Linea proyectiva

En matemáticas, una línea proyectiva es, en términos generales, la extensión de una línea habitual por un punto llamado punto en el infinito. El enunciado y la demostración de muchos teoremas de geometría se simplifican mediante la eliminación resultante de casos especiales; por ejemplo, dos líneas proyectivas distintas en un plano proyectivo se encuentran exactamente en un punto (no existe un caso "paralelo").

Existen muchas formas equivalentes de definir formalmente una línea proyectiva; Uno de los más comunes es definir una línea proyectiva sobre un campo K, comúnmente denotado P¹(K), como el conjunto de subespacios unidimensionales de un espacio vectorial K bidimensional. Esta definición es un ejemplo especial de la definición general de espacio proyectivo.

La línea proyectiva sobre los reales es una variedad; ver línea proyectiva real para más detalles.

Coordenadas homogéneas

Un punto arbitrario en la recta proyectiva P¹(K) puede representarse mediante una clase de equivalencia de coordenadas homogéneas, que toman la forma de un par

[x1:x2]{displaystyle [x_{1}:x_{2}}

de elementos de K que no son ambos cero. Dos de estos pares son equivalentes si difieren por un factor general distinto de cero λ:

[x1:x2]♪ ♪ [λ λ x1:λ λ x2].{displaystyle [x_{1}:x_{2}sim [lambda x_{1}:lambda x_{2}].}

Recta extendida por un punto en el infinito

La línea proyectiva puede identificarse con la línea K extendida por un punto en el infinito. Más precisamente, la línea K puede identificarse con el subconjunto de P¹(K) dado por

{}[x:1]▪ ▪ P1()K)▪ ▪ x▪ ▪ K}.{displaystyle left{x:1]in mathbf {P}(K)mid xin Kright}.}

Este subconjunto cubre todos los puntos en P¹(K) excepto uno, que se llama punto en el infinito:

JUEGO JUEGO =[1:0].{displaystyle infty =[1:0].}

Esto permite extender la aritmética en K a P¹(K) mediante las fórmulas

10=JUEGO JUEGO ,1JUEGO JUEGO =0,{displaystyle {frac {0}=inftyqquad {fnMicroc {1}=0}

x⋅ ⋅ JUEGO JUEGO =JUEGO JUEGO sixل0{displaystyle xcdot infty =infty quad {text{if}quad xnot =0}

x+JUEGO JUEGO =JUEGO JUEGO sixلJUEGO JUEGO {displaystyle x+infty =infty quad {text{if}quad xnot =infty }

Traducir esta aritmética en términos de coordenadas homogéneas da, cuando [0: 0] no ocurre:

[x1:x2]+[Sí.1:Sí.2]=[()x1Sí.2+Sí.1x2):x2Sí.2],{displaystyle [x_{1}:x_{2}]+[y_{1}:y_{2}=[(x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}):x_{2}y_{2}]

[x1:x2]⋅ ⋅ [Sí.1:Sí.2]=[x1Sí.1:x2Sí.2],{displaystyle [x_{1}:x_{2}]cdot [y_{1}:y_{2}]=[x_{1}y_{1}:x_{2}y_{2}]

[x1:x2]− − 1=[x2:x1].{displaystyle [x_{1}:x_{2}} [x_{1}]

Ejemplos

Línea proyectiva real

La recta proyectiva sobre los números reales se llama línea proyectiva real. También se puede considerar como la línea K junto con un punto idealizado en el infinito ∞; el punto se conecta a ambos extremos de K creando un circuito cerrado o círculo topológico.

Se obtiene un ejemplo proyectando puntos en R² sobre el círculo unitario y luego identificando puntos diametralmente opuestos. En términos de teoría de grupos podemos tomar el cociente por el subgrupo {1, −1}.

Compare la recta de números reales extendida, que distingue ∞ y −∞.

Línea proyectiva compleja: la esfera de Riemann

Agregar un punto en el infinito al plano complejo da como resultado un espacio que topológicamente es una esfera. De ahí que la línea proyectiva compleja también se conozca como esfera de Riemann (o, a veces, esfera de Gauss). Se utiliza constantemente en análisis complejos, geometría algebraica y teoría de variedades complejas, como el ejemplo más simple de una superficie compacta de Riemann.

Para un campo finito

La línea proyectiva sobre un campo finito F_q de elementos q tiene q + 1 puntos. En todos los demás aspectos no se diferencia de las líneas proyectivas definidas sobre otros tipos de campos. En términos de coordenadas homogéneas [x: y], q de estos puntos tienen la forma:

[a: 1] para cada uno a dentro F_q,

y el punto restante en el infinito se puede representar como [1: 0].

Grupo de simetría

De manera bastante general, el grupo de homografías con coeficientes en K actúa sobre la recta proyectiva P¹(K). Esta acción de grupo es transitiva, por lo que P¹(K) es un espacio homogéneo para el grupo, a menudo escrito PGL₂(K) para enfatizar la naturaleza proyectiva de estas transformaciones. La Transitividad dice que existe una homografía que transformará cualquier punto Q en cualquier otro punto R. El punto en el infinito en P¹(K) es, por tanto, un artefacto de elección de coordenadas: coordenadas homogéneas

[X:Y]♪ ♪ [λ λ X:λ λ Y]{displaystyle [X:Y]sim [lambda X:lambda Y]}

expresar un subespacio unidimensional mediante un único punto distinto de cero (X, Y) que se encuentra en él, pero las simetrías de la línea proyectiva pueden mover el punto ∞ = [1: 0] a cualquier otro, y no se distingue de ninguna manera.

Mucho más es cierto, ya que alguna transformación puede tomar puntos distintos Q_i para i = 1, 2, 3 a cualquier otra tupla triple R_i de puntos distintos (triple transitividad). Esta cantidad de especificaciones 'consume' las tres dimensiones de PGL₂(K); en otras palabras, la acción grupal es marcadamente 3-transitiva. El aspecto computacional de esto es la relación cruzada. De hecho, lo contrario generalizado es cierto: una acción de grupo claramente transitiva en 3 es siempre (isomorfa a) una forma generalizada de una acción PGL₂(K) en una línea proyectiva., reemplazando "campo" por "KT-campo" (generalizando lo inverso a un tipo de involución más débil), y "PGL" por una generalización correspondiente de mapas lineales proyectivos.

Como curva algebraica

La recta proyectiva es un ejemplo fundamental de curva algebraica. Desde el punto de vista de la geometría algebraica, P¹(K) es una curva no singular de género 0. Si K es algebraicamente cerrada, es la única curva sobre K, hasta equivalencia racional. En general, una curva (no singular) de género 0 es racionalmente equivalente sobre K a una cónica C, que a su vez es birracionalmente equivalente a una línea proyectiva si y sólo si C tiene un punto definido sobre K; Geométricamente, un punto P puede usarse como origen para hacer explícita la equivalencia biracional.

El campo funcional de la recta proyectiva es el campo K(T) de funciones racionales sobre K, en un único T. Los automorfismos de campo de K(T) sobre K son precisamente el grupo PGL₂(K) discutido anteriormente.

Cualquier campo de función K(V) de una variedad algebraica V sobre K, que no sea un único punto, tiene un subcampo isomorfo con K(T). Desde el punto de vista de la geometría biracional, esto significa que habrá una aplicación racional de V a P¹(K), que no es constante. La imagen omitirá sólo un número finito de puntos de P¹(K), y la imagen inversa de un punto típico P será de dimensión dim V − 1. Este es el comienzo de los métodos en geometría algebraica que son inductivos en dimensión. Los mapas racionales desempeñan un papel análogo a las funciones meromórficas del análisis complejo y, de hecho, en el caso de las superficies compactas de Riemann los dos conceptos coinciden.

Si ahora se considera que V tiene dimensión 1, obtenemos una imagen de una curva algebraica típica C presentada 'sobre' P¹(K). Suponiendo que C no sea singular (lo que no supone una pérdida de generalidad a partir de K(C)), se puede demostrar que tal racional el mapa de C a P¹(K) de hecho estará definido en todas partes. (Ese no es el caso si hay singularidades, ya que, por ejemplo, un punto doble donde una curva se cruza a sí misma puede dar un resultado indeterminado después de un mapa racional). Cuadro en el que el principal rasgo geométrico es la ramificación.

Muchas curvas, por ejemplo las curvas hiperelípticas, pueden presentarse de forma abstracta, como cubiertas ramificadas de la línea proyectiva. Según la fórmula de Riemann-Hurwitz, el género depende sólo del tipo de ramificación.

Una curva racional es una curva que es biracionalmente equivalente a una línea proyectiva (ver variedad racional); su género es 0. Una curva normal racional en el espacio proyectivo Pⁿ es una curva racional que no se encuentra en ningún subespacio lineal adecuado; se sabe que existe un solo ejemplo (hasta equivalencia proyectiva), dado paramétricamente en coordenadas homogéneas como

[1] t: t²: tⁿ].

Ver cúbico retorcido para ver el primer caso interesante.