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Matemáticas del Antiguo Egipto
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Las matemáticas del Antiguo Egipto son las matemáticas que se desarrollaron y utilizaron en el Antiguo Egipto c. 3000 a c. 300 a. C., desde el Antiguo Reino de Egipto hasta aproximadamente el comienzo del Egipto helenístico. Los antiguos egipcios utilizaban un sistema numérico para contar y resolver problemas matemáticos escritos, que a menudo involucraban multiplicaciones y fracciones. La evidencia de las matemáticas egipcias se limita a una escasa cantidad de fuentes supervivientes escritas en papiro. De estos textos se sabe que los antiguos egipcios entendían conceptos de geometría, como determinar el área de superficie y el volumen de formas tridimensionales útiles para la ingeniería arquitectónica, y álgebra, como el método de la posición falsa y las ecuaciones cuadráticas.
Visión de conjunto
La evidencia escrita del uso de las matemáticas se remonta al menos al 3200 a. C. con las etiquetas de marfil encontradas en la Tumba Uj en Abydos. Estas etiquetas parecen haber sido utilizadas como etiquetas para bienes funerarios y algunas están inscritas con números. Se puede encontrar más evidencia del uso del sistema numérico de base 10 en Narmer Macehead, que representa ofrendas de 400.000 bueyes, 1.422.000 cabras y 120.000 prisioneros. La evidencia arqueológica ha sugerido que el sistema de conteo del Antiguo Egipto tuvo su origen en el África subsahariana. Además, los diseños de geometría fractal que están muy extendidos entre las culturas del África subsahariana también se encuentran en la arquitectura egipcia y en los signos cosmológicos.
La evidencia del uso de las matemáticas en el Reino Antiguo (c. 2690-2180 a. C.) es escasa, pero se puede deducir de las inscripciones en una pared cerca de una mastaba en Meidum que brinda pautas para la pendiente de la mastaba. Las líneas en el diagrama están espaciadas a una distancia de un codo y muestran el uso de esa unidad de medida.
Los documentos matemáticos verdaderos más antiguos datan de la Dinastía XII (c. 1990–1800 a. C.). El Papiro Matemático de Moscú, el Rollo de Cuero Matemático Egipcio, los Papiros Matemáticos de Lahun, que son parte de la colección mucho más grande de Papiros Kahun y el Papiro de Berlín 6619, todos datan de este período. Se dice que el papiro matemático Rhind, que data del segundo período intermedio (c. 1650 a. C.), se basa en un texto matemático más antiguo de la dinastía XII.
El papiro matemático de Moscú y el papiro matemático de Rhind son los llamados textos de problemas matemáticos. Consisten en una colección de problemas con soluciones. Estos textos pueden haber sido escritos por un profesor o un estudiante comprometido con la resolución de problemas matemáticos típicos.
Una característica interesante de las matemáticas del antiguo Egipto es el uso de fracciones unitarias. Los egipcios usaban una notación especial para fracciones como1/2,1/3y2/3y en algunos textos para3/4, pero otras fracciones se escribieron como fracciones unitarias de la forma1/norteo sumas de dichas fracciones unitarias. Los escribas usaban tablas para ayudarlos a trabajar con estas fracciones. El rollo de cuero matemático egipcio, por ejemplo, es una tabla de fracciones unitarias que se expresan como sumas de otras fracciones unitarias. El papiro matemático Rhind y algunos de los otros textos contienen2/nortemesas. Estas tablas permitieron a los escribas reescribir cualquier fracción de la forma1/nortecomo suma de fracciones unitarias.
Durante el Imperio Nuevo (c. 1550-1070 a. C.), los problemas matemáticos se mencionan en el Papiro Anastasi I literario, y el Papiro Wilbour de la época de Ramsés III registra mediciones de tierras. En el pueblo de trabajadores de Deir el-Medina se han encontrado varios ostraca que registran volúmenes récord de tierra removida durante la extracción de las tumbas.
Fuentes
La comprensión actual de las matemáticas del antiguo Egipto se ve obstaculizada por la escasez de fuentes disponibles. Las fuentes que existen incluyen los siguientes textos (que generalmente están fechados en el Reino Medio y el Segundo Período Intermedio):
- El papiro matemático de Moscú
- El rollo de cuero matemático egipcio
- Los papiros matemáticos de Lahun
- El papiro de Berlín 6619, escrito alrededor de 1800 a.
- La tablilla de madera Akhmim
- El papiro Reisner, que data de principios de la dinastía XII de Egipto y se encuentra en Nag el-Deir, la antigua ciudad de Thinis.
- El Papiro Matemático Rhind (RMP), que data del Segundo Período Intermedio (c. 1650 a. C.), pero su autor, Ahmes, lo identifica como una copia de un papiro del Reino Medio ahora perdido. El RMP es el texto matemático más grande.
Del Reino Nuevo hay un puñado de textos matemáticos e inscripciones relacionadas con los cálculos:
- El papiro Anastasi I, un texto literario escrito como una carta (ficticia) escrita por un escriba llamado Hori y dirigida a un escriba llamado Amenemope. Un segmento de la carta describe varios problemas matemáticos.
- Ostracon Senmut 153, un texto escrito en hierático
- Ostracon Turin 57170, un texto escrito en hierático
- Ostraca de Deir el-Medina contiene cálculos. Ostracon IFAO 1206, por ejemplo, muestra el cálculo de volúmenes, presumiblemente relacionado con la extracción de una tumba.
Números
Los textos del Antiguo Egipto se podían escribir en jeroglíficos o en hierático. En cualquiera de las dos representaciones, el sistema numérico siempre se dio en base 10. El número 1 se representó con un trazo simple, el número 2 con dos trazos, etc. Los números 10, 100, 1000, 10 000 y 100 000 tenían sus propios jeroglíficos. El número 10 es un cojeo para el ganado, el número 100 está representado por una cuerda enrollada, el número 1000 está representado por una flor de loto, el número 10,000 está representado por un dedo, el número 100,000 está representado por una rana y un millón estaba representado por un dios con las manos levantadas en adoración.
| 1 | 10 | 100 | 1000 | 10,000 | 100,000 | 1,000,000 |
|---|---|---|---|---|---|---|
 |  |  |  |  |  |  |
Estela de losa de la princesa del Reino Antiguo Neferetiabet (fechada entre 2590 y 2565 a. C.) de su tumba en Giza, pintura sobre piedra caliza, ahora en el Louvre
Los números egipcios se remontan al período predinástico. Las etiquetas de marfil de Abydos registran el uso de este sistema numérico. También es común ver los numerales en escenas de ofrendas para indicar la cantidad de artículos ofrecidos. La hija del rey Neferetiabet se muestra con una ofrenda de 1000 bueyes, pan, cerveza, etc.
El sistema numérico egipcio era aditivo. Los números grandes estaban representados por colecciones de glifos y el valor se obtenía simplemente sumando los números individuales.
Esta escena representa un recuento de ganado (copiado por el egiptólogo Lepsius). En el registro central vemos 835 bovinos con cuernos a la izquierda, justo detrás de ellos hay unos 220 animales (¿vacas?) ya la derecha 2235 cabras. En el registro inferior vemos 760 burros a la izquierda y 974 cabras a la derecha.
Los egipcios usaban casi exclusivamente fracciones de la forma1/norte. Una excepción notable es la fracción2/3, que se encuentra con frecuencia en los textos matemáticos. Muy rara vez se usaba un glifo especial para denotar3/4. La fracción1/2estaba representado por un glifo que podría haber representado una pieza de lino doblada en dos. La fracción2/3estaba representado por el glifo de una boca con 2 trazos (diferentes tamaños). El resto de las fracciones siempre se representaban con una boca superpuesta a un número.
| 1/2 | 1/3 | 2/3 | 1/4 | 1/5 |
|---|---|---|---|---|
 |   |  | | |
Multiplicación y división
La multiplicación egipcia se realizaba duplicando repetidamente el número a multiplicar (el multiplicando) y eligiendo cuál de las duplicaciones se sumaría (esencialmente una forma de aritmética binaria), un método que se relaciona con el Reino Antiguo. El multiplicando se escribió al lado de la figura 1; luego se sumaba el multiplicando a sí mismo y se escribía el resultado junto al número 2. El proceso continuaba hasta que las duplicaciones daban un número mayor que la mitad del multiplicador. Luego, los números duplicados (1, 2, etc.) se restarían repetidamente del multiplicador para seleccionar cuál de los resultados de los cálculos existentes se debe sumar para crear la respuesta.
Como atajo para números más grandes, el multiplicando también se puede multiplicar inmediatamente por 10, 100, 1000, 10000, etc.
Por ejemplo, el problema 69 sobre el papiro Rhind (RMP) proporciona la siguiente ilustración, como si se usaran símbolos jeroglíficos (en lugar de la escritura hierática real del RMP).
| Para multiplicar 80 × 14 | ||||
| Cálculo egipcio | Cálculo moderno | |||
| Resultado | Multiplicador | Resultado | Multiplicador | |
| | | 80 | 1 | |
| | |  | 800 | 10 |
| | | 160 | 2 | |
| | | | 320 | 4 |
| | 1120 | 14 |
El denota los resultados intermedios que se suman para producir la respuesta final.
La tabla anterior también se puede usar para dividir 1120 entre 80. Resolveríamos este problema encontrando el cociente (80) como la suma de los multiplicadores de 80 que suman 1120. En este ejemplo, daría un cociente de 10 + 4 = 14. El problema 66 proporciona un ejemplo más complicado del algoritmo de división. Un total de 3200 ro de grasa se distribuirán uniformemente durante 365 días.
| 1 | 365 | |
| 2 | 730 | |
| 4 | 1460 | |
| 8 | 2920 | |
| 2/3 | 243+1/3 | |
| 1/10 | 36+1/2 | |
| 1/2190 | 1/6 | |
Primero, el escriba duplicaría 365 repetidamente hasta alcanzar el mayor múltiplo posible de 365, que es menor que 3200. En este caso, 8 por 365 es 2920 y la suma adicional de múltiplos de 365 claramente daría un valor mayor que 3200. A continuación, es observó que2/3 + 1/10 + 1/2190multiplicado por 365 nos da el valor de 280 que necesitamos. Por lo tanto, encontramos que 3200 dividido por 365 debe ser igual a 8 + 2/3 + 1/10 + 1/2190.
Álgebra
Los problemas de álgebra egipcia aparecen tanto en el papiro matemático de Rhind como en el papiro matemático de Moscú, así como en varias otras fuentes.
   |
| Ajá |
|---|
| Era: Reino Nuevo (1550-1069 a. C.) |
| jeroglíficos egipcios |
Los problemas Aha involucran encontrar cantidades desconocidas (referidas como Aha) si se da la suma de la cantidad y parte(s) de ella. El papiro matemático Rhind también contiene cuatro de este tipo de problemas. Los problemas 1, 19 y 25 del Papiro de Moscú son problemas Ajá. Por ejemplo, el problema 19 le pide a uno que calcule una cantidad tomada 1+1/2veces y sumado a 4 para hacer 10. En otras palabras, en la notación matemática moderna se nos pide resolver la ecuación lineal:{displaystyle {frac {3}{2}}veces x+4=10. }
Resolver estos problemas de Aha involucra una técnica llamada método de posición falsa. La técnica también se llama el método de suposición falsa. El escriba sustituiría una conjetura inicial de la respuesta en el problema. La solución usando la suposición falsa sería proporcional a la respuesta real, y el escriba encontraría la respuesta usando esta proporción.
Los escritos matemáticos muestran que los escribas usaban (mínimos) múltiplos comunes para convertir problemas con fracciones en problemas con números enteros. En este sentido, los números auxiliares rojos se escriben al lado de las fracciones.
El uso de las fracciones del ojo de Horus muestra un conocimiento (rudimentario) de la progresión geométrica. El conocimiento de las progresiones aritméticas también es evidente a partir de las fuentes matemáticas.
Ecuaciones cuadráticas
Los antiguos egipcios fueron la primera civilización en desarrollar y resolver ecuaciones de segundo grado (cuadráticas). Esta información se encuentra en el fragmento del Papiro de Berlín. Además, los egipcios resuelven ecuaciones algebraicas de primer grado que se encuentran en Rhind Mathematical Papyrus.
Geometría
Imagen del Problema 14 del Papiro Matemático de Moscú. El problema incluye un diagrama que indica las dimensiones de la pirámide truncada.
Solo hay un número limitado de problemas del antiguo Egipto relacionados con la geometría. Los problemas geométricos aparecen tanto en el Papiro Matemático de Moscú (MMP) como en el Papiro Matemático de Rhind (RMP). Los ejemplos demuestran que los antiguos egipcios sabían cómo calcular áreas de varias formas geométricas y los volúmenes de cilindros y pirámides.
- Área:
- Triángulos: Los escribas registran problemas para calcular el área de un triángulo (RMP y MMP).
- Rectángulos: Los problemas relacionados con el área de un terreno rectangular aparecen en el RMP y el MMP. Un problema similar aparece en los papiros matemáticos de Lahun en Londres.
- Círculos: el problema 48 del RMP compara el área de un círculo (aproximado por un octágono) y su cuadrado que lo circunscribe. El resultado de este problema se usa en el problema 50, donde el escriba encuentra el área de un campo redondo de 9 khet de diámetro.
- Hemisferio: El problema 10 en el MMP encuentra el área de un hemisferio.
- Volúmenes:
- Graneros cilíndricos : varios problemas calculan el volumen de graneros cilíndricos (RMP 41–43), mientras que el problema 60 RMP parece referirse a un pilar o un cono en lugar de una pirámide. Es más bien pequeño y empinado, con un seked (recíproco de pendiente) de cuatro palmos (por codo). En la sección IV.3 de los Papiros matemáticos de Lahun se encuentra el volumen de un granero con base circular usando el mismo procedimiento que RMP 43.
- Graneros rectangulares: varios problemas en el papiro matemático de Moscú (problema 14) y en el papiro matemático de Rhind (números 44, 45, 46) calculan el volumen de un granero rectangular.
- Pirámide truncada (frustum): El volumen de una pirámide truncada se calcula en MMP 14.
El Seqed
El problema 56 del RMP indica una comprensión de la idea de similitud geométrica. Este problema analiza la relación run/rise, también conocida como seqed. Tal fórmula sería necesaria para construir pirámides. En el siguiente problema (Problema 57), la altura de una pirámide se calcula a partir de la longitud de la base y el seked (en egipcio, el recíproco de la pendiente), mientras que el problema 58 da la longitud de la base y la altura y usa estas medidas para calcular el seqed. En el problema 59, la parte 1 calcula la secuencia, mientras que la segunda parte puede ser un cálculo para verificar la respuesta: si construye una pirámide con un lado de la base de 12 [codos] y una secuencia de 5 palmas 1 dedo; ¿cuál es su altitud?