Lista de ecuaciones relativistas

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Siguiente es una lista de las ecuaciones frecuentes en la teoría de la relatividad especial.

Postulados de relatividad especial

Para derivar las ecuaciones de relatividad especial, uno debe comenzar con otros dos

Las leyes de la física son invariantes bajo transformaciones entre marcos inerciales. En otras palabras, las leyes de la física serán las mismas si las estás probando en un marco 'en reposo', o un marco que se mueve con una velocidad constante relativa al 'resto' marco.
La velocidad de la luz en un vacío clásico perfecto ( $c_{0}$ ) se mide para ser igual por todos los observadores en marcos inerciales y es, además, finito pero no cero. Esta velocidad actúa como un supremum para la velocidad de transmisión local de la información en el universo.

En este contexto, la "velocidad de luz" realmente se refiere al supremum de velocidad de transmisión de información o del movimiento de materia ordinaria (masa no negativa), localmente, como en un vacío clásico. Así, una descripción más precisa se referiría a $c_{0}$ en lugar de la velocidad de luz per se. Sin embargo, la luz y otras partículas sin masa viajan teóricamente a $c_{0}$ bajo condiciones de vacío y experimento no ha falseado esta noción con precisión bastante alta. Independientemente de si la luz en sí viaja a $c_{0}$ , aunque $c_{0}$ actúa como tal supremum, y esa es la suposición que importa para la Relatividad.

De estos dos postulados, toda la relatividad especial sigue.

A continuación, la velocidad relativa v entre dos marcos de inercia está completamente restringido a la dirección x --dirección, de un sistema de coordenadas cartesianas.

cinemática

Lorentz Transformation

Las siguientes anotaciones se usan muy a menudo en relatividad especial:

Factor de Lorentz

gamma ={frac {1}{{sqrt {1-beta ^{2}}}}}

Donde ${displaystyle beta ={frac {v}{c}}}$ y v es la velocidad relativa entre dos marcos inerciales.

Para dos cuadros en reposo, γ = 1, y aumenta con la velocidad relativa entre los dos marcos de inercia. A medida que la velocidad relativa se acerca a la velocidad de la luz, γ → ∞.

Dilatación del tiempo (diferentes veces t y t ' en la misma posición x en el mismo marco inercial)

t'=gamma t

Derivación de la dilatación del tiempo

Aplicando los postulados anteriores, considere el interior de cualquier vehículo (generalmente ejemplar por un tren) moviéndose con una velocidad v con respecto a alguien de pie en el suelo mientras el vehículo pasa. Dentro, una luz se ilumina hacia arriba hacia un espejo en el techo, donde la luz refleja hacia abajo. Si la altura del espejo es h, y la velocidad de la luz c, entonces el tiempo que se necesita para la luz para subir y volver abajo es:

t={frac {2h}{c}}

Sin embargo, para el observador sobre el terreno, la situación es muy diferente. Dado que el tren se mueve por el observador en el suelo, el rayo de luz parece moverse diagonalmente en lugar de recto arriba y abajo. Para visualizar esto, imagine la luz que se emite en un punto, después de que el vehículo se mueva hasta que la luz golpee el espejo en la parte superior del vehículo, y luego que el tren se mueva aún más hasta que el rayo de luz regrese a la parte inferior del vehículo. El rayo de luz parece haberse movido diagonalmente hacia arriba con el tren, y luego diagonalmente hacia abajo. Este camino ayudará a formar triángulos laterales de dos derechas, con la altura como uno de los lados, y las dos partes rectas del camino son las hipótesis respectivas:

c^{2}left({frac {t'}{2}}right)^{2}=h^{2}+v^{2}left({frac {t'}{2}}right)^{2}

Reorganización para conseguir $t'$ :

left({frac {t'}{2}}right)^{2}={frac {h^{2}}{c^{2}-v^{2}}}

{frac {t'}{2}}={frac {h}{{sqrt {c^{2}-v^{2}}}}}

t'={frac {2h}{{sqrt {c^{2}-v^{2}}}}}

Tomar un factor c, y luego conectar para t, uno encuentra:

t'={frac {2h}c}{frac {1}{{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}={frac {t}{{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

Esta es la fórmula para la dilatación del tiempo:

t'=gamma t

En este ejemplo, el tiempo medido en el marco del vehículo, t , se conoce como el tiempo adecuado. El momento adecuado entre dos eventos, como el evento de luz que se emite en el vehículo y el evento de luz que se recibe en el vehículo, es el tiempo entre los dos eventos en un marco donde los eventos ocurren en el mismo lugar. Entonces, arriba, la emisión y la recepción de la luz tuvieron lugar en el marco del vehículo, lo que hace el tiempo que un observador en el marco del vehículo mediría el momento adecuado.

Contracción de longitud (diferentes posiciones) x y x ' en el mismo instante t en el mismo marco inercial)

ell '={frac {ell }{gamma }}

Derivación de la contracción de longitud

Considere un tren largo, moviéndose con velocidad v con respecto a la tierra, y un observador en el tren y uno sobre el terreno, de pie junto a un puesto. El observador en el tren ve la parte delantera del tren pasar el puesto, y luego, algún tiempo t más tarde, ve el final del tren pasar el mismo puesto. Luego calcula la longitud del tren como sigue:

{displaystyle ell =vt',}

Sin embargo, el observador sobre el terreno, haciendo la misma medida, llega a una conclusión diferente. Este observador encuentra ese momento t pasó entre la parte delantera del tren pasando el puesto, y la parte posterior del tren pasando el puesto. Debido a que los dos eventos - el paso de cada extremo del tren por el post - ocurrió en el mismo lugar en el marco del observador de tierra, el tiempo que este observador midió es el tiempo apropiado. Entonces:

{displaystyle ell '=vt=vleft({frac {t'}{gamma }}right)={frac {ell }{gamma }}}

Esta es la fórmula para la contracción de longitud. Como existía un momento adecuado para la dilatación del tiempo, existe una longitud adecuada para la contracción de longitud, que en este caso es ℓ . La longitud adecuada de un objeto es la longitud del objeto en el marco en el que el objeto está en reposo. Además, esta contracción solo afecta las dimensiones del objeto que son paralelas a la velocidad relativa entre el objeto y el observador. Por lo tanto, las longitudes perpendiculares a la dirección del movimiento no se ven afectadas por la contracción de longitud.

Transformación de Lorentz

x'=gamma left(x-vtright)

y'=y,

z'=z,

t'=gamma left(t-{frac {vx}{c^{2}}}right)

Derivación de la transformación de Lorentz mediante dilatación de tiempo y contracción de longitud

Ahora sustituir el resultado de la contracción de longitud en la transformación Galileo (es decir, x = l), tenemos:

{frac {x'}{gamma }}=x-vt

es decir:

x'=gamma left(x-vtright)

y va desde el marco primo a la inprimida estructura:

x=gamma left(x'+vt'right)

Salir de la estructura primitiva al marco inapretado se logró haciendo v en la primera ecuación negativa, y luego el intercambio de variables primos para las inprimidas, y viceversa. Además, como la contracción de longitud no afecta las dimensiones perpendiculares de un objeto, los siguientes siguen siendo los mismos que en la transformación Galileo:

y'=y,

z'=z,

Finalmente, para determinar cómo t y t transformar, sustituir xAdministraciónx transformación en su inverso:

x=gamma left(gamma left(x-vtright)+vt'right)

x=gamma left(gamma x-gamma vt+vt'right)

x=gamma ^{2}x-gamma ^{2}vt+gamma vt',

gamma vt'=gamma ^{2}vt-gamma ^{2}x+x,

gamma vt'=gamma ^{2}vt+xleft(1-gamma ^{2}right)

Enchufe en el valor para γ:

gamma vt'=gamma ^{2}vt+xleft(1-{frac {1}{1-beta ^{2}}}right)

gamma vt'=gamma ^{2}vt+xleft({frac {1-beta ^{2}}{1-beta ^{2}}}-{frac {1}{1-beta ^{2}}}right)

gamma vt'=gamma ^{2}vt-xleft({frac {beta ^{2}}{1-beta ^{2}}}right)

gamma vt'=gamma ^{2}vt-gamma ^{2}beta ^{2}x,

Finalmente, dividiendo por γv:

t'=gamma left(t-beta {frac {x}{c}}right)

O más comúnmente:

t'=gamma left(t-{frac {vx}{c^{2}}}right)

Y el contrario se puede conseguir de nuevo cambiando el signo de v, e intercambiando las variables no aprimidas para sus variables primos, y viceversa. Estas transformaciones juntas son la transformación de Lorentz:

x'=gamma left(x-vtright)

y'=y,

z'=z,

t'=gamma left(t-{frac {vx}{c^{2}}}right)

Velocity addition

V'_{x}={frac {V_{x}-v}{1-{frac {V_{x}v}{c^{2}}}}}

V'_{y}={frac {V_{y}}{gamma left(1-{frac {V_{x}v}{c^{2}}}right)}}

V'_{z}={frac {V_{z}}{gamma left(1-{frac {V_{x}v}{c^{2}}}right)}}

Derivación de la adición de velocidad

Las transformaciones de Lorentz también se aplican a los diferenciales, por lo que:

dx'=gamma left(dx-vdtright)

dy'=dy,

dz'=dz,

dt'=gamma left(dt-{frac {vdx}{c^{2}}}right)

La velocidad es dx/dtAsí que

{frac {dx'}{dt'}}={frac {gamma left(dx-vdtright)}{gamma left(dt-{frac {vdx}{c^{2}}}right)}}

{frac {dx'}{dt'}}={frac {dx-vdt}{dt-{frac {vdx}{c^{2}}}}}

{frac {dx'}{dt'}}={frac {{frac {dx}{dt}}-v}{1-{frac {dx}{dt}}{frac {v}{c^{2}}}}}

Ahora sustituyendo:

V_{x}={frac {dx}{dt}},quad V'_{x}={frac {dx'}{dt'}}

da la adición de velocidad (realmente abajo es la resta, la adición está revirtiendo los signos de V_x, V_Sí., y V_z alrededor de:

V'_{x}={frac {V_{x}-v}{1-{frac {V_{x}v}{c^{2}}}}}

V'_{y}={frac {V_{y}}{gamma left(1-{frac {V_{x}v}{c^{2}}}right)}}

V'_{z}={frac {V_{z}}{gamma left(1-{frac {V_{x}v}{c^{2}}}right)}}

Además, las velocidades en las direcciones perpendiculares a los cambios de marco se afectan, como se muestra anteriormente. Esto se debe a la dilatación del tiempo, como encapsulado en ♪/dt transformación. El V_Sí. y V_z ambas ecuaciones se derivaron dividiendo el diferencial espacial apropiado (por ejemplo. dy o dz) por el diferencial de tiempo.

La métrica y los cuatro vectores

En lo que sigue, Bold Sans Serif se usa para 4 vectores, mientras que Bold Roman normal se usa para 3 vectores ordinarios.

Producto interno (es decir, noción de longitud)

{boldsymbol {{mathsf {a}}}}cdot {boldsymbol {{mathsf {b}}}}=eta ({boldsymbol {{mathsf {a}}}},{boldsymbol {{mathsf {b}}}})

Donde $eta$ es conocido como el tensor métrico. En relatividad especial, el tensor métrico es la métrica Minkowski:

eta ={begin{pmatrix}-1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&0\0&0&0&1end{pmatrix}}

intervalo de tiempo espacial

ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}={begin{pmatrix}cdt&dx&dy&dzend{pmatrix}}{begin{pmatrix}-1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&0\0&0&0&1end{pmatrix}}{begin{pmatrix}cdt\dx\dy\dzend{pmatrix}}

En lo anterior, ds 2 se conoce como el intervalo de espacio -tiempo. Este producto interno es invariante bajo la transformación de Lorentz, es decir,

eta ({boldsymbol {{mathsf {a}}}}',{boldsymbol {{mathsf {b}}}}')=eta left(Lambda {boldsymbol {{mathsf {a}}}},Lambda {boldsymbol {{mathsf {b}}}}right)=eta ({boldsymbol {{mathsf {a}}}},{boldsymbol {{mathsf {b}}}})

El signo de la métrica y la ubicación del ct , ct ' , cdt y cdt ′ Los términos basados en el tiempo pueden variar según la elección del autor. Por ejemplo, muchas veces los términos basados en el tiempo se colocan primero en los cuatro vectores, con los términos espaciales siguientes. Además, a veces η se reemplaza con - η , lo que hace que los términos espaciales produzcan contribuciones negativas al producto DOT o al intervalo de espacio -tiempo, mientras que el término temporal hace una contribución positiva. Estas diferencias se pueden usar en cualquier combinación, siempre que la elección de los estándares se siga completamente a lo largo de los cálculos realizados.

lorentz se transforma

Es posible expresar la transformación de coordenadas anterior a través de una matriz. Para simplificar las cosas, puede ser mejor reemplazar t , t ′ , dt y dt ′ con ct , ct ' , cdt y cdt ′ , que tiene las dimensiones de distancia. Entonces:

x'=gamma x-gamma beta ct,

y'=y,

z'=z,

ct'=gamma ct-gamma beta x,

Entonces en forma de matriz:

{begin{pmatrix}ct'\x'\y'\z'end{pmatrix}}={begin{pmatrix}gamma &-gamma beta &0&0\-gamma beta &gamma &0&0\0&0&1&0\0&0&0&1end{pmatrix}}{begin{pmatrix}ct\x\y\zend{pmatrix}}

Los vectores en la ecuación de transformación anterior se conocen como cuatro vectores, en este caso son específicamente la posición de cuatro vectores. En general, en una relatividad especial, los cuatro vectores se pueden transformar de un marco de referencia a otro de la siguiente manera:

{boldsymbol {{mathsf {a}}}}'=Lambda {boldsymbol {{mathsf {a}}}}

En lo anterior, ${boldsymbol {{mathsf {a}}}}'$ y ${boldsymbol {{mathsf {a}}}}$ son el cuatro-vector y el cuatro-vector transformado, respectivamente, y ⋅ es la matriz de transformación, que, para una transformación dada es la misma para los cuatro-vectores que uno podría querer transformar. Así que... ${boldsymbol {{mathsf {a}}}}'$ puede ser un 4-vector representando posición, velocidad o ímpetu, y la misma ≥ puede ser utilizado cuando se transforma entre los mismos dos marcos. La transformación más general de Lorentz incluye impulsos y rotaciones; los componentes son complicados y la transformación requiere espinas.

4-vectores y resultados invariantes de marco

invariancia y unificación de cantidades físicas surgen de cuatro vectores. El producto interno de un vector de 4 en sí mismo es igual a un escalar (por definición del producto interno), y dado que los 4 vectores son cantidades físicas, sus magnitudes también corresponden a cantidades físicas.

Bienes/efecto	3-vector	4-vector	Resultado invariable
Eventos en tiempo espacial	3-posición: r =x₁, x₂, x₃) ${mathbf {r}}cdot {mathbf {r}}equiv r^{2}equiv x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2},!$	4-posición: X =ct, x₁, x₂, x₃)	${boldsymbol {{mathsf {X}}}}cdot {boldsymbol {{mathsf {X}}}}=left(ctau right)^{2},!$ ${begin{aligned}&left(ctright)^{2}-left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}right)\&=left(ctright)^{2}-r^{2}\&=-chi ^{2}=left(ctau right)^{2}end{aligned}},!$ τ = tiempo adecuado χ = distancia adecuada
Invarianza de energía momentum	${mathbf {p}}=gamma m{mathbf {u}},!$ 3-momentum: p =p₁, p₂, p₃) ${mathbf {p}}cdot {mathbf {p}}equiv p^{2}equiv p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2},!$	4-momentum: P =E/c, p₁, p₂, p₃) ${boldsymbol {{mathsf {P}}}}=m{boldsymbol {{mathsf {U}}}},!$	${boldsymbol {{mathsf {P}}}}cdot {boldsymbol {{mathsf {P}}}}=left(mcright)^{2},!$ ${begin{aligned}&left({frac {E}{c}}right)^{2}-left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}right)\&=left({frac {E}{c}}right)^{2}-p^{2}\&=left(mcright)^{2}end{aligned}},!$ que conduce a: $E^{2}=left(pcright)^{2}+left(mc^{2}right)^{2},!$ E = energía total m = masa invariable
Velocity	3-velocity: u =u₁, u₂, u₃) ${mathbf {u}}={frac {{mathrm {d}}{mathbf {r}}}{{mathrm {d}}t}},!$	4-velocity: U =U₀, U₁, U₂, U₃) ${boldsymbol {{mathsf {U}}}}={frac {{mathrm {d}}{boldsymbol {{mathsf {X}}}}}{{mathrm {d}}tau }}=gamma left(c,{mathbf {u}}right)$	${boldsymbol {{mathsf {U}}}}cdot {boldsymbol {{mathsf {U}}}}=c^{2},!$
Aceleración	3-aceleración: a =a₁, a₂, a₃) ${mathbf {a}}={frac {{mathrm {d}}{mathbf {u}}}{{mathrm {d}}t}},!$	4-aceleración: A =A₀, A₁, A₂, A₃) ${boldsymbol {{mathsf {A}}}}={frac {{mathrm {d}}{boldsymbol {{mathsf {U}}}}}{{mathrm {d}}tau }}=gamma left(c{frac {{mathrm {d}}gamma }{{mathrm {d}}t}},{frac {{mathrm {d}}gamma }{{mathrm {d}}t}}{mathbf {u}}+gamma {mathbf {a}}right)$	${boldsymbol {{mathsf {A}}}}cdot {boldsymbol {{mathsf {U}}}}=0,!$
Fuerza	3-force: f =f₁, f₂, f₃) ${mathbf {f}}={frac {{mathrm {d}}{mathbf {p}}}{{mathrm {d}}t}},!$	4-fuerza: F =F₀, F₁, F₂, F₃) ${boldsymbol {{mathsf {F}}}}={frac {{mathrm {d}}{boldsymbol {{mathsf {P}}}}}{{mathrm {d}}tau }}=gamma mleft(c{frac {{mathrm {d}}gamma }{{mathrm {d}}t}},{frac {{mathrm {d}}gamma }{{mathrm {d}}t}}{mathbf {u}}+gamma {mathbf {a}}right)$	${boldsymbol {{mathsf {F}}}}cdot {boldsymbol {{mathsf {U}}}}=0,!$

Doppler Shift

cambio doppler general:

nu '=gamma nu left(1-beta cos theta right)

desplazamiento de doppler para emisor y observador que se mueven hacia el otro (o directamente lejos):

nu '=nu {frac {{sqrt {1-beta }}}{{sqrt {1+beta }}}}

desplazamiento doppler para emisor y observador que se mueve en una dirección perpendicular a la línea que los conecta:

nu '=gamma nu

Derivación del cambio relativista Doppler

Si un objeto emite un rayo de luz o radiación, la frecuencia, longitud de onda y energía de esa luz o radiación se verá diferente a un observador en movimiento que a uno en reposo con respecto al emisor. Si uno asume que el observador se mueve con respecto al emisor a lo largo del eje x, entonces la transformación Lorentz estándar del cuatro-momentum, que incluye energía, se convierte en:

{begin{pmatrix}{frac {E'}{c}}\p'_{x}\p'_{y}\p'_{z}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}gamma &-gamma beta &0&0\-gamma beta &gamma &0&0\0&0&1&0\0&0&0&1end{pmatrix}}{begin{pmatrix}{frac {E}{c}}\p_{x}\p_{y}\p_{z}end{pmatrix}}

{frac {E'}{c}}=gamma {frac {E}{c}}-gamma beta p_{x}

Ahora, si

p_{x}=|p|cos theta

donde θ es el ángulo entre p_x y ${vec {p}}$ , y enchufar las fórmulas para la relación de frecuencia con el impulso y la energía:

{frac {hnu '}{c}}=gamma {frac {hnu }{c}}-gamma beta leftVert pright|cos theta =gamma {frac {hnu }{c}}-gamma beta {frac {hnu }{c}}cos theta

nu '=gamma nu -gamma beta nu cos theta =gamma nu left(1-beta cos theta right)

Esta es la fórmula para el cambio de doppler relativista donde la diferencia de velocidad entre el emisor y el observador no está en el eje x. Hay dos casos especiales de esta ecuación. El primero es el caso donde la velocidad entre el emisor y el observador está a lo largo del eje x. En ese caso θ = 0, y porque θ = 1, que da:

{begin{aligned}nu '&=gamma nu left(1-beta right)\&=nu {frac {1}{{sqrt {1-beta ^{2}}}}}left(1-beta right)\&=nu {frac {1}{{sqrt {left(1-beta right)left(1+beta right)}}}}left(1-beta right)\&=nu {frac {{sqrt {1-beta }}}{{sqrt {1+beta }}}}end{aligned}}

Esta es la ecuación para el cambio de doppler en el caso en que la velocidad entre el emisor y el observador está a lo largo del eje x. El segundo caso especial es que donde la velocidad relativa es perpendicular al eje x, y por lo tanto θ = π/2, y cos θ = 0, que da:

nu '=gamma nu

Esto es en realidad completamente análogo a la dilatación del tiempo, ya que la frecuencia es la recíproca del tiempo. Por lo tanto, el cambio de doppler para emisores y observadores que se mueven perpendicular a la línea que los conecta se debe completamente a los efectos de la dilatación del tiempo.

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