Método secante

En análisis numérico, el método de la secante es un algoritmo de búsqueda de raíces que utiliza una sucesión de raíces de líneas secantes para aproximarse mejor a la raíz de una función f. El método de la secante puede considerarse como una aproximación en diferencias finitas del método de Newton. Sin embargo, el método de la secante es anterior al método de Newton en más de 3.000 años.

El método

Para encontrar un cero de una función f, el método secante está definido por la relación de recurrencia.

${displaystyle x_{n}=x_{n-1}-f(x_{n-1}{frac {x_{n-1}-x_{n-2}{f(x_{n-1}-f(x_{n-2}}}={frac {x_{n-2}f(x_{n-1})-x_{n-1}} {f(x_{n-2})}{f(x_{n-1})-f(x_{n-2}}}}}}$

Como se puede ver en esta fórmula, dos valores iniciales x₀ y x₁. Idealmente, deberían elegirse cerca del cero deseado.

Derivación del método

Comenzando con los valores iniciales x₀ y x₁, construimos una recta que pase por los puntos (x₀, f(x₀)) y (x ₁, f(x₁)), como se muestra en la imagen de arriba. En forma pendiente-intersección, la ecuación de esta recta es

${displaystyle y={frac {f(x_{1})-f(x_{0}{x_{1}-x_{0}}(x-x_{0})+f(x_{0}). }$

La raíz de esta función lineal, es decir, el valor de x tal que < i>y = 0 es

${displaystyle x=x_{1}-f(x_{1}{frac {x_{1}-x_{0} {f(x_{1}-f(x_{0}}}}$

Luego usamos este nuevo valor de x como x₂ y repite el proceso, usando x₁ y x₂ en lugar de x₀ y x₁. Continuamos este proceso, resolviendo para x₃, x₄, etc., hasta alcanzar un nivel de precisión suficientemente alto (una diferencia suficientemente pequeña entre x< sub>n y x_n−1):

${displaystyle {begin{aligned}x_{2} limit=x_{1}-f(x_{1}{frac} {x_{1}-x_{0}{f(x_{1}-f(x_{0}}},[6pt]x_{3} {x_{2}-x_{1}{f(x_{2})-f(x_{1}}},[6pt] simultáneamente,,,,,vdots \[6pt]x_{n} limit=x_{n-1}-f(x_{n-1}){frac {x_{n-1}-x_{n-2}{f(x_{n-1}-f(x_{n-2}}}}end{aligned}}}$

Convergencia

Los iterates ${displaystyle x_{n}$ del método secant convergen a una raíz de ${displaystyle f}$ si los valores iniciales ${displaystyle x_{0}$ y ${displaystyle x_{1}}$ están suficientemente cerca de la raíz. El orden de convergencia es ${displaystyle varphi }$, donde

${displaystyle varphi ={frac {1+{sqrt {5}}{2}approx 1.618}$

es la proporción áurea. En particular, la convergencia es súper lineal, pero no del todo cuadrática.

This result only holds under some technical conditions, namely that ${displaystyle f}$ ser dos veces continuamente diferenciable y la raíz en cuestión es simple (es decir, con multiplicidad 1).

Si los valores iniciales no están lo suficientemente cerca de la raíz, entonces no hay garantía de que el método secant converge. No hay una definición general de "cerrar lo suficiente", pero el criterio tiene que ver con cómo "vagamente" la función está en el intervalo ${displaystyle [x_{0},x_{1}}$. Por ejemplo, si ${displaystyle f}$ es diferente en ese intervalo y hay un punto donde ${displaystyle f'=0}$ en el intervalo, entonces el algoritmo puede no converger.

Comparación con otros métodos de búsqueda de raíces

El método secant no requiere que la raíz permanezca entre corchetes, como lo hace el método de bisección, y por lo tanto no siempre converge. El método de posición falsa (o regulación falsi) utiliza la misma fórmula que el método secant. Sin embargo, no aplica la fórmula en ${displaystyle x_{n-1}}$ y ${displaystyle x_{n-2}$, como el método de secant, pero en ${displaystyle x_{n-1}}$ y en el último itinerario ${displaystyle x_{k}$ tales que ${displaystyle f(x_{k}}$ y ${displaystyle f(x_{n-1}}$ tienen otra señal. Esto significa que el método de posición falsa siempre converge; sin embargo, sólo con un orden lineal de convergencia. El acoplamiento con un orden de convergencia super-lineal ya que el método de secant se puede alcanzar con mejoras al método de posición falsa (ver Regula falsi § Mejoras en falsi regulador) como el método ITP o el método Illinois.

La fórmula de recurrencia del método de la secante se puede derivar de la fórmula del método de Newton

${displaystyle #$

usando la aproximación de la diferencia finita, para un pequeño ${displaystyle epsilon }$:

${displaystyle f'(x_{n-1})approx {frac {f(x_{n-1})-f(x_{n-2}}{x_{n-1}-x_{n-2}}}approx {frac {f(x_{n-1}+{frac {epsilon }{2}})-f(x_{n-1}-{frac {epsilon}{2}}{epsilon }}}}}}} {epsilon }}}}}} {f}}} {f}}}}}}} {$

El método de la secante se puede interpretar como un método en el que la derivada se reemplaza por una aproximación y, por lo tanto, es un método cuasi-Newton.

Si comparamos el método de Newton con el método de secant, vemos que el método de Newton converge más rápido (orden 2 contra φΩ 1.6). Sin embargo, el método de Newton requiere la evaluación de ambos ${displaystyle f}$ y su derivados ${displaystyle f'}$ en cada paso, mientras que el método de secant sólo requiere la evaluación de ${displaystyle f}$. Por lo tanto, el método secant puede ocasionalmente ser más rápido en la práctica. Por ejemplo, si asumimos que evaluar ${displaystyle f}$ toma tanto tiempo como evaluar su derivado y descuidamos todos los demás costos, podemos hacer dos pasos del método secant (disminuir el logaritmo del error por un factor φ²Ω 2.6) por el mismo costo que un paso del método de Newton (disminuir el logaritmo del error por un factor 2), por lo que el método de secant es más rápido. Si, sin embargo, consideramos el procesamiento paralelo para la evaluación del derivado, el método de Newton demuestra su valor, siendo más rápido en el tiempo, aunque aún gastando más pasos.

Generalización

El método de Broyden es una generalización del método secante a más de una dimensión.

El siguiente gráfico muestra la función f en rojo y la última recta secante en negrita azul. En el gráfico, la intersección x de la recta secante parece ser una buena aproximación de la raíz de f.

Ejemplo computacional

A continuación, el método secante se implementa en el lenguaje de programación Python.

Luego se aplica para encontrar una raíz de la función f()x) x² − 6-12 con puntos iniciales ${displaystyle x_{0}=10}$ y ${displaystyle x_{1}=30}$

def secant_method()f, x0, x1, iteraciones): ""Retorna la raíz calculada usando el método secant."" para i dentro rango()iteraciones): x2 = x1 - f()x1) * ()x1 - x0) / flotador()f()x1) - f()x0) x0, x1 = x1, x2 # Aplicar un criterio de parada aquí (ver abajo) Regreso x2def f_example()x): Regreso x # 2 - 612root = secant_method()f_example, 10, 30, 5)impresión()f"Root: {}root}") # Root: 24.738633748750722

Es muy importante tener un buen criterio de parada arriba; de lo contrario, debido a la precisión numérica limitada de los números de punto flotante, el algoritmo puede devolver resultados inexactos si se ejecuta durante demasiadas iteraciones. Por ejemplo, el bucle anterior puede detenerse cuando se alcanza primero uno de estos: abs(x0 - x1) < tol o abs(x0/x1-1) < tol, o abs(f(x1)) < tol.