significa que ${displaystyle |A|=|UAV|}$ para todas las matrices ${displaystyle A}$ y todas las matrices unitarias ${displaystyle U}$ y ${displaystyle V}$ .

Los casos más conocidos son p = 1, 2, ∞. p = 2 cede la norma Frobenius, introducida antes. El caso p = ∞ produce la norma espectral, que es la norma del operador inducida por el vector 2-norm (ver arriba). Finalmente, p = 1 produce los nuclear (también conocido como norma de traza, o el Ky Fan 'n'-norm, definido como:

{displaystyle |A|_{*}=operatorname {trace} left({sqrt {A^{*}A}}right)=sum _{i=1}^{min{m,n}}sigma _{i}(A),}

Donde ${displaystyle {sqrt {A^{*}A}}}$ denota una matriz semidefinida positiva ${displaystyle B}$ tales que ${displaystyle BB=A^{*}A}$ . Más precisamente, desde ${displaystyle A^{*}A}$ es una matriz semidefinida positiva, su raíz cuadrada está bien definida. La norma nuclear ${displaystyle |A|_{*}}$ es un sobre convexo de la función de rango ${displaystyle {text{rank}}(A)}$ , por lo que se utiliza a menudo en la optimización matemática para buscar matrices de bajo rango.

Combinar la traza de desigualdad de von Neumann con la desigualdad de Hölder para el espacio Euclidean produce una versión de la desigualdad de Hölder para las normas Schatten para ${displaystyle 1/p+1/q=1}$ :

{displaystyle left|operatorname {trace} (A'B)right|leq |A|_{p}|B|_{q},}

En particular, esto implica la desigualdad de la norma de Schatten

{displaystyle |A|_{F}^{2}leq |A|_{p}|A|_{q}.}

Monotone norms

Una norma de matriz ${displaystyle |cdot |}$ se llama monotone si es monotónico con respecto a la orden Loewner. Así, una norma de matriz está aumentando si

{displaystyle Apreccurlyeq BRightarrow |A|leq |B|.}

La norma de Frobenius y la norma espectral son ejemplos de normas monótonas.

Cortar normas

Otra fuente de inspiración para las normas de matriz surge de considerar una matriz como la matriz de adyacencia de un gráfico ponderado y dirigido. La llamada "norma cortada" mide cuán cerca está el gráfico asociado para ser bipartito:

{displaystyle |A|_{Box }=max _{Ssubseteq [n],Tsubseteq [m]}{left|sum _{sin S,tin T}{A_{t,s}}right|}}

A ▪ K m \times n

2 vidas S Silencio n " 2 vidas T Silencio m

S = T

S \cap T = \emptyset

La norma de corte es equivalente a la norma del operador inducido $‖\cdot‖ \infty\to1$ , que a su vez es equivalente a otra norma, llamada Norma de Grothendieck.

Para definir la norma de Grothendieck, primero observe que un operador lineal $K 1 \to K 1$ es solo un escalar y, por lo tanto, se extiende a un operador lineal en cualquier $K k \to K k$ . Además, dada cualquier elección de base para $K n$ y $K m$ , cualquier operador lineal $K n \to K m$ se extiende a un operador lineal $(K k) n \to (K k) m$ , dejando que cada elemento de la matriz en elementos de $K k$ vía multiplicación escalar. La norma de Grothendieck es la norma de ese operador ampliado; en símbolos:

{displaystyle |A|_{G,k}=sup _{{text{each }}u_{j},v_{j}in K^{k};|u_{j}|=|v_{j}|=1}{sum _{jin [n],ell in [m]}{(u_{j}cdot v_{j})A_{ellj}}}}

La norma de Grothendieck depende de la elección de la base (generalmente considerada la base estándar) y $k$ .

Equivalencia de normas

Para cualquier dos normas de matriz ${displaystyle |cdot |_{alpha }}$ y ${displaystyle |cdot |_{beta }}$ , tenemos eso:

{displaystyle r|A|_{alpha }leq |A|_{beta }leq s|A|_{alpha }}

para algunos números positivos r y s, para todas las matrices ${displaystyle Ain K^{mtimes n}}$ . En otras palabras, todas las normas ${displaystyle K^{mtimes n}}$ son equivalente; inducen la misma topología en ${displaystyle K^{mtimes n}}$ . Esto es verdad porque el espacio vectorial ${displaystyle K^{mtimes n}}$ tiene la dimensión finita ${displaystyle mtimes n}$ .

Además, por cada norma vectorial ${displaystyle |cdot |}$ on ${displaystyle mathbb {R} ^{ntimes n}}$ , existe un número real positivo único ${displaystyle k}$ tales que ${displaystyle ell |cdot |}$ es una norma de matriz submultiplicativa para cada ${displaystyle ell geq k}$ .

Una norma de matriz submultiplicativa ${displaystyle |cdot |_{alpha }}$ se dice que mínimo, si no existe otra norma de matriz submultiplicativa ${displaystyle |cdot |_{beta }}$ satisfacción $<math alttext="{displaystyle |cdot |_{beta }. . ⋅ ⋅ . . β β c). . ⋅ ⋅ . . α α {displaystylefncdotcdot } **<img alt="{displaystyle |cdot |_{beta }$ .

Ejemplos de equivalencia de normas

Vamos. ${displaystyle |A|_{p}}$ una vez más se refiere a la norma inducida por el vector p-norm (como arriba en la sección de la norma inducida).

Para matriz ${displaystyle Ain mathbb {R} ^{mtimes n}}$ de rango ${displaystyle r}$ , las siguientes desigualdades:

${displaystyle |A|_{2}leq |A|_{F}leq {sqrt {r}}|A|_{2}}$
${displaystyle |A|_{F}leq |A|_{*}leq {sqrt {r}}|A|_{F}}$
${displaystyle |A|_{max }leq |A|_{2}leq {sqrt {mn}}|A|_{max }}$
${displaystyle {frac {1}{sqrt {n}}}|A|_{infty }leq |A|_{2}leq {sqrt {m}}|A|_{infty }}$
${displaystyle {frac {1}{sqrt {m}}}|A|_{1}leq |A|_{2}leq {sqrt {n}}|A|_{1}.}$

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