Matemáticas en Babilonia

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Fotografía de la tablilla YBC 7289 — Tablilla babilónica para hacer cuentas

Las matemáticas en Babilonia se desarrollaron desde la época sumeria hasta la caída de Babilonia en el 539 a. C. a lo largo del territorio de Mesopotamia. Los babilonios usaban la escritura cuneiforme para escribir sus operaciones matemáticas en arcilla húmeda y luego la cocían en hornos o bajo el sol. A diferencia de las matemáticas egipcias, de las cuales se tienen pocos registros, el conocimiento de las matemáticas babilónicas está bien documento, especialmente por aproximadamente 400 tablillas de arcilla, descubiertas desde la década de 1850.

El sistema babilónico de matemáticas era un sistema numérico sexagesimal (base 60). De esto derivamos el uso moderno de 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora y 360 grados en un círculo. Gracias a que el número 60 es un número superior altamente compuesto y a que usaron un sistema de notación posicional rígido (los números a la izquierda siempre incrementan), los babilonios pudieron lograr grandes avances en matemáticas.

Los textos matemáticos babilónicos son importantes tanto por su cantidad como por su calidad. Estos se clasifican en dos grupos: el período babilónico antiguo (1830- 1531 a. C.) y el período seléucida, correspondientes a los últimos tres o cuatro siglos a. C. A pesar del tiempo, ambos grupos muestran una notable consistencia en términos de contenido y enfoque matemático, evidenciando que las matemáticas babilónicas se mantuvieron constante durante casi dos milenios.

Estas tablillas abarcan una amplia gama de temas matemáticos donde se incluyen fracciones, álgebra, ecuaciones cuadráticas y cúbicas, y aplicaciones del teorema de Pitágoras. Un ejemplo destacado es la tablilla babilónica YBC 7289, que ofrece una aproximación del número √2 con una precisión de tres dígitos sexagesimales, lo que equivale a unos seis dígitos decimales. Este nivel de precisión subraya la sofisticación y el avanzado conocimiento matemático de la civilización babilónica.

HSD

Origen de las matemáticas babilónicas

Las matemáticas babilónicas son una gama de prácticas matemáticas numéricas y más avanzadas en el antiguo Cercano Oriente, escritas en escritura cuneiforme. El estudio se ha centrado históricamente en el período babilónico antiguo a principios del segundo milenio antes de Cristo debido a la gran cantidad de datos disponibles. Ha habido debate sobre la aparición más temprana de las matemáticas babilónicas, y los historiadores sugieren un rango de fechas entre el quinto y el tercer milenio antes de Cristo. Las matemáticas babilónicas se escribieron principalmente en tablillas de arcilla en escritura cuneiforme en los idiomas acadio o sumerio.

"Matemáticas babilónicas" es quizás un término inútil ya que los primeros orígenes sugeridos datan del uso de dispositivos contables, como bullas y fichas, en el quinto milenio antes de Cristo.

Números babilónicos

El sistema matemático babilónico era un sistema numérico sexagesimal (base 60). De esto derivamos el uso moderno de 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora y 360 grados en un círculo. Los babilonios pudieron hacer grandes avances en matemáticas por dos razones. En primer lugar, el número 60 es un número superior altamente compuesto, con factores de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (incluidos los que son a su vez compuestos), lo que facilita los cálculos con fracciones Además, a diferencia de los egipcios y los romanos, los babilonios tenían un verdadero sistema de valor posicional, en el que los dígitos escritos en la columna de la izquierda representaban valores más grandes (al igual que, en nuestro sistema de base diez, 734 = 7 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1).

Matemáticas sumerias

Los antiguos sumerios de Mesopotamia desarrollaron un complejo sistema de metrología desde el año 3000 a. Desde el 2600 aC en adelante, los sumerios escribieron tablas de multiplicar en tablillas de arcilla y se ocuparon de ejercicios geométricos y problemas de división. Los primeros rastros de los números babilónicos también se remontan a este período.

Matemáticas babilónicas antiguas (2000-1600 a. C.)

La mayoría de las tablillas de arcilla que describen las matemáticas babilónicas pertenecen al antiguo babilónico, razón por la cual las matemáticas de Mesopotamia se conocen comúnmente como matemáticas babilónicas. Algunas tablillas de arcilla contienen listas y tablas matemáticas, otras contienen problemas y soluciones elaboradas.

Aritmética

Los babilonios usaban tablas precalculadas para ayudar con la aritmética. Por ejemplo, dos tablillas encontradas en Senkerah en el Éufrates en 1854, que datan del 2000 a. C., dan listas de los cuadrados de los números hasta el 59 y los cubos de los números hasta el 32. Los babilonios usaban las listas de cuadrados junto con las fórmulas: $ab={frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}$ $ab={frac {(a+b)^{2}-(ab)^{2}}{4}}$

para simplificar la multiplicación.

Los babilonios no tenían un algoritmo para la división larga. En cambio, basaron su método en el hecho de que: ${frac {a}{b}}=aveces {frac {1}{b}}$

junto con una tabla de recíprocos. Los números cuyos únicos factores primos son 2, 3 o 5 (conocidos como números 5-lisos o regulares) tienen recíprocos finitos en notación sexagesimal, y se han encontrado tablas con listas extensas de estos recíprocos.

Los recíprocos como 1/7, 1/11, 1/13, etc. no tienen representaciones finitas en notación sexagesimal. Para calcular 1/13 o dividir un número por 13, los babilonios usarían una aproximación como: ${frac {1}{13}}={frac {7}{91}}=7veces {frac {1}{91}}aprox. 7veces {frac {1}{90}} =7times {frac {40}{3600}}={frac {280}{3600}}={frac {4}{60}}+{frac {40}{3600}}.$

Álgebra

La tablilla de arcilla babilónica YBC 7289 (c. 1800-1600 a. C.) da una aproximación de √ 2 en cuatro cifras sexagesimales, 1; 24, 51, 10, que tiene una precisión de aproximadamente seis dígitos decimales y es el tres lugares más cercano posible. representación sexagesimal de √ 2: $1+{frac {24}{60}}+{frac {51}{60^{2}}}+{frac {10}{60^{3}}}={frac {30547}{ 21600}}=1.41421{overline {296}}.$

Además de los cálculos aritméticos, los matemáticos babilónicos también desarrollaron métodos algebraicos para resolver ecuaciones. Una vez más, estos se basaron en tablas precalculadas.

Para resolver una ecuación cuadrática, los babilonios usaban esencialmente la fórmula cuadrática estándar. Consideraron ecuaciones cuadráticas de la forma: $x^{2}+bx=c$

donde b y c no eran necesariamente números enteros, pero c siempre era positivo. Sabían que una solución a esta forma de ecuación es: $x=-{frac {b}{2}}+{sqrt {left({frac {b}{2}}right)^{2}+c}}$

y encontraron raíces cuadradas de manera eficiente usando división y promediando. Siempre usaban la raíz positiva porque esto tenía sentido al resolver problemas "reales". Los problemas de este tipo incluían encontrar las dimensiones de un rectángulo dada su área y la cantidad por la cual la longitud excede el ancho.

Se utilizaron tablas de valores de n + n para resolver ciertas ecuaciones cúbicas. Por ejemplo, considere la ecuación: $ax^{3}+bx^{2}=c.$

Multiplicando la ecuación por a y dividiendo por b da: $left({frac {ax}{b}}right)^{3}+left({frac {ax}{b}}right)^{2}={frac {ca^{2 }}{b^{3}}}.$

Sustituyendo y = ax / b da: $y^{3}+y^{2}={frac {ca^{2}}{b^{3}}}$

que ahora podría resolverse buscando en la tabla n + n para encontrar el valor más cercano al lado derecho. Los babilonios lograron esto sin notación algebraica, mostrando una notable profundidad de comprensión. Sin embargo, no tenían un método para resolver la ecuación cúbica general.

Crecimiento

Los babilonios modelaron el crecimiento exponencial, el crecimiento restringido (a través de una forma de funciones sigmoideas) y el tiempo de duplicación, este último en el contexto de los intereses de los préstamos.

Tablillas de arcilla de c. 2000 a. C. incluyen el ejercicio "Dada una tasa de interés de 1/60 por mes (sin capitalización), calcule el tiempo de duplicación". Esto produce una tasa de interés anual de 12/60 = 20 % y, por lo tanto, un tiempo de duplicación de 100 % de crecimiento/20 % de crecimiento anual = 5 años.

Plimpton 322

La tablilla Plimpton 322 contiene una lista de "triples pitagóricos", es decir, números enteros $(a B C)$ tales que $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Los triples son demasiados y demasiado grandes para haber sido obtenidos por la fuerza bruta.

Mucho se ha escrito sobre el tema, incluidas algunas especulaciones (quizás anacrónicas) sobre si la tablilla podría haber servido como una de las primeras tablas trigonométricas. Se debe tener cuidado de ver la tablilla en términos de métodos familiares o accesibles a los escribas de la época.

[...] la pregunta "¿cómo se calculó la tableta?" no tiene que tener la misma respuesta que la pregunta "¿qué problemas presenta la tableta?" La primera puede responderse de manera más satisfactoria mediante pares recíprocos, como se sugirió por primera vez hace medio siglo, y la segunda mediante algún tipo de problemas de triángulos rectángulos.

(E. Robson, "Ni Sherlock Holmes ni Babilonia: una reevaluación de Plimpton 322", Historia Math. 28 (3), p. 202).

Geometría

Los babilonios conocían las reglas comunes para medir volúmenes y áreas. Midieron la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro y el área como un doceavo del cuadrado de la circunferencia, lo que sería correcto si π se estimara como 3. Sabían que esto era una aproximación, y un matemático antiguo babilónico tablilla excavada cerca de Susa en 1936 (fechada entre los siglos XIX y XVII a. C.) da una mejor aproximación de π como 25/8 = 3,125, aproximadamente un 0,5 por ciento por debajo del valor exacto. El volumen de un cilindro se tomaba como el producto de la base por la altura, sin embargo, el volumen del tronco de un cono o de una pirámide cuadrada se tomaba incorrectamente como el producto de la altura por la mitad de la suma de las bases. El teorema de Pitágoras también era conocido por los babilonios.

La "milla babilónica" era una medida de distancia equivalente a unos 11,3 km (o unas siete millas modernas). Esta medida de distancias finalmente se convirtió en una "milla de tiempo" utilizada para medir el viaje del Sol, por lo tanto, representando el tiempo.

Los antiguos babilonios conocían los teoremas sobre las proporciones de los lados de triángulos similares durante muchos siglos, pero carecían del concepto de medida de un ángulo y, en consecuencia, estudiaron los lados de los triángulos.

Los astrónomos babilónicos mantuvieron registros detallados de la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requería familiarizarse con las distancias angulares medidas en la esfera celeste.

También utilizaron una forma de análisis de Fourier para calcular las efemérides (tablas de posiciones astronómicas), que fue descubierta en la década de 1950 por Otto Neugebauer. Para hacer los cálculos de los movimientos de los cuerpos celestes, los babilonios usaban la aritmética básica y un sistema de coordenadas basado en la eclíptica, la parte del cielo por donde viajan el sol y los planetas.

Las tablillas conservadas en el Museo Británico proporcionan evidencia de que los babilonios incluso llegaron a tener un concepto de objetos en un espacio matemático abstracto. Las tablillas datan de entre 350 y 50 a. C. y revelan que los babilonios entendían y usaban la geometría incluso antes de lo que se pensaba. Los babilonios utilizaron un método para estimar el área bajo una curva dibujando un trapezoide debajo, una técnica que anteriormente se creía que se originó en la Europa del siglo XIV. Este método de estimación les permitió, por ejemplo, encontrar la distancia que había recorrido Júpiter en un cierto período de tiempo.