Norma (matemáticas)

En matemáticas, una norma es una función de un espacio vectorial real o complejo a los números reales no negativos que se comporta de cierta manera como la distancia desde el origen: conmuta con escala, obedece una forma de desigualdad triangular y es cero sólo en el origen. En particular, la distancia euclidiana en un espacio euclidiano está definida por una norma en el espacio vectorial euclidiano asociado, llamada norma euclidiana, norma 2 o, a veces, magnitud del vector. Esta norma se puede definir como la raíz cuadrada del producto interno de un vector consigo mismo.

Una seminorma satisface las dos primeras propiedades de una norma, pero puede ser cero para vectores distintos del origen. Un espacio vectorial con una norma específica se llama espacio vectorial normado. De manera similar, un espacio vectorial con una seminorma se llama espacio vectorial seminorma.

El término pseudonorm ha sido utilizado para varios significados relacionados. Puede ser un sinónimo de "seminorm". Un seudónimo puede satisfacer los mismos axiomas como norma, con la igualdad sustituida por una desigualdad "${displaystyle ,leq ,}$"en el axioma de homogeneidad. También puede referirse a una norma que puede tomar valores infinitos, o a ciertas funciones parametrizadas por un conjunto dirigido.

Definición

Dado un espacio vectorial ${displaystyle X}$ sobre un subcampo ${displaystyle F}$ de los números complejos ${displaystyle mathbb}$ a norma on ${displaystyle X}$ es una función de valor real ${displaystyle p:Xto mathbb {R}$ con las siguientes propiedades, donde ${displaystyle Silenciosos$ denota el valor absoluto habitual de un escalar ${displaystyle s}$:

1. Subadditivity/Triangle inequality: ${displaystyle p(x+y)leq p(x)+p(y)}$ para todos ${displaystyle x,yin X.}$
2. homogeneidad absoluta: ${displaystyle p(sx)= las vidas eternap(x)}$ para todos ${displaystyle xin X}$ y todos los escalares ${displaystyle s.}$
3. Determinación positiva/positividad/Separación de puntos: para todos ${displaystyle xin X,}$ si ${displaystyle p(x)=0}$ entonces ${displaystyle x=0.}$
   • Porque la propiedad (2.) implica ${displaystyle p(0)=0,}$ algunos autores reemplazan la propiedad (3.) con la condición equivalente: por cada ${displaystyle xin X,}$ ${displaystyle p(x)=0}$ si ${displaystyle x=0.}$

Un seminorm en ${displaystyle X}$ es una función ${displaystyle p:Xto mathbb {R}$ que tiene propiedades (1.) y (2.) para que en particular, cada norma es también un seminorm (y por lo tanto también un funcional sublineal). Sin embargo, existen seminormas que no son normas. Propiedades (1.) y (2.) implican que ${displaystyle p}$ es una norma (o más generalmente, un seminorm) entonces ${displaystyle p(0)=0}$ y eso ${displaystyle p}$ también tiene los siguientes bienes:

4. No negativo: ${displaystyle p(x)geq 0}$ para todos ${displaystyle xin X.}$

Algunos autores incluyen la no negatividad como parte de la definición de "norma", aunque esto no es necesario. Aunque este artículo define "positivo" para ser sinónimo de "definido positivo", algunos autores definen en cambio "positivo" ser sinónimo de "no negativo"; estas definiciones no son equivalentes.

Normas equivalentes

Supongamos que ${displaystyle p}$ y ${displaystyle q}$ son dos normas (o seminormas) en un espacio vectorial ${displaystyle X.}$ Entonces... ${displaystyle p}$ y ${displaystyle q}$ se llaman equivalente, si existen dos constantes reales positivas ${displaystyle c}$ y ${displaystyle C}$ con ${displaystyle c]0}$ tal que por cada vector ${displaystyle xin X,}$

$${displaystyle cq(x)leq p(x)leq Cq(x). }$$

${displaystyle p}$

${displaystyle q}$

${displaystyle cqleq pleq Cq.$

${fnMicroc} {1}{C}pleq qleq {tfrac} {1}{c}p}$

${displaystyle X.}$

${displaystyle p}$

${displaystyle q}$

${displaystyle X.}$

Notación

Si una norma ${displaystyle p:Xto mathbb {R}$ se da en un espacio vectorial ${displaystyle X.$ entonces la norma de un vector ${displaystyle zin X}$ es generalmente denotado por encerrarlo dentro de líneas dobles verticales: ${displaystyle Torturazfnción=p(z). }$ Tal notación también se utiliza a veces si ${displaystyle p}$ es sólo un seminorm. Por la longitud de un vector en el espacio euclidiano (que es un ejemplo de una norma, como se explica a continuación), la notación ${displaystyle Silencioso$ con líneas simples verticales también está extendida.

Ejemplos

Cada espacio vectorial (real o complejo) admite una norma: Si ${displaystyle x_{bullet }=left(x_{i}right)_{iin I}$ es una base Hamel para un espacio vectorial ${displaystyle X}$ entonces el mapa de valor real que envía ${displaystyle x=sum _{iin I's_{i}x_{i}in X.$ (donde todos menos finitamente muchos de los escalares ${displaystyle S_{i}$ son ${displaystyle 0}$) a ${displaystyle sum _{iin I}left arrests_{i}right sometida}$ es una norma en ${displaystyle X.}$ También hay un gran número de normas que exhiben propiedades adicionales que los hacen útiles para problemas específicos.

Norma de valor absoluto

El valor absoluto

$${displaystyle Toddxfnssi}$$

Ninguna norma ${displaystyle p}$ en un espacio vectorial único ${displaystyle X}$ es equivalente (hasta escalar) a la norma de valor absoluto, lo que significa que hay un isomorfismo de conservación de la norma de los espacios vectores ${displaystyle f:mathbb {F} to X,}$ Donde ${displaystyle mathbb {F}$ o ${displaystyle mathbb {R}$ o ${displaystyle mathbb}$ y la conservación de la norma significa que ${displaystyle tenciónx eterna=p(f(x)). }$Este isomorfismo es dado por el envío ${displaystyle 1in mathbb {F}$ a un vector de la norma ${displaystyle 1,}$ que existe ya que tal vector se obtiene multiplicando cualquier vector no cero por el inverso de su norma.

Norma euclidiana

En el ${displaystyle n}$-dimensional Espacio euclidiano ${displaystyle mathbb {R} ^{n}$ la noción intuitiva de la longitud del vector ${displaystyle {boldsymbol {x}=left(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}right)}$ es capturado por la fórmula

$${displaystylefnegociofnh00fncipalmente {x}fnK}fnMicrosoft Sans Serif} {x_{1}{2}+cdots - Sí.$$

Esta es la norma euclidiana, que da la distancia ordinaria desde el origen hasta el punto X, una consecuencia del teorema de Pitágoras. Esta operación también puede denominarse "SRSS", que es un acrónimo de la sraíz cuadrada de la ssuma de cuadrados.

La norma euclidiana es, por mucho, la norma más utilizada en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}$ pero hay otras normas en este espacio vectorial como se mostrará a continuación. Sin embargo, todas estas normas son equivalentes en el sentido de que todas definen la misma topología en espacios finitos-dimensionales.

El producto interno de dos vectores de un espacio vectorial euclidiano es el producto escalar de sus vectores de coordenadas sobre una base ortonormal. Por lo tanto, la norma euclidiana se puede escribir sin coordenadas como

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}}cdot {boldsymbol {x}}}}}}}} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

La norma Euclideana también se llama quadratic norm, ${displaystyle L^{2}$ norma, ${displaystyle ell ^{2}$ norma, 2-nor mo norma cuadrada; ver ${displaystyle L^{p}$ espacio. Define una función de distancia llamada Longitud euclidiana, ${displaystyle L^{2}$ distanciao ${displaystyle ell ^{2}$ distancia.

El conjunto de vectores en ${displaystyle mathbb {R} {n+1}$ cuya norma euclidiana es una constante positiva dada forma ${displaystyle n}$- Esphere.

Norma euclidiana de números complejos

La norma euclidiana de un número complejo es el valor absoluto (también llamado la modulo) de ella, si el plano complejo es identificado con el plano Euclidean ${displaystyle mathbb {R} ^{2}$ Esta identificación del número complejo ${displaystyle x+iy}$ como vector en el plano euclidiano, hace la cantidad ${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {cHFF}fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft}fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft}\\fnMicrosoft}\\\\fnMicrosoft\\\\fnMicrosoft\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft\\\\fnMicrosoft\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\fnMicro {x^{2}+y^{2}}}$ (como sugirió por primera vez Euler) la norma euclidiana asociada al número complejo. Para ${displaystyle z=x+iy}$, la norma también se puede escribir como ${displaystyle {sqrt {f}z}}$ Donde ${displaystyle {bar}}}$ es el complejo conjugado de ${displaystyle z,}$

Cuaterniones y octoniones

Hay exactamente cuatro álgebras Euclidean Hurwitz sobre los números reales. Estos son los números reales ${displaystyle mathbb}$ los números complejos ${displaystyle mathbb}$ las quaternions ${displaystyle mathbb {H}$ y por último las octoniones ${displaystyle mathbb {O}$ donde las dimensiones de estos espacios sobre los números reales son ${displaystyle 1,2,4,{text{ and }8,}$ respectivamente. Las normas canónicas ${displaystyle mathbb {R}$ y ${displaystyle mathbb}$ son sus funciones de valor absoluto, como se discutió anteriormente.

La norma canónica en ${displaystyle mathbb {H}$ de las quaterniones se define por

$${displaystyle lVert qr Vert ={sqrt {,qqq^{*}}={sqrt {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans}$$

${displaystyle q=a+b,mathbf {i} +c,mathbf {j} ##d,mathbf {k}$

${displaystyle mathbb {H}$

${displaystyle mathbb {H}$

${displaystyle mathbb {R} ^{4}$

${displaystyle mathbb {R} ^{8}$

Espacios normados complejos de dimensión finita

En una ${displaystyle n}$- espacio complejo dimensional ${displaystyle mathbb {C} }$ la norma más común es

$${displaystylefnegociofnh00fncipalmente {z}fnMicrosoft Sans Serpientes ¿Qué? {Z_{1}{bar {z}_{1}+cdots +z_{n}{bar {Z}_{n}}}}$$

En este caso, la norma se puede expresar como la raíz cuadrada del producto interno del vector por sí mismo:

$${fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Ser: - Sí.$$

${displaystyle {boldsymbol}}$

${displaystyle {begin{bmatrix}x_{1};x_{2};dots ¿Qué? {T}}$

${fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans Ser} {fnMicrosoft Sans Serif}$

Esta fórmula es válida para cualquier espacio de producto interno, incluidos los espacios euclidianos y complejos. Para espacios complejos, el producto interno es equivalente al producto escalar complejo. Por lo tanto, la fórmula en este caso también se puede escribir usando la siguiente notación:

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}}cdot {boldsymbol {x}}}}}}}} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

Norma de taxi o norma de Manhattan

$${displaystylefnegociofnh00fncipalmente {x}fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué?$$

${displaystyle x.}$

El conjunto de vectores cuyo 1-norm es una forma constante dada la superficie de un politopo cruzado, que tiene dimensión igual a la dimensión del espacio vectorial menos 1. La norma de taxi también se llama ${displaystyle ell ^{1}$ norma. La distancia derivada de esta norma se llama distancia de Manhattan o ${displaystyle ell ^{1}$ distancia.

La norma 1 es simplemente la suma de los valores absolutos de las columnas.

En contraste,

$${displaystyle sum ¿Qué?$$

Norma P

Vamos. ${displaystyle pgeq 1}$ Sé un número real. El ${displaystyle p}$-norm (también llamado ${displaystyle ell ^{p}$-norm) de vector ${displaystyle mathbf {x} =(x_{1},ldotsx_{n}}$ es

$${displaystylefnMitbf {x} {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Por qué?$$

${displaystyle p=1,}$

${displaystyle p=2}$

${displaystyle p}$

${displaystyle infty }$

${displaystyle p}$

$${displaystylefnMitbf {x} "Principio":=máx _{i}left sobre la vida.$$

${displaystyle p}$

Para ${displaystyle p=2,}$ el ${displaystylefn,cdot , ################################################################################################################################################################################################################################################################$-El norm es incluso inducido por un producto interno canónico ${displaystyle langle ,cdot,cdot rangle}$ significa que ${textstylefnMitbf {x} ################################################################################################################################################################################################################################################################$ para todos los vectores ${displaystyle mathbf {x}$ Este producto interior se puede expresar en términos de la norma utilizando la identidad de polarización. On ${displaystyle ell ^{2}$ este producto interior es el Producto interior de Euclidea definidas por

$${displaystyle langle left(x_{n}right)_{n},left(y_{n}right)_{n}rangle ¿Qué?. ¿Por qué? Sí.$$

${displaystyle L^{2}(X,mu)}$

${displaystyle (X,Sigmamu),}$

$${displaystyle langle f,grangle ¿Por qué?$$

Esta definición sigue siendo de algún interés para ${displaystyle 0 realizadasp$ pero la función resultante no define una norma, porque viola la desigualdad del triángulo. Lo que es cierto para este caso de ${displaystyle 0 realizadasp$ incluso en el análogo mensurable, es que el correspondiente ${displaystyle L^{p}$ clase es un espacio vectorial, y también es cierto que la función

$${displaystyle int _{X}Silenciof(x)-g(x)$$

${displaystyle p}$

${displaystyle L^{p}(X)}$

El derivado parcial del ${displaystyle p}$-El ronmo es dado por

$${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} }{partial "Antes" ################################################################################################################################################################################################################################################################ {x_{k}left habitx_{k}right sobre la vida {p-2}{fnMitbf {x} {fnK}}$$

El derivado con respecto a ${displaystyle x,}$ Por consiguiente,

$${displaystyle {frac {partialmathbf {x} {fnK} {fnK}}= {fnMitbf {x} circ }mthbf {x} Silencio. {fnK}}$$

${displaystyle circ }$

${displaystyle Silencioso$

Para el caso especial ${displaystyle p=2,}$ esto se convierte

$${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} }{partial "Antes" {fnMicroc} {x_{k}{\fnMitbf {x} {fnK}}}$$

$${displaystyle {frac {partial }{partial mathbf {x}fnsemathbf {x} {fnMicrosoft} } {fnMitbf {x} {2}}}$$

Norma máxima (caso especial de: norma infinita, norma uniforme o norma suprema)

Si ${displaystyle mathbf {x}$ es un vector tal que ${displaystyle mathbf {x} =(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}),}$ entonces:

$${displaystylefnMitbf {x} "Principio":=máx left(left habitx_{1}justo en la vida,ldotsleft habitx_{n}right sobre la vida.}$$

El conjunto de vectores cuya norma de infinito es una constante dada, ${displaystyle c,}$ forma la superficie de un hipercubo con longitud de borde ${displaystyle 2c.}$

Norma cero

En probabilidad y análisis funcional, la norma cero induce una topología métrica completa para el espacio de funciones mensurables y para el espacio F de secuencias con F-norm ${textstyle (x_{n})mapsto sum ¿Por qué?$Aquí queremos decir F-norm alguna función de valor real ${displaystyle lVert cdot rVert }$ en un espacio F con distancia ${displaystyle d,}$ tales que ${displaystyle lVert xrVert =d(x,0).}$ El F-norm descrito anteriormente no es una norma en el sentido habitual porque carece de la propiedad de homogeneidad requerida.

Distancia de Hamming de un vector desde cero

En geometría métrica, la métrica discreta toma el valor uno para puntos distintos y cero en caso contrario. Cuando se aplica en forma de coordenadas a los elementos de un espacio vectorial, la distancia discreta define la distancia de Hamming, que es importante en la codificación y la teoría de la información. En el ámbito de los números reales o complejos, la distancia de la métrica discreta al cero no es homogénea en el punto distinto de cero; de hecho, la distancia desde cero sigue siendo uno cuando su argumento distinto de cero se acerca a cero. Sin embargo, la distancia discreta de un número a cero satisface las otras propiedades de una norma, a saber, la desigualdad triangular y la precisión positiva. Cuando se aplica componente a vectores, la distancia discreta desde cero se comporta como una "norma" no homogénea, que cuenta el número de componentes distintos de cero en su argumento vectorial; De nuevo, esta "norma" no homogénea; es discontinuo.

En el procesamiento de señales y estadísticas, David Donoho se refirió al cero "norma" con comillas. Siguiendo la notación de Donoho, el cero "norm" de ${displaystyle x}$ es simplemente el número de coordenadas no cero de ${displaystyle x,}$ o la distancia Hamming del vector desde cero. Cuando este "norm" se localiza a un conjunto consolidado, es el límite ${displaystyle p}$-normas como ${displaystyle p}$ enfoques 0. Por supuesto, el cero "norm" es no verdaderamente una norma, porque no es homogénea positiva. De hecho, no es ni siquiera un F-norm en el sentido descrito anteriormente, ya que es discontinua, conjuntamente y varios, con respecto al argumento escalar en la multiplicación del escalar-vector y con respecto a su argumento vectorial. Abusing terminología, algunos ingenieros omiten las comillas de Donoho e inapropiadamente llaman el número de no-zeros la función de la ${displaystyle L^{0}$ norma, haciendo eco de la notación para el espacio Lebesgue de funciones mensurables.

Dimensiones infinitas

La generalización de las normas anteriores a un número infinito de componentes conduce a ${displaystyle ell ^{p}$ y ${displaystyle L^{p}$ espacios para ${displaystyle pgeq 1,}$ con las normas

$${displaystyle "Primathbb" {N}left uponx_{i}right sobre la muerte*}{1/p}{text{ and }}\\ff la muerte_{p,X}={bigg (}int _{X} la vida eterna [x] la muerte [p} {d} x{bigg]}}{1/p}} {p}}}}}p}$$

para secuencias y funciones de valor complejo ${displaystyle Xsubseteq mathbb {R} {fn}$ respectivamente, que se puede generalizar más (véase la medida Haar). Estas normas también son válidas en el límite como ${displaystyle prightarrow +infty}$, dando una norma supremum, y se llaman ${displaystyle ell ^{infty}$ y ${displaystyle ¿Qué?$

Cualquier producto interior induce de forma natural la norma ${langle x,xrangle }}$

Se pueden encontrar otros ejemplos de espacios vectoriales normados de dimensión infinita en el artículo sobre el espacio de Banach.

Generalmente, estas normas no dan las mismas topologías. Por ejemplo, una dimensión infinita ${displaystyle ell ^{p}$ el espacio da una topología estrictamente fina que una dimensión infinita ${displaystyle ell ^{q}$ espacio cuando ${displaystyle p madeq,}$

Normas compuestas

Otras normas ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ se puede construir combinando lo anterior; por ejemplo

$${displaystylefnxfnMicrosoft Sans Serif:fnMicrosoft Sans Serif: {3left habitx_{2}justo involuntario}+max(left habitx_{3}right perpetua,2left habitx_{4}right perpetua)}}}}}$$

${displaystyle mathbb {R} ^{4}$

Para cualquier norma y cualquier transformación lineal inyectable ${displaystyle A}$ podemos definir una nueva norma ${displaystyle x,}$ iguales

$${displaystyle bendiciones para siempre.}$$

${displaystyle A}$

${displaystyle A}$

En 3D, esto es similar pero diferente para la norma 1 (octaedros) y la norma máxima (prismas con base de paralelogramo).

Hay ejemplos de normas que no se definen por fórmulas "intrínsecas". Por ejemplo, el Minkowski funcional de un cuerpo convexo central-simétrico en ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ (centrado a cero) define una norma en ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ (ver § Clasificación de seminormas: conjuntos de absorción absolutamente convexas abajo).

Todas las fórmulas anteriores también producen normas sobre ${displaystyle mathbb {C} {n}}$ sin modificaciones.

También existen normas sobre espacios de matrices (con entradas reales o complejas), las llamadas normas matriciales.

En álgebra abstracta

Vamos. ${displaystyle E}$ ser una extensión finita de un campo ${displaystyle k}$ de grado inseparable ${displaystyle p^{mu},}$ y dejar ${displaystyle k}$ tienen cierre algebraico ${displaystyle K.}$ Si las distintas incrustaciones de ${displaystyle E}$ son ${displaystyle left{sigma ¿Qué?$ entonces el Galois-teoretic norm de un elemento ${displaystyle alpha in E}$ es el valor ${textstyle left(prod ¿Por qué? }}$ Como esa función es homogénea de grado ${displaystyle [E:k]}$, la norma galois-teorética no es una norma en el sentido de este artículo. Sin embargo, el ${displaystyle [E:k]}$-la raíz de la norma (asumiendo que ese concepto tiene sentido) es una norma.

Álgebras de composición

El concepto de norma ${displaystyle N(z)}$ en la composición álgebras hace no compartir las propiedades habituales de una norma ya que se permiten los vectores nulos. Algebra de composición ${displaystyle (A,{}{*},N)}$ consiste en un álgebra sobre un campo ${displaystyle A,}$ una involución ${displaystyle {} {} {}}}}$ y una forma cuadrática ${displaystyle N(z)=zz^{*}$ llamado "norm".

La característica de los álgebras de composición es la propiedad homomorfismo de ${displaystyle N}$: para el producto ${displaystyle wz}$ de dos elementos ${displaystyle w}$ y ${displaystyle z}$ de la composición álgebra, sus satisfios norma ${displaystyle N(wz)=N(w)N(z). }$ En el caso de álgebras de división ${displaystyle mathbb}$ ${displaystyle mathbb}$ ${displaystyle mathbb {H}$ y O la composición álgebra norma es el cuadrado de la norma discutida arriba. En esos casos la norma es una forma cuadrática definida. En los álgebras divididas la norma es una forma cuadrática isotrópica.

Propiedades

Por cualquier norma ${displaystyle p:Xto mathbb {R}$ en un espacio vectorial ${displaystyle X.$ la inversa desigualdad triángulo sostiene:

$${displaystyle p(xpm y)geq Silenciop(x)-p(y) sufrimiento{text{ for all }}x,yin X.}$$

${displaystyle u:Xto Y}$

${displaystyle u}$

${displaystyle u}$

Para el ${displaystyle L^{p}$ normasTenemos la desigualdad de Hölder

$${displaystyle ¦langle x,yrangle ⋅leqfnxfn_00_fn_f}fnción_p}qquad {fnMicroc {1}{}+{frac} {1}{q}=1.}$$

$${displaystyle lefttenciónlangle x,yrangle right sobre la vidaleq "Principalmente""$$

Cada norma es una seminorma y por tanto satisface todas las propiedades de esta última. A su vez, toda seminorma es una función sublineal y, por tanto, satisface todas las propiedades de esta última. En particular, toda norma es una función convexa.

Equivalencia

El concepto de círculo unitario (el conjunto de todos los vectores de la norma 1) es diferente en diferentes normas: para el 1-norm, el círculo unitario es un cuadrado orientado como un diamante; para el 2-norm (norma euclidiana), es el círculo unitario bien conocido; mientras que para la norma de la infinidad, es un cuadrado alineado con el eje. Para cualquier ${displaystyle p}$-norm, es un superellipse con ejes congruentes (ver la ilustración adjunta). Debido a la definición de la norma, el círculo de unidad debe ser convexo y simétrico central (antes, por ejemplo, la bola de unidad puede ser un rectángulo pero no puede ser un triángulo, y ${displaystyle pgeq 1}$ para un ${displaystyle p}$-norm).

En términos del espacio vectorial, el seminorm define una topología en el espacio, y esta es una topología de Hausdorff precisamente cuando el seminorm puede distinguir entre distintos vectores, que es otra vez equivalente a la seminorm ser una norma. La topología así definida (por norma o seminorm) puede entenderse en términos de secuencias o conjuntos abiertos. Una secuencia de vectores ${displaystyle {fn}}$ se dice que convergen en la norma a ${displaystyle v,}$ si ${displaystyle leftfn}-vrightfncióntode 0}$ como ${displaystyle nto infty.}$ Equivalentemente, la topología consiste en todos los conjuntos que pueden ser representados como una unión de bolas abiertas. Si ${displaystyle (X,fncióncdotfnción)}$ es un espacio normal entonces ${displaystyle "Principe-y"pretensión="Principe-yfncipe-yfncipe"text{ for all }x,yin X{text{ and }in [x,y].$

Dos normas ${displaystyle {cdotcdotfnh}$ y ${displaystyle {beta}}$ en un espacio vectorial ${displaystyle X}$ se llaman equivalente si inducen la misma topología, que sucede si y sólo si existen números reales positivos ${displaystyle C}$ y ${displaystyle D}$ tal que para todos ${displaystyle xin X}$

$${displaystyle C impermeable }leq sobrevivirx * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * }$$

${displaystyle p confíargeq 1}$

${displaystyle mathbb {C} }$

$${displaystyle "Principalmente" No.$$

En particular,

$${displaystyle "Princex" _{2}leq "Princex" _{2}$$

$${displaystyle "Principio" "Principio"$$

$${displaystyle Subtítulos _{infty }leq eterna_{1}leq n WordPress_{infty }$$

$${displaystyle "Princex" _{2}infty "Principalmente" No, no.$$

Las normas equivalentes definen las mismas nociones de continuidad y convergencia y, para muchos propósitos, no es necesario distinguirlas. Para ser más precisos, la estructura uniforme definida por normas equivalentes en el espacio vectorial es uniformemente isomorfa.

Clasificación de seminormas: conjuntos absorbentes absolutamente convexos

Todos los seminormas en un espacio vectorial ${displaystyle X}$ puede clasificarse en términos de subconjuntos absorbentes absolutamente convex ${displaystyle A}$ de ${displaystyle X.}$ A cada subconjunto corresponde un seminorm ${displaystyle P_{A}$ llamado medidor de ${displaystyle A,}$ definidas

$${displaystyle p_{A}(x):=inf{rin mathbb {R}:r confianza0,xin rA}}$$

${displaystyle inf _{}}$

$${displaystyle left{xin X:p_{A}(x) ~A~subseteq ~left{xin X:p_{A}(x)leq 1right}$$

Cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo tiene una base local que consiste en conjuntos absolutamente convexos. Un método común para construir tal base es utilizar una familia ${displaystyle (p)}$ de seminormas ${displaystyle p}$ que separa puntos: la colección de todas las intersecciones finitas de conjuntos ${displaystyle ####$ convierte el espacio en un espacio vectorial topológico localmente convexo para que cada p sea continua.

Este método se utiliza para diseñar topologías débiles y débiles*.

caso normal:

Supongamos ahora que ${displaystyle (p)}$ contiene un solo ${displaystyle p:}$ desde entonces ${displaystyle (p)}$ se está separando, ${displaystyle p}$ es una norma, y ${displaystyle A= {cH00}}$ es su bola de unidad abierta. Entonces... ${displaystyle A}$ es un barrio absolutamente convexo de 0, y ${displaystyle P=p_{A}$ es continuo.

El contrario se debe a Andrey Kolmogorov: cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo y ligado localmente es normable. Precisamente:

Si ${displaystyle X}$ es un barrio absolutamente convexo de 0, el calibre ${displaystyle g_{X}$ (así que ${displaystyle X={g_{X}traducido1}$ es una norma.