Método de agotamiento

El método de agotamiento (latín: methodus exhaustionis) es un método para encontrar el área de una forma inscribiendo en su interior una secuencia de polígonos. cuyas áreas convergen al área de la forma contenedora. Si la secuencia se construye correctamente, la diferencia de área entre el nésimo polígono y la forma que lo contiene se volverá arbitrariamente pequeña a medida que n se haga grande. A medida que esta diferencia se vuelve arbitrariamente pequeña, los valores posibles para el área de la forma se "agotan" sistemáticamente. por las áreas de límite inferior establecidas sucesivamente por los miembros de la secuencia.

El método de agotamiento normalmente requería una forma de prueba por contradicción, conocida como reductio ad absurdum. Esto equivale a encontrar el área de una región comparándola primero con el área de una segunda región, que puede estar "agotada" en el tiempo. de modo que su área se acerque arbitrariamente al área verdadera. La prueba implica suponer que el área verdadera es mayor que la segunda área, demostrar que esa afirmación es falsa, asumir que es menor que la segunda área y luego demostrar que esa afirmación también es falsa.

Historia

La idea se originó a finales del siglo V a. C. con Antífona, aunque no está del todo claro qué tan bien la entendió. La teoría se volvió rigurosa unas décadas más tarde gracias a Eudoxo de Cnido, quien la utilizó para calcular áreas y volúmenes. Posteriormente fue reinventado en China por Liu Hui en el siglo III d.C. para encontrar el área de un círculo. El primer uso del término fue en 1647 por Gregorio de San Vicente en el Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum.

El método de agotamiento se considera un precursor de los métodos de cálculo. El desarrollo de la geometría analítica y el cálculo integral riguroso en los siglos XVII y XIX subsumió el método de agotamiento de modo que ya no se utiliza explícitamente para resolver problemas. Un enfoque alternativo importante fue el principio de Cavalieri, también denominado método de los indivisibles, que eventualmente evolucionó hasta convertirse en el cálculo infinitesimal de Roberval, Torricelli, Wallis, Leibniz y otros.

Euclides

Euclides utilizó el método de agotamiento para demostrar las siguientes seis proposiciones en el libro 12 de sus Elementos.

Proposición 2: El área de los círculos es proporcional al cuadrado de sus diámetros.

Proposición 5: Los volúmenes de dos tetraedros de la misma altura son proporcionales a las áreas de sus bases triangulares.

Proposición 10: El volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro correspondiente que tiene la misma base y altura.

Proposición 11: El volumen de un cono (o cilindro) de la misma altura es proporcional al área de la base.

Proposición 12: El volumen de un cono (o cilindro) que es semejante a otro es proporcional al cubo de la relación de los diámetros de las bases.

Proposición 18: El volumen de una esfera es proporcional al cubo de su diámetro.

Arquímedes

Arquímedes utilizó el método de agotamiento como una forma de calcular el área dentro de un círculo llenando el círculo con una secuencia de polígonos con un número creciente de lados y un aumento correspondiente en el área. Los cocientes formados por el área de estos polígonos dividida por el cuadrado del radio del círculo se pueden acercar arbitrariamente a π a medida que el número de lados del polígono aumenta, lo que demuestra que el área dentro del círculo de radio r es πr², definiéndose π como la relación entre la circunferencia y el diámetro (C/d).

También proporcionó los límites 3 + ¹⁰/₇₁ < π < 3 + ¹⁰/₇₀, (dando un rango de ¹/₄₉₇) comparando los perímetros del círculo con los perímetros de los polígonos regulares de 96 lados inscritos y circunscritos.

Otros resultados que obtuvo con el método de agotamiento incluyeron

• El área atada por la intersección de una línea y una parabola es 4/3 que del triángulo tiene la misma base y altura (la cuadratura de la parabola);
• El área de un elipse es proporcional a un rectángulo que tiene lados iguales a sus ejes mayores y menores;
• El volumen de una esfera es 4 veces el de un cono que tiene una base del mismo radio y altura igual a este radio;
• El volumen de un cilindro que tiene una altura igual a su diámetro es 3/2 que de una esfera que tiene el mismo diámetro;
• El área atada por una rotación en espiral y una línea es 1/3 la del círculo que tiene un radio igual a la longitud del segmento de la línea;
• El uso del método de agotamiento también llevó a la evaluación exitosa de una serie geométrica infinita (por primera vez);