Modelo matemático

Un modelo matemático es una descripción abstracta de un sistema concreto utilizando conceptos y lenguaje matemáticos. El proceso de desarrollo de un modelo matemático se denomina modelado matemático. Los modelos matemáticos se utilizan en las ciencias naturales (como la física, la biología, las ciencias de la tierra, la química) y las disciplinas de ingeniería (como la informática, la ingeniería eléctrica), así como en sistemas no físicos como las ciencias sociales (como la economía, psicología, sociología, ciencias políticas). El uso de modelos matemáticos para resolver problemas en operaciones comerciales o militares es una gran parte del campo de la investigación de operaciones. Los modelos matemáticos también se utilizan en música, lingüística y filosofía (por ejemplo, intensamente en filosofía analítica).

Un modelo puede ayudar a explicar un sistema y estudiar los efectos de diferentes componentes, y hacer predicciones sobre el comportamiento.

Elementos de un modelo matemático

Los modelos matemáticos pueden tomar muchas formas, incluidos sistemas dinámicos, modelos estadísticos, ecuaciones diferenciales o modelos de teoría de juegos. Estos y otros tipos de modelos pueden superponerse, con un modelo dado que involucra una variedad de estructuras abstractas. En general, los modelos matemáticos pueden incluir modelos lógicos. En muchos casos, la calidad de un campo científico depende de qué tan bien concuerden los modelos matemáticos desarrollados en el lado teórico con los resultados de experimentos repetibles. La falta de concordancia entre los modelos matemáticos teóricos y las mediciones experimentales a menudo conduce a avances importantes a medida que se desarrollan mejores teorías.

En las ciencias físicas, un modelo matemático tradicional contiene la mayoría de los siguientes elementos:

1. Ecuaciones de gobierno
2. Submodelos suplementarios
   1. Definir ecuaciones
   2. Ecuaciones constitutivas
3. Sumas y limitaciones
   1. Condiciones iniciales y límites
   2. Limitaciones clásicas y ecuaciones cinemáticas

Clasificaciones

Los modelos matemáticos son de diferentes tipos:

• Linear vs. nonlinear: Si todos los operadores en un modelo matemático exhiben linealidad, el modelo matemático resultante se define como lineal. Se considera que un modelo no es lineal de otro modo. La definición de linearidad y no linearidad depende del contexto, y los modelos lineales pueden tener expresiones no lineales en ellos. Por ejemplo, en un modelo lineal estadístico, se supone que una relación es lineal en los parámetros, pero puede ser no lineal en las variables predictoras. Del mismo modo, se dice que una ecuación diferencial es lineal si se puede escribir con operadores diferenciales lineales, pero todavía puede tener expresiones no lineales en ella. En un modelo de programación matemática, si las funciones y limitaciones objetivas están representadas enteramente por ecuaciones lineales, entonces el modelo se considera un modelo lineal. Si una o más de las funciones o limitaciones objetivas están representadas con una ecuación no lineal, entonces el modelo se conoce como un modelo no lineal.
  La estructura lineal implica que un problema puede ser descompuesto en partes más simples que pueden ser tratadas independientemente y/o analizadas a una escala diferente y los resultados obtenidos seguirán siendo válidos para el problema inicial cuando se recomponga y reescala.
  La no linealidad, incluso en sistemas bastante simples, a menudo se asocia con fenómenos como el caos y la irreversibilidad. Aunque existen excepciones, los sistemas y modelos no lineales tienden a ser más difíciles de estudiar que los lineales. Un enfoque común a los problemas no lineales es la linealización, pero esto puede ser problemático si uno está tratando de estudiar aspectos como la irreversibilidad, que están fuertemente ligados a la no linealidad.
• Static vs. dynamic: A dinámica modelo representa cambios dependientes del tiempo en el estado del sistema, mientras que un estática (o estado estable) modelo calcula el sistema en equilibrio, y por lo tanto es invariable. Los modelos dinámicos suelen estar representados por ecuaciones diferenciales o ecuaciones de diferencia.
• Explicit vs. implicit: Si se conocen todos los parámetros de entrada del modelo general, y los parámetros de salida se pueden calcular mediante una serie finita de computaciones, se dice que el modelo explícita. Pero a veces es el Producto parámetros que se conocen, y las entradas correspondientes deben ser resueltas por un procedimiento iterativo, como el método de Newton o el método de Broyden. En tal caso se dice que el modelo es implícita. Por ejemplo, las propiedades físicas de un motor de chorro, como la turbina y las zonas de garganta de la boquilla, se pueden calcular explícitamente debido a un ciclo termodinámico de diseño (tasas de flujo de aire y combustible, presiones y temperaturas) en una condición de vuelo y entorno de potencia específica, pero los ciclos operativos del motor a otras condiciones de vuelo y configuración de potencia no pueden calcularse explícitamente de las propiedades físicas constantes.
• Discreta vs. continua: Un modelo discreto trata objetos como discretos, como las partículas en un modelo molecular o los estados en un modelo estadístico; mientras que un modelo continuo representa los objetos de manera continua, como el campo de velocidad del fluido en flujos de tuberías, temperaturas y tensiones en un campo sólido y eléctrico que se aplica continuamente sobre todo el modelo debido a una carga de punto.
• Deterministic vs. probabilistic (stocástico): Un modelo determinista es uno en el que cada conjunto de estados variables se determina únicamente por parámetros en el modelo y por conjuntos de estados anteriores de estas variables; por lo tanto, un modelo determinista siempre realiza la misma manera para un determinado conjunto de condiciones iniciales. Por el contrario, en un modelo estocástico —generalmente llamado un "modelo estadístico"— está presente la sabiduría, y los estados variables no se describen por valores únicos, sino por distribuciones de probabilidad.
• Deductivo, inductivo o flotante: A modelo deductivo es una estructura lógica basada en una teoría. Un modelo inductivo surge de los hallazgos empíricos y la generalización de ellos. El modelo flotante no descansa en teoría ni observación, sino que es simplemente la invocación de la estructura esperada. La aplicación de las matemáticas en ciencias sociales fuera de la economía ha sido criticada por modelos infundados. La aplicación de la teoría de la catástrofe en la ciencia se ha caracterizado como un modelo flotante.
• Strategic vs non-strategic Los modelos utilizados en la teoría del juego son diferentes en un sentido que modelan a los agentes con incentivos incompatibles, como especies competidoras o pujadores en una subasta. Los modelos estratégicos suponen que los jugadores son tomadores de decisiones autónomos que eligen racionalmente acciones que maximizan su función objetiva. Un reto clave de usar modelos estratégicos es definir y computar conceptos de solución como el equilibrio de Nash. Una característica interesante de los modelos estratégicos es que separan el razonamiento sobre las reglas del juego de razonar sobre el comportamiento de los jugadores.

Construcción

En negocios e ingeniería, se pueden usar modelos matemáticos para maximizar un determinado resultado. El sistema bajo consideración requerirá ciertas entradas. El sistema que relaciona insumos con productos depende también de otras variables: variables de decisión, variables de estado, variables exógenas y variables aleatorias.

Las variables de decisión a veces se conocen como variables independientes. Las variables exógenas a veces se conocen como parámetros o constantes. Las variables no son independientes entre sí, ya que las variables de estado dependen de las variables de decisión, de entrada, aleatorias y exógenas. Además, las variables de salida dependen del estado del sistema (representado por las variables de estado).

Los objetivos y restricciones del sistema y sus usuarios se pueden representar como funciones de las variables de salida o variables de estado. Las funciones objetivo dependerán de la perspectiva del usuario del modelo. Según el contexto, una función objetivo también se conoce como índice de rendimiento, ya que es una medida de interés para el usuario. Aunque no hay límite para el número de funciones objetivas y restricciones que puede tener un modelo, usar u optimizar el modelo se vuelve más complicado (computacionalmente) a medida que aumenta el número.

Por ejemplo, los economistas suelen aplicar el álgebra lineal cuando utilizan modelos de entrada y salida. Los modelos matemáticos complicados que tienen muchas variables pueden consolidarse mediante el uso de vectores donde un símbolo representa varias variables.

Información a priori

Para analizar algo con un típico "acerco de caja negra", sólo se tendrá en cuenta el comportamiento del estímulo/respuesta, para inferir el (no conocido) caja. La representación habitual de esto sistema de caja negra es un diagrama de flujo de datos centrado en la caja.

Los problemas de modelado matemático a menudo se clasifican en modelos de caja negra o de caja blanca, según la cantidad de información a priori disponible sobre el sistema. Un modelo de caja negra es un sistema del que no se dispone de información a priori. Un modelo de caja blanca (también llamado caja de cristal o caja transparente) es un sistema en el que está disponible toda la información necesaria. Prácticamente todos los sistemas se encuentran en algún lugar entre los modelos de caja negra y caja blanca, por lo que este concepto es útil solo como una guía intuitiva para decidir qué enfoque tomar.

Por lo general, es preferible utilizar tanta información a priori como sea posible para que el modelo sea más preciso. Por lo tanto, los modelos de caja blanca suelen considerarse más fáciles, porque si ha utilizado la información correctamente, entonces el modelo se comportará correctamente. Muchas veces la información a priori viene en formas de conocer el tipo de funciones que relacionan diferentes variables. Por ejemplo, si hacemos un modelo de cómo funciona un medicamento en un sistema humano, sabemos que, por lo general, la cantidad de medicamento en la sangre es una función que decae exponencialmente. Pero todavía nos quedan varios parámetros desconocidos; ¿Qué tan rápido se descompone la cantidad de medicamento y cuál es la cantidad inicial de medicamento en la sangre? Por lo tanto, este ejemplo no es un modelo completamente de caja blanca. Estos parámetros tienen que ser estimados a través de algún medio antes de que uno pueda usar el modelo.

En los modelos de caja negra, uno intenta estimar tanto la forma funcional de las relaciones entre variables como los parámetros numéricos en esas funciones. Usando información a priori podríamos terminar, por ejemplo, con un conjunto de funciones que probablemente podrían describir el sistema adecuadamente. Si no hay información a priori, intentaríamos usar funciones lo más generales posible para cubrir todos los diferentes modelos. Un enfoque de uso frecuente para los modelos de caja negra son las redes neuronales que, por lo general, no hacen suposiciones sobre los datos entrantes. Alternativamente, los algoritmos NARMAX (Modelo de promedio móvil autorregresivo no lineal con entradas exógenas) que se desarrollaron como parte de la identificación del sistema no lineal se pueden usar para seleccionar los términos del modelo, determinar la estructura del modelo y estimar los parámetros desconocidos en presencia de elementos correlacionados y no lineales. ruido. La ventaja de los modelos NARMAX en comparación con las redes neuronales es que NARMAX produce modelos que se pueden escribir y relacionar con el proceso subyacente, mientras que las redes neuronales producen una aproximación que es opaca.

Información subjetiva

A veces es útil incorporar información subjetiva en un modelo matemático. Esto se puede hacer con base en la intuición, la experiencia o la opinión de expertos, o en base a la conveniencia de la forma matemática. Las estadísticas bayesianas proporcionan un marco teórico para incorporar dicha subjetividad en un análisis riguroso: especificamos una distribución de probabilidad previa (que puede ser subjetiva) y luego actualizamos esta distribución en función de los datos empíricos.

Un ejemplo de cuándo sería necesario dicho enfoque es una situación en la que un experimentador dobla ligeramente una moneda y la lanza una vez, registra si sale cara y luego se le asigna la tarea de predecir la probabilidad de que salga el siguiente lanzamiento. cabezas arriba Después de doblar la moneda, se desconoce la verdadera probabilidad de que salga cara; por lo tanto, el experimentador tendría que tomar una decisión (quizás observando la forma de la moneda) sobre qué distribución previa usar. La incorporación de dicha información subjetiva podría ser importante para obtener una estimación precisa de la probabilidad.

Complejidad

En general, la complejidad del modelo implica un equilibrio entre la simplicidad y la precisión del modelo. La navaja de Occam es un principio particularmente relevante para el modelado, su idea esencial es que entre los modelos con aproximadamente el mismo poder predictivo, el más simple es el más deseable. Si bien la complejidad agregada generalmente mejora el realismo de un modelo, puede dificultar la comprensión y el análisis del modelo, y también puede plantear problemas computacionales, incluida la inestabilidad numérica. Thomas Kuhn sostiene que a medida que avanza la ciencia, las explicaciones tienden a volverse más complejas antes de que un cambio de paradigma ofrezca una simplificación radical.

Por ejemplo, al modelar el vuelo de un avión, podríamos incrustar cada parte mecánica del avión en nuestro modelo y, por lo tanto, adquiriríamos casi un modelo de caja blanca del sistema. Sin embargo, el costo computacional de agregar una cantidad tan grande de detalles inhibiría efectivamente el uso de dicho modelo. Además, la incertidumbre aumentaría debido a un sistema demasiado complejo, porque cada parte por separado induce cierta cantidad de variación en el modelo. Por lo tanto, suele ser apropiado hacer algunas aproximaciones para reducir el modelo a un tamaño razonable. Los ingenieros a menudo pueden aceptar algunas aproximaciones para obtener un modelo más robusto y simple. Por ejemplo, la mecánica clásica de Newton es un modelo aproximado del mundo real. Aún así, el modelo de Newton es bastante suficiente para la mayoría de las situaciones de la vida ordinaria, es decir, siempre que las velocidades de las partículas estén muy por debajo de la velocidad de la luz, y solo estudiemos macropartículas.

Tenga en cuenta que una mayor precisión no significa necesariamente un mejor modelo. Los modelos estadísticos son propensos al sobreajuste, lo que significa que un modelo se ajusta demasiado a los datos y ha perdido su capacidad de generalizar a nuevos eventos que no se observaron antes.

Entrenamiento y puesta a punto

Cualquier modelo que no sea una caja blanca pura contiene algunos parámetros que se pueden usar para ajustar el modelo al sistema que pretende describir. Si el modelado se realiza mediante una red neuronal artificial u otro aprendizaje automático, la optimización de los parámetros se denomina entrenamiento, mientras que la optimización de los hiperparámetros del modelo se denomina ajuste y, a menudo, utiliza cross -validación. En el modelado más convencional a través de funciones matemáticas dadas explícitamente, los parámetros a menudo se determinan mediante ajuste de curvas.

Evaluación del modelo

Una parte crucial del proceso de modelado es la evaluación de si un modelo matemático dado describe o no un sistema con precisión. Esta pregunta puede ser difícil de responder ya que implica varios tipos diferentes de evaluación.

Ajuste a datos empíricos

Por lo general, la parte más fácil de la evaluación del modelo es verificar si un modelo se ajusta a las medidas experimentales u otros datos empíricos. En modelos con parámetros, un enfoque común para probar este ajuste es dividir los datos en dos subconjuntos separados: datos de entrenamiento y datos de verificación. Los datos de entrenamiento se utilizan para estimar los parámetros del modelo. Un modelo preciso coincidirá estrechamente con los datos de verificación aunque estos datos no se hayan utilizado para establecer los parámetros del modelo. Esta práctica se conoce como validación cruzada en estadística.

Definir una métrica para medir las distancias entre los datos observados y los previstos es una herramienta útil para evaluar el ajuste del modelo. En estadística, teoría de decisiones y algunos modelos económicos, una función de pérdida juega un papel similar.

Si bien es bastante sencillo probar la idoneidad de los parámetros, puede ser más difícil probar la validez de la forma matemática general de un modelo. En general, se han desarrollado más herramientas matemáticas para probar el ajuste de modelos estadísticos que modelos que involucran ecuaciones diferenciales. Las herramientas de estadísticas no paramétricas a veces se pueden usar para evaluar qué tan bien se ajustan los datos a una distribución conocida o para generar un modelo general que solo hace suposiciones mínimas sobre la forma matemática del modelo.

Alcance del modelo

Evaluar el alcance de un modelo, es decir, determinar a qué situaciones se aplica el modelo, puede ser menos sencillo. Si el modelo se construyó en base a un conjunto de datos, se debe determinar para qué sistemas o situaciones los datos conocidos son "típicos" conjunto de datos.

La cuestión de si el modelo describe bien las propiedades del sistema entre puntos de datos se llama interpolación, y la misma pregunta para eventos o puntos de datos fuera de los datos observados se llama extrapolación.

Como ejemplo de las limitaciones típicas del alcance de un modelo, al evaluar la mecánica clásica newtoniana, podemos señalar que Newton realizó sus mediciones sin equipo avanzado, por lo que no pudo medir las propiedades de las partículas que viajaban a velocidades cercanas a la velocidad de luz. Asimismo, no midió los movimientos de moléculas y otras partículas pequeñas, sino solo de macropartículas. Entonces, no sorprende que su modelo no se extrapole bien a estos dominios, a pesar de que su modelo es suficiente para la física de la vida ordinaria.

Consideraciones filosóficas

Muchos tipos de modelado implican implícitamente afirmaciones sobre la causalidad. Esto suele ser cierto (pero no siempre) en los modelos que involucran ecuaciones diferenciales. Dado que el propósito del modelado es aumentar nuestra comprensión del mundo, la validez de un modelo se basa no solo en su ajuste a las observaciones empíricas, sino también en su capacidad para extrapolar a situaciones o datos más allá de los descritos originalmente en el modelo. Se puede pensar en esto como la diferenciación entre predicciones cualitativas y cuantitativas. También se puede argumentar que un modelo no tiene valor a menos que proporcione una idea que vaya más allá de lo que ya se conoce a partir de la investigación directa del fenómeno que se estudia.

Un ejemplo de tal crítica es el argumento de que los modelos matemáticos de la teoría de alimentación óptima no ofrecen información que vaya más allá de las conclusiones de sentido común de la evolución y otros principios básicos de la ecología.

Importancia en las ciencias naturales

Los modelos matemáticos son de gran importancia en las ciencias naturales, particularmente en la física. Las teorías físicas se expresan casi invariablemente usando modelos matemáticos.

A lo largo de la historia, se han desarrollado modelos matemáticos cada vez más precisos. Las leyes de Newton describen con precisión muchos fenómenos cotidianos, pero en ciertos límites se debe utilizar la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica.

Es común usar modelos idealizados en física para simplificar las cosas. Las cuerdas sin masa, las partículas puntuales, los gases ideales y la partícula en una caja se encuentran entre los muchos modelos simplificados que se utilizan en la física. Las leyes de la física se representan con ecuaciones simples como las leyes de Newton, las ecuaciones de Maxwell y la ecuación de Schrödinger. Estas leyes son la base para hacer modelos matemáticos de situaciones reales. Muchas situaciones reales son muy complejas y, por lo tanto, se modelan de forma aproximada en una computadora; un modelo que es computacionalmente factible de calcular se hace a partir de las leyes básicas o de modelos aproximados hechos a partir de las leyes básicas. Por ejemplo, las moléculas se pueden modelar mediante modelos de orbitales moleculares que son soluciones aproximadas de la ecuación de Schrödinger. En ingeniería, los modelos físicos a menudo se elaboran mediante métodos matemáticos, como el análisis de elementos finitos.

Diferentes modelos matemáticos usan diferentes geometrías que no son necesariamente descripciones precisas de la geometría del universo. La geometría euclidiana se usa mucho en la física clásica, mientras que la relatividad especial y la relatividad general son ejemplos de teorías que usan geometrías que no son euclidianas.

Algunas aplicaciones

A menudo, cuando los ingenieros analizan un sistema para controlarlo u optimizarlo, utilizan un modelo matemático. En análisis, los ingenieros pueden construir un modelo descriptivo del sistema como una hipótesis de cómo podría funcionar el sistema, o tratar de estimar cómo un evento imprevisible podría afectar el sistema. De manera similar, en el control de un sistema, los ingenieros pueden probar diferentes enfoques de control en simulaciones.

Un modelo matemático suele describir un sistema mediante un conjunto de variables y un conjunto de ecuaciones que establecen relaciones entre las variables. Las variables pueden ser de muchos tipos; números reales o enteros, valores booleanos o cadenas, por ejemplo. Las variables representan algunas propiedades del sistema, por ejemplo, las salidas del sistema medido a menudo en forma de señales, datos de temporización, contadores y ocurrencia de eventos. El modelo actual es el conjunto de funciones que describen las relaciones entre las diferentes variables.

Ejemplos

• Uno de los ejemplos populares en la ciencia informática es los modelos matemáticos de varias máquinas, un ejemplo es el automatón finito determinista (DFA) que se define como un concepto matemático abstracto, pero debido a la naturaleza determinista de un DFA, es implementable en hardware y software para resolver varios problemas específicos. Por ejemplo, el siguiente es un DFA M con un alfabeto binario, que requiere que la entrada contenga un número uniforme de 0s:

El diagrama de estado para M

M =Q, Governing, δ, q₀, FDonde

• Q =S₁, S₂}
• .
• q₀ = S₁,
• F =S₁}, y
• δ se define por la siguiente tabla de transición estatal:

	0	1
S1	S2	S1
S2	S1	S2

El estado S₁ representa que ha habido un número uniforme de 0s en la entrada hasta ahora, mientras S₂ significa un número extraño. Una 1 en la entrada no cambia el estado del autómata. Cuando la entrada termine, el estado mostrará si la entrada contenía un número uniforme de 0s o no. Si la entrada contiene incluso un número de 0s, M terminará en estado S₁, un estado de aceptación, por lo que la cadena de entrada será aceptada.

El idioma reconocido M es el lenguaje regular dado por la expresión regular 1*(0 (1*) 0 (1*)*, donde "*" es la estrella de Kleene, por ejemplo, 1* denota cualquier número no negativo (posiblemente cero) de símbolos "1".

• Muchas actividades diarias llevadas a cabo sin un pensamiento son usos de modelos matemáticos. Una proyección geográfica de mapa de una región de la tierra sobre una superficie pequeña y plana es un modelo que se puede utilizar para muchos propósitos como la planificación de viajes.
• Otra actividad simple es predecir la posición de un vehículo desde su posición inicial, dirección y velocidad de viaje, utilizando la ecuación que la distancia viajó es el producto del tiempo y la velocidad. Esto se conoce como cálculo muerto cuando se utiliza más formalmente. El modelado matemático de esta manera no requiere necesariamente matemáticas formales; los animales han demostrado usar el cálculo muerto.
• Crecimiento demográfico. Un modelo simple (aunque aproximado) de crecimiento demográfico es el modelo de crecimiento malthusiano. Un modelo de crecimiento demográfico ligeramente más realista y utilizado en gran medida es la función logística y sus extensiones.
• Modelo de una partícula en un campo potencial. En este modelo consideramos que una partícula es un punto de masa que describe una trayectoria en el espacio modelada por una función que da sus coordenadas en el espacio como función del tiempo. El campo potencial es dado por una función V:R3→ → R{displaystyle ¡Mathbb! y la trayectoria, es una función r:R→ → R3{displaystyle mathbf {r} !:mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ^{3}}, es la solución de la ecuación diferencial:

− − d2r()t)dt2m=∂ ∂ V[r()t)]∂ ∂ xx^ ^ +∂ ∂ V[r()t)]∂ ∂ Sí.Sí.^ ^ +∂ ∂ V[r()t)]∂ ∂ zz^ ^ ,{displaystyle -{frac {m}m={2} {m}m={f}m={partial V[mathbf {r} (t)}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}} {f}}}f}f}f}}f}}f}}}f}}}}}}}}}}}f}f}}}}f}}}}}}f}}}}}}}}f}}f}f}}}}}f}}}}}}}}}f} {f}f} {f}}}}}}}}f}}}}f}}}}}}f}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {fnMicroc {fnMitbf} {fnMitbf} {f} {f} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fnK}}}} {fnMicroc {fnMitbf} {fnh} {fnMitbf {f}} {f}}

que se puede escribir también como:

md2r()t)dt2=− − Silencio Silencio V[r()t)].{displaystyle m{frac {mathrm {d}m}mthbf {r} {m}{mhm {d}.

Tenga en cuenta que este modelo asume que la partícula es una masa de punto, que ciertamente se sabe que es falsa en muchos casos en los que usamos este modelo; por ejemplo, como un modelo de movimiento planetario.

• Modelo de comportamiento racional para un consumidor. En este modelo asumimos que un consumidor se enfrenta a una elección n mercancía etiquetada 1.2,...n cada uno con un precio de mercado p₁, p₂,... p_n. Se supone que el consumidor tiene una función de utilidad ordinal U (obligatorio en el sentido de que sólo el signo de las diferencias entre dos utilidades, y no el nivel de cada utilidad, es significativo), dependiendo de las cantidades de productos básicos x₁, x₂,... x_n Consumido. El modelo supone además que el consumidor tiene un presupuesto M que se utiliza para comprar un vector x₁, x₂,... x_n de tal manera que U()x₁, x₂,... x_n). El problema del comportamiento racional en este modelo se convierte en un problema de optimización matemática, es decir:

maxU()x1,x2,...... ,xn){displaystyle max U(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}}

sujeto a:

.. i=1npixi≤ ≤ M.{displaystyle sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ M.}

xi≥ ≥ 0О О i▪ ▪ {}1,2,...... ,n}{displaystyle x_{i}gq 0;;;forall iin {1,2,ldotsn}

Este modelo se ha utilizado en una amplia variedad de contextos económicos, como en la teoría general del equilibrio para mostrar la existencia y la eficiencia de Pareto del equilibrio económico.

• Modelo de detección de vecinos es un modelo que explica la formación de hongos de la primera red fúngica caótica.
• En la ciencia informática, los modelos matemáticos pueden ser utilizados para simular las redes informáticas.
• En mecánica, los modelos matemáticos pueden utilizarse para analizar el movimiento de un modelo de cohete.