Método de Laguerre

El teorema fundamental del álgebra establece que cada npolinomio de grado ${displaystyle p}$ puede ser escrito en la forma

${displaystyle p(x)=C(x-x_{1})(x-x_{2})cdots (x-x_{n}),}$

tales que ${displaystyle x_{k}$ Donde ${displaystyle (k=1,2,...,n)}$ son las raíces del polinomio. Si tomamos el logaritmo natural de ambos lados, encontramos que

${displaystyle ln Silenciop(x) TENIDO ANTERITORIO ANTERIVADOR-X_{1} tenciónx-x_{2} eterna+cdots +ln Silencio.$

denota el derivado por

${displaystyle G={frac {dx}ln Наниванныхны={frac {1}{x-x_{1}}}+{frac {1}{x-x_{2}}+cdots +{frac {1}{x-x_{n}}}}$

y la segunda derivada negada por

${displaystyle H=-{frac {2}{2}{2}}ln prehensip(x) arrest={frac {1}{(x-x_{1}}}}}}+{frac {1}{(x-x_{2}}}}}}}+cdots +{frac {1}{=x-x_{n}{2}} {}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}{}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {cdot}}} {cdots}}}}}}}}}}}}}}}}} {cdots} {cdots} {cdots} {cdots} {cdots} {cdots}}} {c} {c} {cdots} {cdots}{}{} {c}} {c}$

Luego hacemos lo que Acton llama un "grupo dramático de suposiciones", que la raíz que estamos buscando, digamos, ${displaystyle x_{1}}$ es una cierta distancia de nuestra conjetura ${displaystyle x}$, y todas las demás raíces se agrupan a cierta distancia. Si denotamos estas distancias por

${displaystyle a=x-x_{1},}$

y

${displaystyle b=x-x_{i},quad i=2,3,ldotsn}$

entonces nuestra ecuación para ${displaystyle G.$ puede ser escrito como

${displaystyle G={frac {1}{a}+{frac} {n-1}{b}}$

y la expresión ${displaystyle H.$ se convierte en

${displaystyle H={frac {1}{2}}+{frac} {n-1}{b^{2}}}}$

Resolver estas ecuaciones para ${displaystyle a}$, encontramos que

${displaystyle a={frac {fn}}}$,

donde se elige la raíz cuadrada de un número complejo para producir un valor absoluto más grande del denominador, o de manera equivalente, para satisfacer:

${displaystyle operatorname {Re} ,({overline {G}{sqrt {(n-1)(nH-G^{2}}},)}}}}}}}}} {$,

where re denota parte real de un número complejo, y g es el complejo conjugado de g ; o

${displaystyle a={frac {p(x)}{p'(x)}cdot left({frac {1}{n}+{frac} {n-1}{n},{sqrt {1-{frac} {n}{n-1},{frac {p(x)p'(x)}{p'(x)^{2}}}}}right)}{-1}}$,

donde se elige la raíz cuadrada de un número complejo para tener una parte real no negativa.

Para valores pequeños de p ( x ) Esta fórmula difiere del desplazamiento del tercer orden Halley ' s Método por un error de o ( p ( x ) ^{3 )} , por lo que la convergencia cercana a una raíz también será cúbica.

Tenga en cuenta que, incluso si el conjunto drástico de supuestos ' no funciona para algún polinomio particular p ( x ) , p ( x ) se puede transformar en un polinomio relacionado r para que los supuestos son correctos, p. cambiando el origen hacia un número complejo adecuado w , dando q ( x ) = p ( x - w ) , para dar raíces distintas magnitudes distintas Si es necesario (cuál será si algunas raíces son conjugados complejos), y luego obteniendo r de Q ( x ) aplicando repetidamente la transformación de cuadrados de raíz utilizada en el método de Graeffe suficientes para hacer que las raíces más pequeñas sean significativamente más pequeñas que la más grande raíz (y así, agrupada en comparación); La raíz aproximada del método de Graeffe se puede usar para comenzar la nueva iteración para el método de Laguerre en r . Una raíz aproximada para p ( x ) puede obtenerse directamente de eso para r .

Si hacemos la suposición más fuerte de que los términos en g correspondientes a las raíces << i> x _i , i = 2, 3,..., n son insignificantemente pequeños en comparación con el término correspondiente a la raíz x ₁ , esto conduce al método de Newton ' s.

Propiedades

if x es una raíz simple del polinomio p ( x ) , luego el método de Laguerre ' s converge cúbicamente cada vez que la suposición inicial x _{0 < /sub>} está lo suficientemente cerca de la raíz x . Por otro lado, si x es una raíz múltiple, entonces la convergencia es solo lineal. Esto se obtiene con la penalización de valores de cálculo para el polinomio y sus primeras y segunda derivadas en cada etapa de la iteración.

Una ventaja importante del método de Laguerre es que está casi garantizado converger a alguna raíz del polinomio sin importar dónde se elija la aproximación inicial . Esto contrasta con otros métodos, como el método Newton -Raphson, que puede no converger para las conjeturas iniciales mal elegidas. Incluso puede converger a una raíz compleja del polinomio, debido a la raíz cuadrada que se toma en el cálculo de a arriba puede ser de un número negativo. Esto puede considerarse una ventaja o un pasivo dependiendo de la aplicación a la que se esté utilizando el método. La evidencia empírica ha demostrado que la falla de convergencia es extremadamente rara, lo que hace que este sea un buen candidato para un algoritmo de búsqueda de raíces polinómicas de propósito general. Sin embargo, dada la comprensión teórica bastante limitada del algoritmo, muchos analistas numéricos dudan en usarla como tal, y prefieren métodos mejor entendidos como el algoritmo Jenkins -Traub, para el cual se ha desarrollado una teoría más sólida. Sin embargo, el algoritmo es bastante simple de usar en comparación con estos otros " Surfir " Métodos, bastante fácil de usar a mano o con la ayuda de una calculadora de bolsillo cuando una computadora automática no está disponible. La velocidad a la que converge el método significa que uno solo rara vez se requiere para calcular más de unas pocas iteraciones para obtener alta precisión.