Logaritmo

En matemáticas, el logaritmo es la función inversa de la exponenciación. Eso significa que el logaritmo de un número dado  x es el exponente al que se debe elevar otro número fijo, la base  b , para producir ese número  x . En el caso más simple, el logaritmo cuenta el número de ocurrencias del mismo factor en multiplicaciones repetidas; por ejemplo, dado que 1000 = 10 × 10 × 10 = 10 , el 'logaritmo en base 10' de 1000 es 3, o log ₁₀  (1000) = 3 . El logaritmo de x en base  b se denota como log _b  ( x ) , o sin paréntesis,log _b  x , o incluso sin la base explícita, log  x , cuando no es posible la confusión, o cuando la base no importa, como en la notación O grande.

El logaritmo en base 10 (es decir, b = 10 ) se llama logaritmo decimal o común y se usa comúnmente en ciencia e ingeniería. El logaritmo natural tiene como base el número  e (es decir b ≈ 2.718 ); su uso está muy extendido en matemáticas y física, debido a su integral y derivada más simples. El logaritmo binario usa la base 2 (es decir, b = 2 ) y se usa con frecuencia en informática.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier en 1614 como un medio para simplificar los cálculos. Fueron adoptados rápidamente por navegantes, científicos, ingenieros, topógrafos y otros para realizar cálculos de alta precisión con mayor facilidad. Usando tablas de logaritmos, los tediosos pasos de multiplicación de varios dígitos pueden ser reemplazados por búsquedas en tablas y sumas más simples. Esto es posible debido al hecho, importante por derecho propio, de que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

siempre que b , x e y sean todos positivos y b ≠ 1 . La regla de cálculo, también basada en logaritmos, permite cálculos rápidos sin tablas, pero con menor precisión. La noción actual de logaritmos proviene de Leonhard Euler, quien los relacionó con la función exponencial en el siglo XVIII, y quien también introdujo la letra e como base de los logaritmos naturales.

Las escalas logarítmicas reducen cantidades de amplio alcance a alcances más pequeños. Por ejemplo, el decibelio (dB) es una unidad utilizada para expresar la relación como logaritmos, principalmente para la potencia y amplitud de la señal (de las cuales la presión del sonido es un ejemplo común). En química, el pH es una medida logarítmica de la acidez de una solución acuosa. Los logaritmos son comunes en las fórmulas científicas y en las medidas de la complejidad de los algoritmos y de los objetos geométricos llamados fractales. Ayudan a describir las proporciones de frecuencia de los intervalos musicales, aparecen en fórmulas que cuentan números primos o aproximan factoriales, informan algunos modelos en psicofísica y pueden ayudar en la contabilidad forense.

El concepto de logaritmo como el inverso de la exponenciación se extiende también a otras estructuras matemáticas. Sin embargo, en la configuración general, el logaritmo tiende a ser una función de varios valores. Por ejemplo, el logaritmo complejo es el inverso multivaluado de la función exponencial compleja. De manera similar, el logaritmo discreto es el inverso multivaluado de la función exponencial en grupos finitos; tiene usos en la criptografía de clave pública.

Motivación

La suma, la multiplicación y la exponenciación son tres de las operaciones aritméticas más fundamentales. El inverso de la suma es la resta, y el inverso de la multiplicación es la división. De manera similar, un logaritmo es la operación inversa de la exponenciación. La exponenciación es cuando un número b , la base se eleva a una cierta potencia y , el exponente para dar un valor x ; esto denota

Por ejemplo, elevar 2 a la potencia de 3 da 8 :{\ estilo de visualización 2 ^ {3} = 8}

El logaritmo de base b es la operación inversa, que proporciona la salida y de la entrada x . Es decir, es equivalente a{\ estilo de visualización x = b ^ {y}}si b es un número real positivo. (Si b no es un número real positivo, tanto la exponenciación como el logaritmo se pueden definir, pero pueden tomar varios valores, lo que hace que las definiciones sean mucho más complicadas).

Una de las principales motivaciones históricas de la introducción de los logaritmos es la fórmula

lo que permitió (antes de la invención de las computadoras) reducir el cálculo de multiplicaciones y divisiones a sumas, restas y tablas de logaritmos.

Definición

El logaritmo de un número real positivo x con respecto a la base  b es el exponente por el cual b debe elevarse para dar x . En otras palabras, el logaritmo de x en base  b es el único número real  y tal que{\ estilo de visualización b ^ {y} = x}.

El logaritmo se denota " log _b  x " (pronunciado como "el logaritmo de x en base  b ", "el logaritmo en base b de x " , o más comúnmente "el logaritmo en base  b , de x ").

Una definición equivalente y más sucinta es que la función log _b es la función inversa de la función .

Ejemplos

• log ₂  16 = 4 , ya que 2 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 .
• Los logaritmos también pueden ser negativos:{\estilo de texto \log _{2}\!{\frac {1}{2}}=-1}ya que{\textstyle 2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}.}
• log ₁₀  150 es aproximadamente 2,176, que se encuentra entre 2 y 3, al igual que 150 se encuentra entre 10 = 100 y 10 = 1000 .
• Para cualquier base  b , log _b  b = 1 y log _b  1 = 0 , ya que b = b y b = 1 , respectivamente.

Identidades logarítmicas

Varias fórmulas importantes, a veces llamadas identidades logarítmicas o leyes logarítmicas , relacionan logaritmos entre sí.

Producto, cociente, potencia y raíz.

El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los números que se multiplican; el logaritmo de la razón de dos números es la diferencia de los logaritmos. El logaritmo de la p -ésima potencia de un número es p  veces el logaritmo del propio número; el logaritmo de una raíz p -ésima es el logaritmo del número dividido por p . La siguiente tabla enumera estas identidades con ejemplos. Cada una de las identidades se puede derivar después de la sustitución de las definiciones de logaritmo o en los lados izquierdos.

	Fórmula	Ejemplo
Producto	{\estilo de texto \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y}	{\textstyle \log _{3}243=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}9+\log _{3}27=2+3=5}
Cociente	{\estilo de texto \log _{b}\!{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y}	{\textstyle \log _{2}16=\log _{2}\!{\frac {64}{4}}=\log _{2}64-\log _{2}4=6-2= 4}
Energía	{\estilo de texto \log _{b}\left(x^{p}\right)=p\log _{b}x}	{\estilo de texto \log _{2}64=\log _{2}\left(2^{6}\right)=6\log _{2}2=6}
Raíz	{\estilo de texto \log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}x}{p}}}	{\textstyle \log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1,5}

Cambio de base

El logaritmo log _b  x se puede calcular a partir de los logaritmos de x y b con respecto a una base arbitraria  k usando la siguiente fórmula:

Las calculadoras científicas típicas calculan los logaritmos en bases 10 y e . Los logaritmos con respecto a cualquier base  b se pueden determinar utilizando cualquiera de estos dos logaritmos mediante la fórmula anterior:

Dado un número x y su logaritmo y = log _b  x en una base  b desconocida , la base viene dada por:

que se puede ver tomando la ecuación definitoria al poder de

bases particulares

Entre todas las opciones para la base, tres son particularmente comunes. Estos son b = 10 , b = e (la constante matemática irracional ≈ 2.71828) y b = 2 (el logaritmo binario). En el análisis matemático, el logaritmo base e está muy extendido debido a las propiedades analíticas que se explican a continuación. Por otro lado, los logaritmos en base 10 son fáciles de usar para cálculos manuales en el sistema numérico decimal:

Así, log ₁₀  ( x ) está relacionado con el número de dígitos decimales de un entero positivo x : el número de dígitos es el entero más pequeño estrictamente mayor que log ₁₀  ( x ) . Por ejemplo, log ₁₀ (1430) es aproximadamente 3,15. El siguiente entero es 4, que es el número de dígitos de 1430. Tanto el logaritmo natural como el logaritmo en base dos se utilizan en teoría de la información, correspondiendo al uso de nats o bits como unidades fundamentales de información, respectivamente.Los logaritmos binarios también se utilizan en informática, donde el sistema binario es omnipresente; en la teoría de la música, donde una proporción de altura de dos (la octava) es ubicua y el número de centésimas entre dos alturas es el logaritmo binario, multiplicado por 1200, de su proporción (es decir, 100 centésimas por semitono de igual temperamento); y en fotografía para medir valores de exposición, niveles de luz, tiempos de exposición, aperturas y velocidades de película en "stops".

La siguiente tabla enumera las notaciones comunes para los logaritmos en estas bases y los campos donde se utilizan. Muchas disciplinas escriben log  x en lugar de log _b  x , cuando la base deseada se puede determinar a partir del contexto. También se produce la notación log  x . La columna "Notación ISO" enumera las designaciones sugeridas por la Organización Internacional de Normalización (ISO 80000-2). Debido a que la notación log x se ha utilizado para las tres bases (o cuando la base es indeterminada o inmaterial), la base prevista a menudo debe inferirse en función del contexto o la disciplina. En informática, log generalmente se refiere a log₂ , y en matemáticas log generalmente se refiere a log _e . En otros contextos, log a menudo significa log ₁₀ .

Historia

La historia de los logaritmos en la Europa del siglo XVII es el descubrimiento de una nueva función que extendió el ámbito del análisis más allá del alcance de los métodos algebraicos. El método de los logaritmos fue propuesto públicamente por John Napier en 1614, en un libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos ). Antes de la invención de Napier, había otras técnicas de alcance similar, como la prostaféresis o el uso de tablas de progresiones, ampliamente desarrolladas por Jost Bürgi alrededor de 1600. Napier acuñó el término para logaritmo en latín medio, "logarithmus", derivado de el griego, que literalmente significa "número de proporción", de logos "proporción, razón, palabra" +aritmos “número”.

El logaritmo común de un número es el índice de esa potencia de diez que es igual al número. Hablar de un número que requiere tantas cifras es una alusión aproximada al logaritmo común, y Arquímedes se refirió a él como el "orden de un número". Los primeros logaritmos reales fueron métodos heurísticos para convertir la multiplicación en suma, facilitando así el cálculo rápido. Algunos de estos métodos usaban tablas derivadas de identidades trigonométricas. Estos métodos se denominan prostaféresis.

La invención de la función ahora conocida como logaritmo natural comenzó como un intento de realizar una cuadratura de una hipérbola rectangular por parte de Grégoire de Saint-Vincent, un jesuita belga residente en Praga. Arquímedes había escrito La cuadratura de la parábolaen el siglo III aC, pero una cuadratura para la hipérbola eludió todos los esfuerzos hasta que Saint-Vincent publicó sus resultados en 1647. La relación que el logaritmo proporciona entre una progresión geométrica en su argumento y una progresión aritmética de valores, llevó a AA de Sarasa a hacer la conexión de la cuadratura de Saint-Vincent y la tradición de los logaritmos en la prostaféresis, dando lugar al término “logaritmo hiperbólico”, sinónimo de logaritmo natural. Pronto la nueva función fue apreciada por Christiaan Huygens y James Gregory. La notación Log y fue adoptada por Leibniz en 1675, y al año siguiente la conectó a la integral{\estilo de texto \int {\frac {dy}{y}}.}

Antes de que Euler desarrollara su concepción moderna de los logaritmos naturales complejos, Roger Cotes obtuvo un resultado casi equivalente cuando demostró en 1714 que .

Tablas de logaritmos, reglas de cálculo y aplicaciones históricas

Al simplificar los cálculos difíciles antes de que estuvieran disponibles las calculadoras y las computadoras, los logaritmos contribuyeron al avance de la ciencia, especialmente de la astronomía. Fueron fundamentales para los avances en topografía, navegación celeste y otros dominios. Pierre-Simon Laplace llamó a los logaritmos"... [un] artificio admirable que, al reducir a unos pocos días el trabajo de muchos meses, duplica la vida del astrónomo y le ahorra los errores y disgustos inseparables de los largos cálculos".

Como la función f ( x ) = b es la función inversa de log _b  x , se le ha llamado antilogaritmo . Hoy en día, esta función es más comúnmente llamada función exponencial.

Tablas de registro

Una herramienta clave que permitió el uso práctico de los logaritmos fue la tabla de logaritmos . La primera tabla de este tipo fue compilada por Henry Briggs en 1617, inmediatamente después de la invención de Napier pero con la innovación de usar 10 como base. La primera tabla de Briggs contenía los logaritmos comunes de todos los números enteros en el rango de 1 a 1000, con una precisión de 14 dígitos. Posteriormente, se escribieron tablas con alcance creciente. Estas tablas enumeran los valores de log ₁₀  x para cualquier número  x en un cierto rango, con cierta precisión. Los logaritmos en base 10 se usaron universalmente para el cálculo, de ahí el nombre de logaritmo común, ya que los números que difieren en factores de 10 tienen logaritmos que difieren en números enteros. El logaritmo común dex se puede separar en una parte entera y una parte fraccionaria, conocidas como característica y mantisa. Las tablas de logaritmos solo necesitan incluir la mantisa, ya que la característica se puede determinar fácilmente contando dígitos desde el punto decimal. La característica de 10 · x es uno más la característica de x , y sus mantisas son las mismas. Por lo tanto, usando una tabla logarítmica de tres dígitos, el logaritmo de 3542 se aproxima por

Se puede obtener una mayor precisión mediante la interpolación:

El valor de 10 se puede determinar mediante búsqueda inversa en la misma tabla, ya que el logaritmo es una función monótona.

Cálculos

El producto y el cociente de dos números positivos c y d se calculaban habitualmente como la suma y la diferencia de sus logaritmos. El producto  cd o cociente  c / d salió de buscar el antilogaritmo de la suma o diferencia, a través de la misma tabla:

y

Para los cálculos manuales que exigen una precisión apreciable, realizar las búsquedas de los dos logaritmos, calcular su suma o diferencia y buscar el antilogaritmo es mucho más rápido que realizar la multiplicación con métodos anteriores como la prostaféresis, que se basa en identidades trigonométricas.

Los cálculos de potencias y raíces se reducen a multiplicaciones o divisiones y búsquedas por

y

Los cálculos trigonométricos fueron facilitados por tablas que contenían los logaritmos comunes de las funciones trigonométricas.

Reglas de cálculo

Otra aplicación crítica fue la regla de cálculo, un par de escalas divididas logarítmicamente que se utilizan para el cálculo. La escala logarítmica no deslizante, la regla de Gunter, se inventó poco después de la invención de Napier. William Oughtred lo mejoró para crear la regla de cálculo: un par de escalas logarítmicas móviles entre sí. Los números se colocan en escalas móviles a distancias proporcionales a las diferencias entre sus logaritmos. Deslizar la escala superior apropiadamente equivale a sumar logaritmos mecánicamente, como se ilustra aquí:

Representación esquemática de una regla de cálculo. Comenzando desde 2 en la escala inferior, agregue la distancia a 3 en la escala superior para llegar al producto 6. La regla de cálculo funciona porque está marcada de tal manera que la distancia de 1 a 

x es proporcional al logaritmo de 

x .

Por ejemplo, sumando la distancia de 1 a 2 en la escala inferior a la distancia de 1 a 3 en la escala superior se obtiene un producto de 6, que se lee en la parte inferior. La regla de cálculo fue una herramienta de cálculo esencial para ingenieros y científicos hasta la década de 1970, porque permite, a expensas de la precisión, un cálculo mucho más rápido que las técnicas basadas en tablas.

Propiedades analíticas

Un estudio más profundo de los logaritmos requiere el concepto de función . Una función es una regla que, dado un número, produce otro número. Un ejemplo es la función que produce la x -ésima potencia de b a partir de cualquier número real  x , donde la base  b es un número fijo. Esta función se escribe como f ( x ) = b . Cuando b es positivo y diferente de 1, mostramos a continuación que f es invertible cuando se considera como una función de reales a reales positivos.

Existencia

Sea b un número real positivo distinto de 1 y sea f ( x ) = b .

Es un resultado estándar en el análisis real que cualquier función continua estrictamente monótona es biyectiva entre su dominio y rango. Este hecho se sigue del teorema del valor intermedio. Ahora, f es estrictamente creciente (para b > 1 ), o estrictamente decreciente (para 0 < b < 1 ), es continua, tiene dominio{\ estilo de visualización \ mathbb {R}}, y tiene rango{\ estilo de visualización \ mathbb {R} _ {> 0}} 0}}">. Por lo tanto, f es una biyección de{\ estilo de visualización \ mathbb {R}}a{\ estilo de visualización \ mathbb {R} _ {> 0}} 0}}">. En otras palabras, para cada número real positivo y , existe exactamente un número real x tal que{\ estilo de visualización b ^ {x} = y}.

Dejamos 0}\to \mathbb {R} }">denote el inverso de f . Es decir, log _by  es el único número real x tal que{\ estilo de visualización b ^ {x} = y}. Esta función se llama función logarítmica en base b o función logarítmica (o simplemente logaritmo ).

Caracterización por la fórmula del producto

La función log _b  x también se puede caracterizar esencialmente por la fórmula del producto

Más precisamente, el logaritmo en cualquier base b > 1 es la única función creciente f de los reales positivos a los reales que satisfacen f ( b ) = 1 y{\ estilo de visualización f (xy) = f (x) + f (y).}

Gráfica de la función logaritmo

Como se discutió anteriormente, la función log _b es la inversa de la función exponencial . Por lo tanto, sus gráficos se corresponden entre sí al intercambiar las coordenadas x e y (o al reflexionar sobre la línea diagonal x = y ), como se muestra a la derecha: un punto ( t , u = b ) en el gráfico de f produce un punto ( u , t = log _b  u ) en la gráfica del logaritmo y viceversa. Como consecuencia, log _b  ( x ) diverge hasta el infinito (se vuelve más grande que cualquier número dado) si xcrece hasta el infinito, siempre que b sea ​​mayor que uno. En ese caso, log _b ( x ) es una función creciente. Para b < 1 , log _b  ( x ) tiende a menos infinito en su lugar. Cuando x tiende a cero, log _b  x tiende a menos infinito para b > 1 (más infinito para b < 1 , respectivamente).

Derivada y antiderivada

Las propiedades analíticas de las funciones pasan a sus inversas. Así, como f ( x ) = b es una función continua y diferenciable, también lo es log _b  y . Aproximadamente, una función continua es diferenciable si su gráfico no tiene "esquinas" afiladas. Además, como la derivada de f ( x ) se evalúa como ln( b ) b por las propiedades de la función exponencial, la regla de la cadena implica que la derivada de log _b  x está dada por

Es decir, la pendiente de la tangente que toca la gráfica del logaritmo en base b en el punto ( x , log b ₍  x ) ) es igual a 1/( x  ln( b )) .

La derivada de ln( x ) es 1/ x ; esto implica que ln( x ) es la única antiderivada de 1/ x que vale 0 para x = 1 . Es esta fórmula muy simple la que motivó a calificar como "natural" al logaritmo natural; esta es también una de las principales razones de la importancia de la constante  e .

La derivada con un argumento funcional generalizado f ( x ) es

El cociente en el lado derecho se llama la derivada logarítmica de f . Calcular f' ( x ) mediante la derivada de ln( f ( x )) se conoce como diferenciación logarítmica. La antiderivada del logaritmo natural ln( x ) es:{\ estilo de visualización \ int \ ln (x) \, dx = x \ ln (x) -x + C.}

Las fórmulas relacionadas, como las antiderivadas de logaritmos a otras bases, se pueden derivar de esta ecuación usando el cambio de bases.

Representación integral del logaritmo natural

El logaritmo natural de t se puede definir como la integral definida:

Esta definición tiene la ventaja de que no se basa en la función exponencial ni en ninguna función trigonométrica; la definición es en términos de una integral de un recíproco simple. Como integral, ln( t ) es igual al área entre el eje x y la gráfica de la función 1/ x , que va desde x = 1 hasta x = t . Esto es consecuencia del teorema fundamental del cálculo y del hecho de que la derivada de ln( x ) es 1/ x . Las fórmulas de logaritmos de productos y potencias se pueden derivar de esta definición. Por ejemplo, la fórmula del producto.ln( tu ) = ln( t ) + ln( u ) se deduce como:

La igualdad (1) parte la integral en dos partes, mientras que la igualdad (2) es un cambio de variable ( w = x / t ). En la siguiente ilustración, la división corresponde a dividir el área en las partes amarilla y azul. Cambiar la escala del área azul de la izquierda verticalmente por el factor  t y reducirla por el mismo factor horizontalmente no cambia su tamaño. Moviéndola apropiadamente, el área se ajusta nuevamente a la gráfica de la función f ( x ) = 1/ x . Por lo tanto, el área azul de la izquierda, que es la integral de f ( x ) de t a tues lo mismo que la integral de 1 a u . Esto justifica la igualdad (2) con una demostración más geométrica.

Una prueba visual de la fórmula del producto del logaritmo natural.

La fórmula de potencia ln( t ) = r ln( t ) se puede derivar de manera similar:

La segunda igualdad utiliza un cambio de variables (integración por sustitución), w = x .

La suma de los recíprocos de los números naturales,

se llama serie armónica. Está estrechamente relacionado con el logaritmo natural: como n tiende a infinito, la diferencia,

converge (es decir, se acerca arbitrariamente) a un número conocido como la constante de Euler-Mascheroni γ = 0,5772... . Esta relación ayuda a analizar el rendimiento de algoritmos como Quicksort.

Trascendencia del logaritmo

Los números reales que no son algebraicos se llaman trascendentales; por ejemplo, π y e son tales números, pero no es. Casi todos los números reales son trascendentales. El logaritmo es un ejemplo de una función trascendental. El teorema de Gelfond-Schneider afirma que los logaritmos suelen tomar valores trascendentales, es decir, valores "difíciles".

Cálculo

Los logaritmos son fáciles de calcular en algunos casos, como log ₁₀  (1000) = 3 . En general, los logaritmos se pueden calcular utilizando series de potencias o la media aritmético-geométrica, o se pueden recuperar de una tabla de logaritmos precalculados que proporciona una precisión fija. El método de Newton, un método iterativo para resolver ecuaciones de forma aproximada, también se puede usar para calcular el logaritmo, porque su función inversa, la función exponencial, se puede calcular de manera eficiente. Usando tablas de búsqueda, se pueden usar métodos similares a CORDIC para calcular logaritmos usando solo las operaciones de suma y desplazamiento de bits. Además, el algoritmo de logaritmo binario calcula lb( x ) de forma recursiva, basándose en elevaciones repetidas al cuadrado de x, aprovechando la relación

Serie de potencia

Serie Taylor

Para cualquier número real z que satisfaga 0 < z ≤ 2 , se cumple la siguiente fórmula:

Esta es una forma abreviada de decir que ln( z ) se puede aproximar a un valor cada vez más preciso mediante las siguientes expresiones:

Por ejemplo, con z = 1,5 , la tercera aproximación arroja 0,4167, que es aproximadamente 0,011 mayor que ln(1,5) = 0,405465 . Esta serie se aproxima a ln( z ) con precisión arbitraria, siempre que el número de sumandos sea lo suficientemente grande. En cálculo elemental, ln( z ) es por tanto el límite de esta serie. Es la serie de Taylor del logaritmo natural en z = 1 . La serie de Taylor de ln( z ) proporciona una aproximación particularmente útil a ln(1 + z ) cuando z es pequeño, | z | < 1, desde entonces

Por ejemplo, con z = 0,1 , la aproximación de primer orden da ln(1,1) ≈ 0,1 , que es menos del 5 % del valor correcto 0,0953.Serie más eficiente

Otra serie se basa en la función tangente hiperbólica del área:

para cualquier número real z > 0 . Usando la notación sigma, esto también se escribe como

Esta serie se puede derivar de la serie de Taylor anterior. Converge más rápidamente que la serie de Taylor, especialmente si z está cerca de 1. Por ejemplo, para z = 1,5 , los tres primeros términos de la segunda serie se aproximan a ln(1,5) con un error de aproximadamente3 × 10 . La convergencia rápida para z cercano a 1 se puede aprovechar de la siguiente manera: dada una aproximación de baja precisión y ≈ ln( z ) y poniendo

el logaritmo de z es:{\ estilo de visualización \ ln (z) = y + \ ln (A).}

Cuanto mejor sea la aproximación inicial y , más cerca estará A de 1, por lo que su logaritmo se puede calcular de manera eficiente. A se puede calcular utilizando la serie exponencial, que converge rápidamente siempre que y no sea demasiado grande. Calcular el logaritmo de z más grande se puede reducir a valores más pequeños de z escribiendo z = a · 10 , de modo que ln( z ) = ln( a ) + b · ln(10) .

Se puede usar un método estrechamente relacionado para calcular el logaritmo de números enteros. Poniendo{\ estilo de visualización \ estilo de texto z = {\ frac {n + 1} {n}}}en la serie anterior, se sigue que:

Si se conoce el logaritmo de un entero grande  n , entonces esta serie produce una serie de convergencia rápida para log( n +1) , con una tasa de convergencia de{\estilo de texto \left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2}}.

Aproximación media aritmética-geométrica

La media aritmético-geométrica produce aproximaciones de alta precisión del logaritmo natural. Sasaki y Kanada demostraron en 1982 que era particularmente rápido para precisiones entre 400 y 1000 decimales, mientras que los métodos de la serie de Taylor eran típicamente más rápidos cuando se necesitaba menos precisión. En su trabajo, ln( x ) se aproxima a una precisión de 2 (o p  bits precisos) mediante la siguiente fórmula (debida a Carl Friedrich Gauss):

Aquí M( x , y ) denota la media aritmético-geométrica de x e y . Se obtiene calculando repetidamente la media ( x + y )/2 (media aritmética) y{\estilo de texto {\sqrt {xy}}}(media geométrica) de x e y , luego deje que esos dos números se conviertan en los próximos x e y . Los dos números convergen rápidamente a un límite común que es el valor de M( x , y ) . m se elige tal que 2^{p/2}.\,">

para asegurar la precisión requerida. Una m más grande hace que el cálculo de M( x , y ) tome más pasos (la xey inicial están más separadas por lo que toma más pasos para converger) pero da más precisión. Las constantes π y ln(2) se pueden calcular con series rápidamente convergentes.

Algoritmo de Feynman

Mientras trabajaba en el Laboratorio Nacional de Los Alamos en el Proyecto Manhattan, Richard Feynman desarrolló un algoritmo de procesamiento de bits para calcular el logaritmo, que es similar a la división larga y luego se usó en Connection Machine. El algoritmo utiliza el hecho de que todo número real 1 < x < 2 es representable como un producto de distintos factores de la forma 1 + 2 . El algoritmo construye secuencialmente ese producto  P , comenzando con P = 1 y k = 1 : si P · (1 + 2 ) < x , entonces cambia P a P · (1 + 2 ) . entonces aumenta{\ estilo de visualización k}por uno independientemente. El algoritmo se detiene cuando k es lo suficientemente grande para dar la precisión deseada. Dado que log( x ) es la suma de los términos de la forma log(1 + 2 ) correspondientes a aquellos k para los cuales se incluyó el factor 1 + 2 en el producto  P , log( x ) puede calcularse por simple suma, usando una tabla de log(1 + 2 ) para todos los k . Se puede usar cualquier base para la tabla de logaritmos.

Aplicaciones

Los logaritmos tienen muchas aplicaciones dentro y fuera de las matemáticas. Algunas de estas ocurrencias están relacionadas con la noción de invariancia de escala. Por ejemplo, cada cámara del caparazón de un nautilus es una copia aproximada de la siguiente, escalada por un factor constante. Esto da lugar a una espiral logarítmica. La ley de Benford sobre la distribución de los primeros dígitos también puede explicarse por la invariancia de escala. Los logaritmos también están vinculados a la autosimilitud. Por ejemplo, los logaritmos aparecen en el análisis de algoritmos que resuelven un problema dividiéndolo en dos problemas similares más pequeños y parcheando sus soluciones.Las dimensiones de las formas geométricas autosimilares, es decir, las formas cuyas partes se asemejan a la imagen general, también se basan en logaritmos. Las escalas logarítmicas son útiles para cuantificar el cambio relativo de un valor en oposición a su diferencia absoluta. Además, debido a que la función logarítmica log( x ) crece muy lentamente para x grande , las escalas logarítmicas se utilizan para comprimir datos científicos a gran escala. Los logaritmos también aparecen en numerosas fórmulas científicas, como la ecuación del cohete de Tsiolkovsky, la ecuación de Fenske o la ecuación de Nernst.

Escala logarítmica

Las cantidades científicas a menudo se expresan como logaritmos de otras cantidades, utilizando una escala logarítmica . Por ejemplo, el decibelio es una unidad de medida asociada con cantidades de escala logarítmica. Se basa en el logaritmo común de relaciones: 10 veces el logaritmo común de una relación de potencia o 20 veces el logaritmo común de una relación de voltaje. Se utiliza para cuantificar la pérdida de niveles de voltaje en la transmisión de señales eléctricas, para describir los niveles de potencia de los sonidos en acústica y la absorbancia de la luz en los campos de la espectrometría y la óptica. La relación señal/ruido que describe la cantidad de ruido no deseado en relación con una señal (significativa) también se mide en decibelios.De manera similar, la relación pico de señal a ruido se usa comúnmente para evaluar la calidad de los métodos de compresión de sonido e imagen usando el logaritmo.

La fuerza de un terremoto se mide tomando el logaritmo común de la energía emitida en el terremoto. Esto se usa en la escala de magnitud de momento o la escala de magnitud de Richter. Por ejemplo, un terremoto de 5.0 libera 32 veces (10 ) y un 6.0 libera 1000 veces (10 ) la energía de un 4.0. La magnitud aparente mide el brillo de las estrellas de forma logarítmica. En química el negativo del logaritmo decimal, el decimalcologaritmo , se indica con la letra p. Por ejemplo, el pH es el cologaritmo decimal de la actividad de los iones de hidronio (la forma de iones de hidrógenoH
tomar agua). La actividad de los iones hidronio en agua neutra es de 10  mol·L, por lo tanto, un pH de 7. El vinagre tiene típicamente un pH de alrededor de 3. La diferencia de 4 corresponde a una proporción de 10 de la actividad, es decir, la actividad del ion hidronio del vinagre. es de unos 10 mol·L .

Los gráficos semilogarítmicos (logarítmicos lineales) utilizan el concepto de escala logarítmica para la visualización: un eje, normalmente el vertical, se escala logarítmicamente. Por ejemplo, el gráfico de la derecha comprime el fuerte aumento de 1 millón a 1 billón en el mismo espacio (en el eje vertical) que el aumento de 1 a 1 millón. En tales gráficos, las funciones exponenciales de la forma f ( x ) = a · baparecen como líneas rectas con pendiente igual al logaritmo de b . Los gráficos log-log escalan ambos ejes logarítmicamente, lo que genera funciones de la forma f ( x ) = a · xpara representarse como líneas rectas con pendiente igual al exponente  k . Esto se aplica en la visualización y el análisis de las leyes de potencia.

Psicología

Los logaritmos ocurren en varias leyes que describen la percepción humana: la ley de Hick propone una relación logarítmica entre el tiempo que los individuos tardan en elegir una alternativa y el número de opciones que tienen. La ley de Fitts predice que el tiempo requerido para moverse rápidamente a un área objetivo es una función logarítmica de la distancia y el tamaño del objetivo. En psicofísica, la ley de Weber-Fechner propone una relación logarítmica entre el estímulo y la sensación, como el peso real frente al peso percibido de un artículo que lleva una persona. (Esta "ley", sin embargo, es menos realista que los modelos más recientes, como la ley de potencia de Stevens ) .

Los estudios psicológicos encontraron que las personas con poca educación matemática tienden a estimar cantidades logarítmicamente, es decir, colocan un número en una línea sin marcar de acuerdo con su logaritmo, de modo que 10 se coloca tan cerca de 100 como 100 lo es de 1000. El aumento de la educación cambia este a una estimación lineal (colocando 1000 10 veces más lejos) en algunas circunstancias, mientras que los logaritmos se usan cuando los números que se van a representar son difíciles de trazar linealmente.

Teoría de la probabilidad y estadística

Los logaritmos surgen en la teoría de la probabilidad: la ley de los grandes números dicta que, para una moneda justa, a medida que el número de lanzamientos de moneda aumenta hasta el infinito, la proporción observada de caras se aproxima a la mitad. Las fluctuaciones de esta proporción alrededor de la mitad están descritas por la ley del logaritmo iterado.

Los logaritmos también ocurren en distribuciones logarítmicas normales. Cuando el logaritmo de una variable aleatoria tiene una distribución normal, se dice que la variable tiene una distribución logarítmica normal. Las distribuciones logarítmicas normales se encuentran en muchos campos, siempre que una variable se forme como el producto de muchas variables aleatorias positivas independientes, por ejemplo, en el estudio de la turbulencia.

Los logaritmos se utilizan para la estimación de máxima verosimilitud de modelos estadísticos paramétricos. Para tal modelo, la función de verosimilitud depende de al menos un parámetro que debe estimarse. Un máximo de la función de verosimilitud ocurre en el mismo valor de parámetro que un máximo del logaritmo de la verosimilitud (el " logaritmo de verosimilitud "), porque el logaritmo es una función creciente. La probabilidad logarítmica es más fácil de maximizar, especialmente para las probabilidades multiplicadas de variables aleatorias independientes.

La ley de Benford describe la aparición de dígitos en muchos conjuntos de datos, como las alturas de los edificios. De acuerdo con la ley de Benford, la probabilidad de que el primer dígito decimal de un elemento en la muestra de datos sea d (de 1 a 9) es igual a log ₁₀  ( d + 1) − log ₁₀  ( d ) , independientemente de la unidad de medida. Por lo tanto, se puede esperar que aproximadamente el 30 % de los datos tengan 1 como primer dígito, el 18 % comience con 2, etc. Los auditores examinan las desviaciones de la ley de Benford para detectar contabilidad fraudulenta.

Complejidad computacional

El análisis de algoritmos es una rama de la informática que estudia el rendimiento de los algoritmos (programas informáticos que resuelven un determinado problema). Los logaritmos son valiosos para describir algoritmos que dividen un problema en otros más pequeños y unen las soluciones de los subproblemas.

Por ejemplo, para encontrar un número en una lista ordenada, el algoritmo de búsqueda binaria verifica la entrada del medio y continúa con la mitad anterior o posterior a la entrada del medio si aún no se encuentra el número. Este algoritmo requiere, en promedio, comparaciones log ₂  ( N ) , donde N es la longitud de la lista. De manera similar, el algoritmo de ordenación por combinación ordena una lista sin ordenar dividiendo la lista en dos mitades y ordenándolas primero antes de combinar los resultados. Los algoritmos de ordenación por combinación normalmente requieren un tiempo aproximadamente proporcional a N · log( N ) .La base del logaritmo no se especifica aquí, porque el resultado solo cambia por un factor constante cuando se usa otra base. Un factor constante generalmente se ignora en el análisis de algoritmos bajo el modelo de costo uniforme estándar.

Se dice que una función  f ( x ) crece logarítmicamente si f ( x ) es (exacta o aproximadamente) proporcional al logaritmo de x . (Sin embargo, las descripciones biológicas del crecimiento de los organismos usan este término para una función exponencial ). Por ejemplo, cualquier número natural  N puede representarse en forma binaria en no más de log ₂  N + 1  bits. En otras palabras, la cantidad de memoria necesaria para almacenar N crece logarítmicamente con N.

Entropía y caos

La entropía es, en términos generales, una medida del desorden de algún sistema. En termodinámica estadística, la entropía  S de algún sistema físico se define como

La suma es sobre todos los estados posibles  i del sistema en cuestión, como las posiciones de las partículas de gas en un recipiente. Además, p _i es la probabilidad de que se alcance el estado  i y k es la constante de Boltzmann. De manera similar, la entropía en la teoría de la información mide la cantidad de información. Si el destinatario de un mensaje puede esperar cualquiera de N mensajes posibles con la misma probabilidad, entonces la cantidad de información transmitida por cualquiera de esos mensajes se cuantifica como log ₂  N bits.

Los exponentes de Lyapunov usan logaritmos para medir el grado de caoticidad de un sistema dinámico. Por ejemplo, para una partícula que se mueve sobre una mesa de billar ovalada, incluso pequeños cambios en las condiciones iniciales dan como resultado trayectorias muy diferentes de la partícula. Dichos sistemas son caóticos de manera determinista, porque los pequeños errores de medición del estado inicial conducen de manera predecible a estados finales muy diferentes. Al menos un exponente de Lyapunov de un sistema caótico determinista es positivo.

Fractales

Los logaritmos ocurren en las definiciones de la dimensión de los fractales. Los fractales son objetos geométricos que son autosimilares en el sentido de que las partes pequeñas reproducen, al menos aproximadamente, la estructura global completa. El triángulo de Sierpinski (en la imagen) se puede cubrir con tres copias de sí mismo, cada uno con lados de la mitad de la longitud original. Esto hace que la dimensión de Hausdorff de esta estructura ln(3)/ln(2) ≈ 1.58 . Otra noción de dimensión basada en logaritmos se obtiene contando el número de casillas necesarias para cubrir el fractal en cuestión.

Música

Los logaritmos están relacionados con los tonos musicales y los intervalos. En el temperamento igual, la relación de frecuencia depende solo del intervalo entre dos tonos, no de la frecuencia o tono específico de los tonos individuales. Por ejemplo, la nota  A tiene una frecuencia de 440 Hz y B-bemol tiene una frecuencia de 466 Hz. El intervalo entre A y B-bemol es un semitono, como lo es entre B-bemol y B (frecuencia 493 Hz). En consecuencia, las relaciones de frecuencia concuerdan:

Por lo tanto, se pueden usar logaritmos para describir los intervalos: un intervalo se mide en semitonos tomando el logaritmo en base 2 de la relación de frecuencia, mientras que el logaritmo en base 2 de la relación de frecuencia expresa el intervalo en centésimas, centésimas de semitono. Este último se usa para una codificación más fina, ya que es necesario para temperamentos desiguales.

Intervalo (los dos tonos se tocan al mismo tiempo)	Reproducción de 1/12 tonos ( ayuda · info )	Juego de semitonos	Solo una tercera jugada importante	Tercera jugada mayor	juego de tritono	juego de octava
Relación de frecuencia r						{\ estilo de visualización 2 ^ {\ frac {12} {12}} = 2}
Número correspondiente de semitonos		{\ estilo de visualización 1}	{\ estilo de visualización \ aproximadamente 3,8631}	{\ estilo de visualización 4}	{\ estilo de visualización 6}	{\ estilo de visualización 12}
Número correspondiente de centavos		{\ estilo de visualización 100}	{\ estilo de visualización \ aproximadamente 386,31}	{\ estilo de visualización 400}	{\ estilo de visualización 600}	{\ estilo de visualización 1200}

Teoría de los números

Los logaritmos naturales están íntimamente ligados al conteo de números primos (2, 3, 5, 7, 11,...), un tema importante en la teoría de números. Para cualquier número entero  x , la cantidad de números primos menores o iguales a x se denota como π ( x ) . El teorema de los números primos afirma que π ( x ) viene dado aproximadamente por

en el sentido de que la razón de π ( x ) y esa fracción tiende a 1 cuando x tiende a infinito. Como consecuencia, la probabilidad de que un número elegido al azar entre 1 y x sea ​​primo es inversamente proporcional al número de dígitos decimales de x . Una estimación mucho mejor de π ( x ) está dada por la función integral logarítmica compensada Li( x ) , definida por

La hipótesis de Riemann, una de las conjeturas matemáticas abiertas más antiguas, puede establecerse en términos de comparar π ( x ) y Li( x ) . El teorema de Erdős-Kac que describe el número de factores primos distintos también involucra el logaritmo natural.

El logaritmo de n factorial, n ! = 1 · 2 · ... · n , viene dado por

Esto se puede usar para obtener la fórmula de Stirling, una aproximación de n ! para n grande

generalizaciones

logaritmo complejo

Todos los números complejos a que resuelven la ecuación{\ estilo de visualización e ^ {a} = z}

se llaman logaritmos complejos de z , cuando z es (considerado como) un número complejo. Un número complejo se representa comúnmente como z = x + iy , donde x e y son números reales e i es una unidad imaginaria, cuyo cuadrado es −1. Dicho número se puede visualizar mediante un punto en el plano complejo, como se muestra a la derecha. La forma polar codifica un número complejo distinto de cero  z por su valor absoluto, es decir, la distancia (positiva, real)  r al origen, y un ángulo entre el eje real ( x ) Re y la línea que pasa por el origen yz _. Este ángulo se llama argumento de z .

El valor absoluto r de z viene dado por{\ estilo de visualización \ estilo de texto r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

Usando la interpretación geométrica del seno y el coseno y su periodicidad en 2 π , cualquier número complejo  z se puede denotar como

para cualquier número entero  k . Evidentemente, el argumento de z no está especificado de forma única: tanto φ como φ' = φ + 2 k π son argumentos válidos de z para todos los enteros  k , porque sumar 2 k π  radianes o k ⋅360° a φ corresponde a "dar vueltas" alrededor el origen en sentido antihorario por k  vueltas. El número complejo resultante siempre es z , como se ilustra a la derecha para k = 1 . Uno puede seleccionar exactamente uno de los posibles argumentos de zcomo el llamado argumento principal , denotado Arg( z ) , con A mayúscula  , al requerir que φ pertenezca a un turno convenientemente seleccionado, por ejemplo − π < φ ≤ π o 0 ≤ φ < 2 π . Estas regiones, donde el argumento de z está determinado de forma única, se denominan ramas de la función de argumento.

La fórmula de Euler conecta las funciones trigonométricas seno y coseno con el exponencial complejo:

Usando esta fórmula, y nuevamente la periodicidad, se cumplen las siguientes identidades:

donde ln( r ) es el único logaritmo natural real, _ak denota los logaritmos complejos de z yk es un número entero arbitrario. Por lo tanto, los logaritmos complejos de z , que son todos aquellos valores complejos _ak para los cuales la k _- ésima potencia  de e es igual a z , son los infinitos valores para enteros arbitrarios  k .

Tomando k tal que φ + 2 k π está dentro del intervalo definido para los argumentos principales, entonces a _k se llama el valor principal del logaritmo, denotado Log( z ) , nuevamente con L mayúscula  . El argumento principal de cualquier número real positivo  x es 0; por lo tanto Log( x ) es un número real y es igual al logaritmo real (natural). Sin embargo, las fórmulas anteriores para logaritmos de productos y potencias no se generalizan al valor principal del logaritmo complejo.

La ilustración de la derecha muestra Log( z ) , limitando los argumentos de z al intervalo (−π, π] . De esta forma, la rama correspondiente del logaritmo complejo tiene discontinuidades a lo largo del eje x real negativo  , que se puede ver en el salto en el matiz allí. Esta discontinuidad surge de saltar al otro límite en la misma rama, al cruzar un límite, es decir, no cambiar al valor k correspondiente de la rama continuamente vecina. Tal lugar geométrico se denomina corte de rama. Eliminar las restricciones de rango en el argumento hace que las relaciones sean "argumento de z " y, en consecuencia, el "logaritmo de z", funciones multivaluadas.

Inversos de otras funciones exponenciales

La exponenciación ocurre en muchas áreas de las matemáticas y su función inversa a menudo se denomina logaritmo. Por ejemplo, el logaritmo de una matriz es la función inversa (de varios valores) de la matriz exponencial. Otro ejemplo es el logaritmo p -ádico, la función inversa de la exponencial p -ádica. Ambos se definen mediante series de Taylor análogas al caso real. En el contexto de la geometría diferencial, el mapa exponencial mapea el espacio tangente en un punto de una variedad a una vecindad de ese punto. Su inversa también se llama el mapa logarítmico (o log).

En el contexto de grupos finitos, la exponenciación se obtiene multiplicando repetidamente un elemento de grupo  b por sí mismo. El logaritmo discreto es el entero  n que resuelve la ecuación{\ estilo de visualización b ^ {n} = x,}

donde x es un elemento del grupo. Llevar a cabo la exponenciación se puede hacer de manera eficiente, pero se cree que el logaritmo discreto es muy difícil de calcular en algunos grupos. Esta asimetría tiene aplicaciones importantes en la criptografía de clave pública, como por ejemplo en el intercambio de claves Diffie-Hellman, una rutina que permite intercambios seguros de claves criptográficas sobre canales de información no seguros. El logaritmo de Zech está relacionado con el logaritmo discreto en el grupo multiplicativo de elementos distintos de cero de un campo finito.

Otras funciones inversas similares a logaritmos incluyen el logaritmo doble  ln(ln( x )) , el logaritmo super o hiper-4 (una ligera variación del cual se llama logaritmo iterado en informática), la función W de Lambert y el logit . Son las funciones inversas de la doble función exponencial, tetración, de f ( w ) = we , y de la función logística, respectivamente.

Conceptos relacionados

Desde la perspectiva de la teoría de grupos, la identidad log( cd ) = log( c ) + log( d ) expresa un isomorfismo de grupo entre reales positivos bajo multiplicación y reales bajo suma. Las funciones logarítmicas son los únicos isomorfismos continuos entre estos grupos. Mediante ese isomorfismo, la medida de Haar (medida de Lebesgue)  dx sobre los reales corresponde a la medida de Haar  dx / x sobre los reales positivos.Los reales no negativos no sólo tienen multiplicación, sino también suma, y ​​forman un semicírculo, llamado semicírculo de probabilidad; esto es de hecho un semicampo. Luego, el logaritmo lleva la multiplicación a la suma (multiplicación logarítmica) y toma la suma a la suma logarítmica (LogSumExp), dando un isomorfismo de semianillos entre la probabilidad semianular y el logaritmo semianular.

Las formas logarítmicas  df / f aparecen en análisis complejo y geometría algebraica como formas diferenciales con polos logarítmicos.

El polilogaritmo es la función definida por

Está relacionado con el logaritmo natural por Li ₁  ( z ) = −ln(1 − z ) . Además, Li _s  (1) es igual a la función zeta de Riemann ζ( s ) .