Matriz de transformación

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Objeto central en álgebra lineal; vectores de mapeo a vectores

En álgebra lineal, las transformaciones lineales pueden ser representadas por matrices. Si ${displaystyle T}$ es un mapeo de transformación lineal ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ a ${displaystyle mathbb {R} ^{m}}$ y ${displaystyle mathbf {x} }$ es un vector de columna con ${displaystyle n}$ entradas, entonces

{displaystyle T(mathbf {x})=Amathbf {x} }

{displaystyle mtimes n}

{displaystyle A}

matriz de transformación

{displaystyle T}

{displaystyle A}

{displaystyle m}

{displaystyle n}

{displaystyle T}

{displaystyle mathbb {R} ^{n}}

{displaystyle mathbb {R} ^{m}}

Usos

Las matrices permiten mostrar transformaciones lineales arbitrarias en un formato consistente, adecuado para el cálculo. Esto también permite componer transformaciones fácilmente (multiplicando sus matrices).

Las transformaciones lineales no son las únicas que se pueden representar mediante matrices. Algunas transformaciones que no son lineales en un espacio euclidiano de n dimensiones Rⁿ se pueden representar como transformaciones lineales en el n+espacio unidimensional Rⁿ⁺¹. Estos incluyen tanto transformaciones afines (como la traducción) como transformaciones proyectivas. Por esta razón, las matrices de transformación 4×4 se utilizan ampliamente en gráficos por computadora en 3D. Estas matrices de transformación n+1 dimensiones se denominan, según su aplicación, matrices de transformación afines, matrices de transformación proyectivas o, más generalmente, matrices de transformación no lineal. Con respecto a una matriz n-dimensional, una matriz n+1-dimensional puede describirse como una matriz aumentada.

En las ciencias físicas, una transformación activa es aquella que realmente cambia la posición física de un sistema y tiene sentido incluso en ausencia de un sistema de coordenadas, mientras que una transformación pasiva es un cambio en la descripción de coordenadas del sistema físico ( cambio de base). La distinción entre transformaciones activas y pasivas es importante. Por defecto, cuando hablan de transformación, los matemáticos suelen referirse a transformaciones activas, mientras que los físicos pueden referirse a cualquiera de las dos.

Dicho de otra manera, una transformación pasiva se refiere a la descripción del mismo objeto visto desde dos marcos de coordenadas diferentes.

Encontrar la matriz de una transformación

Si uno tiene una transformación lineal ${displaystyle T(x)}$ en forma funcional, es fácil determinar la matriz de transformación A transformando cada uno de los vectores de la base estándar T, luego insertar el resultado en las columnas de una matriz. En otras palabras,

{displaystyle A={begin{bmatrix}T(mathbf {e} _{1})&T(mathbf {e} _{2})&cdots &T(mathbf {e} _{n})end{bmatrix}}}

Por ejemplo, la función ${displaystyle T(x)=5x}$ es una transformación lineal. Aplicar el proceso anterior (suppose que n = 2 en este caso) revela que

{displaystyle T(mathbf {x})=5mathbf {x} =5Imathbf {x} ={begin{bmatrix}5&0\0&5end{bmatrix}}mathbf {x} }

La representación de la matriz de vectores y operadores depende de la base elegida; una matriz similar resultará de una base alternativa. Sin embargo, el método para encontrar los componentes sigue siendo el mismo.

Para elaborar, vector ${displaystyle mathbf {v} }$ puede ser representado en vectores de base, ${displaystyle E={begin{bmatrix}mathbf {e} _{1}&mathbf {e} _{2}&cdots &mathbf {e} _{n}end{bmatrix}}}$ con coordenadas ${displaystyle [mathbf {v} ]_{E}={begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&cdots &v_{n}end{bmatrix}}^{mathrm {T} }}$ :

{displaystyle mathbf {v} =v_{1}mathbf {e} _{1}+v_{2}mathbf {e} _{2}+cdots +v_{n}mathbf {e} _{n}=sum _{i}v_{i}mathbf {e} _{i}=E[mathbf {v} ]_{E}}

Ahora, exprese el resultado de la matriz de transformación A sobre ${displaystyle mathbf {v} }$ , en la base dada:

{displaystyle {begin{aligned}A(mathbf {v})&=Aleft(sum _{i}v_{i}mathbf {e} _{i}right)=sum _{i}{v_{i}A(mathbf {e} _{i})}\&={begin{bmatrix}A(mathbf {e} _{1})&A(mathbf {e} _{2})&cdots &A(mathbf {e} _{n})end{bmatrix}}[mathbf {v} ]_{E}=Acdot [mathbf {v} ]_{E}\[3pt]&={begin{bmatrix}mathbf {e} _{1}&mathbf {e} _{2}&cdots &mathbf {e} _{n}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&cdots &a_{1,n}\a_{2,1}&a_{2,2}&cdots &a_{2,n}\vdots &vdots &ddots &vdots \a_{n,1}&a_{n,2}&cdots &a_{n,n}\end{bmatrix}}{begin{bmatrix}v_{1}\v_{2}\vdots \v_{n}end{bmatrix}}end{aligned}}}

El ${displaystyle a_{i,j}}$ elementos de la matriz A se determinan para una base determinada E aplicando A a todos ${displaystyle mathbf {e} _{j}={begin{bmatrix}0&0&cdots &(v_{j}=1)&cdots &0end{bmatrix}}^{mathrm {T} }}$ , y observando el vector de respuesta

{displaystyle Amathbf {e} _{j}=a_{1,j}mathbf {e} _{1}+a_{2,j}mathbf {e} _{2}+cdots +a_{n,j}mathbf {e} _{n}=sum _{i}a_{i,j}mathbf {e} _{i}.}

Esta ecuación define los elementos buscados, ${displaystyle a_{i,j}}$ , de j-a columna de la matriz A.

Base propia y matriz diagonal

Sin embargo, hay una base especial para un operador en la que los componentes forman una matriz diagonal y, por lo tanto, la complejidad de la multiplicación se reduce a $n$ . Ser diagonal significa que todos los coeficientes ${displaystyle a_{i,j}}$ Salvo ${displaystyle a_{i,i}}$ son ceros dejando sólo un término en la suma ${textstyle sum a_{i,j}mathbf {e} _{i}}$ arriba. Los elementos diagonales sobrevivientes, ${displaystyle a_{i,i}}$ , son conocidos como eigenvalues y designados ${displaystyle lambda _{i}}$ en la ecuación definitoria, que reduce a ${displaystyle Amathbf {e} _{i}=lambda _{i}mathbf {e} _{i}}$ . La ecuación resultante se conoce como eigenvalue ecuación. Los eigenvectores y eigenvalues se derivan de ella a través del polinomio característico.

Con la diagonalización, a menudo es posible traducir hacia y desde bases propias.

Ejemplos en 2 dimensiones

Las transformaciones geométricas más comunes que mantienen fijo el origen son lineales, incluidas la rotación, el escalado, el corte, la reflexión y la proyección ortogonal; si una transformación afín no es una traducción pura, mantiene algún punto fijo, y ese punto puede elegirse como origen para hacer la transformación lineal. En dos dimensiones, las transformaciones lineales se pueden representar utilizando una matriz de transformación de 2×2.

Estiramiento

Un estiramiento en el plano xy es una transformación lineal que amplía todas las distancias en una dirección particular por un factor constante pero no afecta las distancias en la dirección perpendicular. Solo consideramos tramos a lo largo del eje x y del eje y. Un tramo a lo largo del eje x tiene la forma $x' = kx$ ; $y' = y$ para alguna constante positiva $k$ . (Tenga en cuenta que si $k > 1$ , entonces esto realmente es una "extensión"; si $k < 1$ , técnicamente es una "compresión", pero todavía lo llamamos extensión. Además, si $k = 1$ , entonces la transformación es una identidad, es decir, no tiene ningún efecto).

La matriz asociada con un estiramiento por un factor $k$ a lo largo del eje x viene dada por:

{displaystyle {begin{bmatrix}k&0\0&1end{bmatrix}}}

De manera similar, un estiramiento por un factor k a lo largo del eje y tiene la forma $x' = x$ ; $y' = ky$ , por lo que la matriz asociada con esta transformación es

{displaystyle {begin{bmatrix}1&0\0&kend{bmatrix}}}

Apretando

Si los dos tramos anteriores se combinan con valores recíprocos, entonces la matriz de transformación representa un mapeo de compresión:

{displaystyle {begin{bmatrix}k&0\0&1/kend{bmatrix}}.}

Rotación

Para la rotación por un ángulo θ contra reloj (dirección positiva) sobre el origen la forma funcional es ${displaystyle x'=xcos theta -ysin theta }$ y ${displaystyle y'=xsin theta +ycos theta }$ . Escrito en forma de matriz, esto se convierte en:

{displaystyle {begin{bmatrix}x'\y'end{bmatrix}}={begin{bmatrix}cos theta &-sin theta \sin theta &cos theta end{bmatrix}}{begin{bmatrix}x\yend{bmatrix}}}

Del mismo modo, para una rotación en el reloj (dirección negativa) sobre el origen, la forma funcional es ${displaystyle x'=xcos theta +ysin theta }$ y ${displaystyle y'=-xsin theta +ycos theta }$ la forma matriz es:

{displaystyle {begin{bmatrix}x'\y'end{bmatrix}}={begin{bmatrix}cos theta &sin theta \-sin theta &cos theta end{bmatrix}}{begin{bmatrix}x\yend{bmatrix}}}

Estas fórmulas suponen que el eje x apunta hacia la derecha y el eje y apunta hacia arriba.

Esquila

Para el mapeo de corte (visualmente similar a la inclinación), hay dos posibilidades.

Un cobertizo paralelo al x axis tiene ${displaystyle x'=x+ky}$ y ${displaystyle y'=y}$ . Escrito en forma de matriz, esto se convierte en:

{displaystyle {begin{bmatrix}x'\y'end{bmatrix}}={begin{bmatrix}1&k\0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}x\yend{bmatrix}}}

Un cobertizo paralelo al Sí. axis tiene ${displaystyle x'=x}$ y ${displaystyle y'=y+kx}$ , que tiene forma matriz:

{displaystyle {begin{bmatrix}x'\y'end{bmatrix}}={begin{bmatrix}1&0\k&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}x\yend{bmatrix}}}

Reflexión

Para reflexionar sobre una línea que pasa por el origen, deja ${displaystyle mathbf {l} =(l_{x},l_{y})}$ ser un vector en la dirección de la línea. Luego utilice la matriz de transformación:

{displaystyle mathbf {A} ={frac {1}{lVert mathbf {l} rVert ^{2}}}{begin{bmatrix}l_{x}^{2}-l_{y}^{2}&2l_{x}l_{y}\2l_{x}l_{y}&l_{y}^{2}-l_{x}^{2}end{bmatrix}}}

Proyección ortogonal

Para proyectar un vector ortogonalmente en una línea que pasa por el origen, dejar ${displaystyle mathbf {u} =(u_{x},u_{y})}$ ser un vector en la dirección de la línea. Luego utilice la matriz de transformación:

{displaystyle mathbf {A} ={frac {1}{lVert mathbf {u} rVert ^{2}}}{begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}end{bmatrix}}}

Al igual que con las reflexiones, la proyección ortogonal sobre una línea que no pasa por el origen es una transformación afín, no lineal.

Las proyecciones paralelas también son transformaciones lineales y pueden ser representadas simplemente por una matriz. Sin embargo, las proyecciones de perspectiva no son, y para representarlas con una matriz, se pueden utilizar coordenadas homogéneas.

Ejemplos de gráficos por ordenador en 3D

Rotación

La matriz para rotar un ángulo θ alrededor de cualquier eje definido por el vector unitario (x,y,z) es

{displaystyle {begin{bmatrix}xx(1-cos theta)+cos theta &yx(1-cos theta)-zsin theta &zx(1-cos theta)+ysin theta \xy(1-cos theta)+zsin theta &yy(1-cos theta)+cos theta &zy(1-cos theta)-xsin theta \xz(1-cos theta)-ysin theta &yz(1-cos theta)+xsin theta &zz(1-cos theta)+cos theta end{bmatrix}}.}

Reflexión

Para reflejar un punto a través de un avión ${displaystyle ax+by+cz=0}$ (que pasa por el origen), se puede utilizar ${displaystyle mathbf {A} =mathbf {I} -2mathbf {NN} ^{mathrm {T} }}$ , donde ${displaystyle mathbf {I} }$ es la matriz de identidad 3×3 ${displaystyle mathbf {N} }$ es el vector de unidad tridimensional para el vector normal del plano. Si la norma L2 ${displaystyle a}$ , ${displaystyle b}$ , y ${displaystyle c}$ es unidad, la matriz de transformación se puede expresar como:

{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\-2ac&-2bc&1-2c^{2}end{bmatrix}}}

Nótese que estos son casos particulares de una reflexión de cabeza de familia en dos y tres dimensiones. Una reflexión sobre una línea o plano que no pasa por el origen no es una transformación lineal, es una transformación afín, como una matriz de transformación afín 4×4, se puede expresar de la siguiente manera (asumiendo que la normal es un vector unitario) :

{displaystyle {begin{bmatrix}x'\y'\z'\1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac&-2ad\-2ab&1-2b^{2}&-2bc&-2bd\-2ac&-2bc&1-2c^{2}&-2cd\0&0&0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}x\y\z\1end{bmatrix}}}

{displaystyle d=-mathbf {p} cdot mathbf {N} }

{displaystyle mathbf {p} }

{displaystyle ax+by+cz+d=0}

Si la cuarta componente del vector es 0 en lugar de 1, entonces sólo se refleja la dirección del vector y su magnitud permanece sin cambios, como si se reflejara a través de un plano paralelo que pasa por el origen. Esta es una propiedad útil ya que permite la transformación tanto de vectores posicionales como de vectores normales con la misma matriz. Consulte las coordenadas homogéneas y las transformaciones afines a continuación para obtener más explicaciones.

Componer e invertir transformaciones

Una de las principales motivaciones para usar matrices para representar transformaciones lineales es que las transformaciones se pueden componer e invertir fácilmente.

La composición se logra mediante la multiplicación de matrices. Los vectores de filas y columnas son operados por matrices, filas a la izquierda y columnas a la derecha. Dado que el texto se lee de izquierda a derecha, se prefieren los vectores de columna cuando se componen matrices de transformación:

Si A y B son las matrices de dos transformaciones lineales, luego el efecto de la primera aplicación A y luego B a un vector de columna ${displaystyle mathbf {x} }$ es dado por:

{displaystyle mathbf {B} (mathbf {A} mathbf {x})=(mathbf {BA})mathbf {x}.}

En otras palabras, la matriz de la transformación combinada A seguida de B es simplemente el producto de las matrices individuales.

Cuando A es una matriz invertible, hay una matriz A⁻¹ que representa una transformación que "deshace" A ya que su composición con A es la matriz identidad. En algunas aplicaciones prácticas, la inversión se puede calcular utilizando algoritmos de inversión generales o realizando operaciones inversas (que tienen una interpretación geométrica obvia, como girar en dirección opuesta) y luego componiéndolas en orden inverso. Las matrices de reflexión son un caso especial porque son sus propias inversas y no es necesario calcularlas por separado.

Otro tipo de transformaciones

Transformaciones afines

Las transformaciones de Affine en el plano 2D se pueden realizar en tres dimensiones. La traducción se realiza mediante el cierre paralelo al plano xy, y la rotación se realiza alrededor del eje z.

Para representar transformaciones afines con matrices, podemos utilizar coordenadas homogéneas. Esto significa representar un 2-vector (x, Sí.como un 3-vectorx, Sí., 1), y similarmente para dimensiones superiores. Utilizando este sistema, la traducción se puede expresar con multiplicación de matriz. La forma funcional ${displaystyle x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}}$ se convierte en:

{displaystyle {begin{bmatrix}x'\y'\1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}1&0&t_{x}\0&1&t_{y}\0&0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}x\y\1end{bmatrix}}.}

Todas las transformaciones lineales ordinarias están incluidas en el conjunto de transformaciones afines y pueden describirse como una forma simplificada de transformaciones afines. Por tanto, cualquier transformación lineal también puede representarse mediante una matriz de transformación general. Este último se obtiene expandiendo la matriz de transformación lineal correspondiente en una fila y una columna, llenando el espacio adicional con ceros excepto la esquina inferior derecha, que debe establecerse en 1. Por ejemplo, el contador la matriz de rotación en el sentido de las agujas del reloj desde arriba se convierte en:

{displaystyle {begin{bmatrix}cos theta &-sin theta &0\sin theta &cos theta &0\0&0&1end{bmatrix}}}

Al utilizar matrices de transformación que contienen coordenadas homogéneas, las traducciones se vuelven lineales y, por lo tanto, pueden combinarse perfectamente con todos los demás tipos de transformaciones. La razón es que el plano real se asigna al plano $w = 1$ en el espacio proyectivo real, por lo que la traslación en el espacio euclidiano real se puede representar como un corte en el espacio proyectivo real. Aunque una traslación es una transformación no lineal en un espacio euclidiano 2-D o 3-D descrito por coordenadas cartesianas (es decir, no se puede combinar con otras transformaciones preservando la conmutatividad y otras propiedades), se convierte, en un Espacio proyectivo 3-D o 4-D descrito por coordenadas homogéneas, una transformación lineal simple (una cizalladura).

Se pueden obtener más transformaciones afines mediante la composición de dos o más transformaciones afines. Por ejemplo, dada una traducción T ' con vector ${displaystyle (t'_{x},t'_{y}),}$ una rotación R por un ángulo θ contra reloj, una escalada S con factores ${displaystyle (s_{x},s_{y})}$ y una traducción T de vectores ${displaystyle (t_{x},t_{y}),}$ el resultado M de T.RST es:

{displaystyle {begin{bmatrix}s_{x}cos theta &-s_{y}sin theta &t_{x}s_{x}cos theta -t_{y}s_{y}sin theta +t'_{x}\s_{x}sin theta &s_{y}cos theta &t_{x}s_{x}sin theta +t_{y}s_{y}cos theta +t'_{y}\0&0&1end{bmatrix}}}

Cuando se utilizan transformaciones afines, el componente homogéneo de un vector de coordenadas (normalmente llamado w) nunca se alterará. Por lo tanto, se puede asumir con seguridad que siempre es 1 e ignorarlo. Sin embargo, esto no es cierto cuando se utilizan proyecciones en perspectiva.

Proyección en perspectiva

Otro tipo de transformación, de importancia en los gráficos por ordenador 3D, es la proyección en perspectiva. Mientras que las proyecciones paralelas se utilizan para proyectar puntos en el plano de la imagen a lo largo de líneas paralelas, la proyección en perspectiva proyecta puntos en el plano de la imagen a lo largo de líneas que emanan de un solo punto, llamado centro de proyección. Esto significa que un objeto tiene una proyección menor cuando está lejos del centro de proyección y una proyección mayor cuando está más cerca (ver también función recíproca).

La proyección de perspectiva más simple utiliza el origen como centro de proyección, y el plano en ${displaystyle z=1}$ como el plano de la imagen. La forma funcional de esta transformación es entonces ${displaystyle x'=x/z}$ ; ${displaystyle y'=y/z}$ . Podemos expresar esto en coordenadas homogéneas como:

{displaystyle {begin{bmatrix}x_{c}\y_{c}\z_{c}\w_{c}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&0\0&0&1&0end{bmatrix}}{begin{bmatrix}x\y\z\1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}x\y\z\zend{bmatrix}}}

Después de realizar la multiplicación de la matriz, el componente homogéneo ${displaystyle w_{c}}$ será igual al valor de ${displaystyle z}$ y los otros tres no cambiarán. Por lo tanto, para volver al plano real debemos realizar el división homogénea o perspectiva de la división dividiendo cada componente ${displaystyle w_{c}}$ :

{displaystyle {begin{bmatrix}x'\y'\z'\1end{bmatrix}}={frac {1}{w_{c}}}{begin{bmatrix}x_{c}\y_{c}\z_{c}\w_{c}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}x/z\y/z\1\1end{bmatrix}}}

Las proyecciones de perspectiva más complicadas se pueden componer combinando esta con rotaciones, escalas, traducciones y tijeras para mover el plano de imagen y el centro de proyección donde se desee.

Contenido relacionado

Más resultados...