Linealización

En matemáticas, la linealización es encontrar la aproximación lineal a una función en un punto dado. La aproximación lineal de una función es la expansión de Taylor de primer orden alrededor del punto de interés. En el estudio de sistemas dinámicos, la linealización es un método para evaluar la estabilidad local de un punto de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales o sistemas dinámicos discretos. Este método se utiliza en campos como la ingeniería, la física, la economía y la ecología.

Linealización de una función

Las linearizaciones de una función son líneas, generalmente líneas que se pueden utilizar para fines de cálculo. La linealización es un método eficaz para aproximar la salida de una función ${displaystyle y=f(x)}$ en cualquier ${displaystyle x=a}$ basado en el valor y la pendiente de la función ${displaystyle x=b}$, dado que ${displaystyle f(x)}$ es diferente en ${displaystyle [a,b]}$ (o ${displaystyle [b,a]}$) y eso ${displaystyle a}$ está cerca ${displaystyle b}$. En resumen, la linearización aproxima la salida de una función cerca ${displaystyle x=a}$.

Por ejemplo, ${displaystyle {sqrt {4}=2}$. Sin embargo, lo que sería una buena aproximación de ${fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans}} {fnMicrosoft Sans Serif}$?

Para cualquier función dada ${displaystyle y=f(x)}$, ${displaystyle f(x)}$ puede ser aproximado si está cerca de un punto diferenciable conocido. El requisito más básico es que ${displaystyle L_{a}(a)=f(a)}$, donde ${displaystyle L_{a}(x)}$ es la linealización de ${displaystyle f(x)}$ a ${displaystyle x=a}$. La forma de punto pendiente de una ecuación forma una ecuación de una línea, dado un punto ${displaystyle (H,K)}$ and slope ${displaystyle M}$. La forma general de esta ecuación es: ${displaystyle y-K=M(x-H)}$.

Usando el punto ${displaystyle (a,f(a)}$, ${displaystyle L_{a}(x)}$ se convierte en ${displaystyle y=f(a)+M(x-a)}$. Debido a que las funciones diferentes son localmente lineales, la mejor pendiente de sustitución sería la pendiente de la línea tangente a ${displaystyle f(x)}$ a ${displaystyle x=a}$.

Mientras que el concepto de linearidad local aplica lo más a los puntos arbitrariamente cercanos a ${displaystyle x=a}$, esos trabajos relativamente cercanos relativamente bien para aproximaciones lineales. La pendiente ${displaystyle M}$ debe ser, con más precisión, la pendiente de la línea tangente en ${displaystyle x=a}$.

Visualmente, el diagrama acompañante muestra la línea tangente de ${displaystyle f(x)}$ a ${displaystyle x}$. At ${displaystyle f(x+h)}$, donde ${displaystyle h}$ es cualquier pequeño valor positivo o negativo, ${displaystyle f(x+h)}$ es casi el valor de la línea tangente en el punto ${displaystyle (x+h,L(x+h)}$.

La ecuación final para la linealización de una función en ${displaystyle x=a}$ es:

$${displaystyle y=(f(a)+f'(a)(x-a)}$$

Para ${displaystyle x=a}$, ${displaystyle f(a)=f(x)}$. El derivado de ${displaystyle f(x)}$ es ${displaystyle f'(x)}$, y la pendiente de ${displaystyle f(x)}$ a ${displaystyle a}$ es ${displaystyle f'(a)}$.

Ejemplo

Para encontrar ${displaystyle {sqrt {4.001}}$Podemos usar el hecho de que ${displaystyle {sqrt {4}=2}$. La linealización de ${displaystyle f(x)={sqrt {x}}$ a ${displaystyle x=a}$ es ${displaystyle Y... {fnK} {fnMicroc} {fnK} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fnK}} {fnK}}} {fnK}} {f}}} {f}}} {fnMicroc}}} {f}}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$, porque la función ${displaystyle f'(x)={2{2{sqrt {x}}}}$ define la pendiente de la función ${displaystyle f(x)={sqrt {x}}$ a ${displaystyle x}$. Sustitución ${displaystyle a=4}$, la linealización a 4 es ${displaystyle y=2+{frac {x-4}{4}}$. En este caso ${displaystyle x=4.001}$Así que ${displaystyle {sqrt {4.001}}$ aproximadamente ${displaystyle 2+{frac {4.001-4}{4}=2.00025}$. El verdadero valor está cerca de 2.00024998, por lo que la aproximación de linearización tiene un error relativo de menos de 1 millón de de por ciento.

Linealización de una función multivariable

La ecuación para la linealización de una función ${displaystyle f(x,y)}$ en un momento ${displaystyle p(a,b)}$ es:

${displaystyle f(x,y)approx f(a,b)+left.{frac {partial f(x,y)}{partial x}}justo,b}(x-a)+left.{frac {partial f(x,y)}{partial y}}}right_{a,b}$

La ecuación general para la linealización de una función multivariable ${displaystyle f(mathbf {x}$ en un momento ${displaystyle mathbf {p}$ es:

${displaystyle f({mathbf {x})approx f({mathbf {p})+left.{nabla f}right sometida_{mathbf {}cdot ({mathbf {x} - Sí.$

Donde ${displaystyle mathbf {x}$ es el vector de variables, ${displaystyle {nabla f}$ es el gradiente, y ${displaystyle mathbf {p}$ es el punto de linearización de interés .

Usos de la linealización

La linealización permite utilizar herramientas de estudio de sistemas lineales para analizar el comportamiento de una función no lineal cerca de un punto determinado. La linealización de una función es el término de primer orden de su desarrollo de Taylor alrededor del punto de interés. Para un sistema definido por la ecuación

${displaystyle {frac {dmathbf {x} } {dt}=mathbf {F} (mathbf {x}t)}$,

el sistema linealizado se puede escribir como

${displaystyle {frac {dmathbf {x} {dt}approx mathbf {F} (mathbf {x_{0}t)+ Dmathbf {F} (mathbf {x_{0}t)cdot (mathbf {x} - Mathbf {x_{0}}}$

Donde ${displaystyle mathbf {x_{0}$ es el punto de interés y ${displaystyle Dmathbf {F} (mathbf {x_{0}t)}$ es ${displaystyle mathbf {x}$-Jacobian de ${displaystyle mathbf {F} (mathbf {x}t)}$ evaluados ${displaystyle mathbf {x_{0}$.

Análisis de estabilidad

En el análisis de estabilidad de sistemas autónomos, se pueden utilizar los valores propios de la matriz jacobiana evaluados en un punto de equilibrio hiperbólico para determinar la naturaleza de ese equilibrio. Este es el contenido del teorema de linealización. Para sistemas que varían en el tiempo, la linealización requiere una justificación adicional.

Microeconomía

En microeconomía, las reglas de decisión pueden aproximarse mediante el enfoque de linealización del espacio de estados. Bajo este enfoque, las ecuaciones de Euler del problema de maximización de la utilidad se linealizan alrededor del estado estacionario estacionario. Luego se encuentra una solución única al sistema resultante de ecuaciones dinámicas.

Optimización

En la optimización matemática, las funciones de costos y los componentes no lineales internos se pueden linealizar para aplicar un método de resolución lineal como el algoritmo Simplex. El resultado optimizado se alcanza de forma mucho más eficiente y es determinista como óptimo global.

Multifísica

En sistemas multifísicos (sistemas que involucran múltiples campos físicos que interactúan entre sí) se puede realizar una linealización con respecto a cada uno de los campos físicos. Esta linealización del sistema con respecto a cada uno de los campos da como resultado un sistema de ecuaciones monolíticas linealizadas que se puede resolver utilizando procedimientos de solución iterativos monolíticos como el método de Newton-Raphson. Ejemplos de esto incluyen sistemas de escáner de resonancia magnética que dan como resultado un sistema de campos electromagnéticos, mecánicos y acústicos.