Coálgebra

En matemáticas, coalgebras o cogebras son estructuras que son duales (en el sentido teórico de categorías de flechas invertidas) a álgebras unitarias asociativas. Los axiomas de las álgebras asociativas unitarias se pueden formular en términos de diagramas conmutativos. Dando la vuelta a todas las flechas, se obtienen los axiomas de coalgebras. Toda coalgebra, por dualidad (espacial vectorial), da lugar a un álgebra, pero no en general a la inversa. En dimensiones finitas, esta dualidad va en ambas direcciones (ver más abajo).

Las coálgebras ocurren naturalmente en varios contextos (por ejemplo, la teoría de la representación, las álgebras envolventes universales y los esquemas de grupo).

También existen F-coalgebras, con importantes aplicaciones en informática.

Discusión informal

Un ejemplo frecuentemente recurrente de los álgebras ocurre en la teoría de la representación, y en particular, en la teoría de la representación del grupo de rotación. Una tarea primaria, de uso práctico en física, es obtener combinaciones de sistemas con diferentes estados de impulso angular y giro. Para ello, se utilizan los coeficientes Clebsch-Gordan. Dados dos sistemas A,B{displaystyle A,B} con momento angulara jA{displaystyle J_{A} y jB{displaystyle J_{B}, una tarea particularmente importante es encontrar el impulso angular total jA+jB{displaystyle j_{A}+j_{B} dado el estado combinado SilencioA.. ⊗ ⊗ SilencioB.. {displaystyle tenciónArangle otimes НBrangle }. Esto es proporcionado por el operador de impulso angular total, que extrae la cantidad necesaria de cada lado del producto tensor. Puede ser escrito como un producto tensor "externo"

J↑ ↑ j⊗ ⊗ 1+1⊗ ⊗ j{displaystyle mathbf {J} equiv mathbf {j} otimes 1+1otimes mathbf {j}

La palabra "externa" aparece aquí, en contraste con el "interno" producto tensorial de un álgebra tensorial. Un álgebra tensorial viene con un producto tensorial (el interno); también se puede equipar con un segundo producto tensor, el "externo" uno, o el coproducto, que tiene la forma anterior. Se enfatiza que son dos productos diferentes recordando que el producto tensorial interno de un vector y un escalar es solo una simple multiplicación escalar. El producto externo los mantiene separados. En este escenario, el coproducto es el mapa

Δ Δ :J→ → J⊗ ⊗ J{displaystyle Delta:Jto Jotimes J}

que toma

Δ Δ :j↦ ↦ j⊗ ⊗ 1+1⊗ ⊗ j{displaystyle Delta:mathbf {j} mapsto mathbf {j} otimes 1+1otimes mathbf {j}

Por este ejemplo, J{displaystyle J} se puede tomar como una de las representaciones de giro del grupo de rotación, siendo la representación fundamental la elección de sentido común. Este coproducto se puede levantar a todo el álgebra de tensor, por un simple lema que se aplica a los objetos libres: el álgebra de tensor es un álgebra libre, por lo tanto, cualquier homomorfismo definido en un subconjunto se puede extender a todo el álgebra. Examinando el levantamiento en detalle, se observa que el coproducto se comporta como el producto del shuffle, esencialmente porque los dos factores arriba, la izquierda y la derecha j{displaystyle mathbf {j} debe mantenerse en orden secuencial durante los productos de múltiples momenta angular (las rotaciones no son conmutativas).

La forma peculiar de tener j{displaystyle mathbf {j} aparecen sólo una vez en el coproducto, en lugar de (por ejemplo) definir j↦ ↦ j⊗ ⊗ j{displaystyle mathbf {j} mapsto mathbf {j} otimes mathbf {j} es para mantener la linealidad: por este ejemplo, (y para la teoría de la representación en general), el coproducto Debe Sé lineal. Como regla general, el coproducto en la teoría de la representación es reducible; los factores son dados por la regla Littlewood-Richardson. (La regla Littlewood-Richardson transmite la misma idea que los coeficientes Clebsch-Gordan, pero en un entorno más general).

La definición formal de la coálgebra, a continuación, abstrae este caso especial particular y sus propiedades requeridas en un entorno general.

Definición formal

Formalmente, una coalgebra sobre un campo K es un espacio vectorial C sobre K junto con aplicaciones K-lineales Δ: C → C ⊗ C y ε: C → K tales que

1. ()idC⊗ ⊗ Δ Δ )∘ ∘ Δ Δ =()Δ Δ ⊗ ⊗ idC)∘ ∘ Δ Δ {displaystyle (mathrm {id} _{C}otimes Delta)circ Delta =(Delta otimes mathrm {id} _{C})circ Delta }
2. ()idC⊗ ⊗ ε ε )∘ ∘ Δ Δ =idC=()ε ε ⊗ ⊗ idC)∘ ∘ Δ Δ {displaystyle (mathrm {id} _{C}otimes varepsilon)circ Delta =mathrm {id} _{C}=(varepsilon otimes mathrm {id} _{C})circ Delta }.

(Aquí ⊗ se refiere al producto tensorial sobre K e id es la función identidad).

De manera equivalente, los siguientes dos diagramas conmutan:

En el primer diagrama, C ⊗ (C ⊗ C) se identifica con (C ⊗ C) ⊗ C; los dos son naturalmente isomorfos. De manera similar, en el segundo diagrama, los espacios naturalmente isomorfos C, C ⊗ K y K ⊗ C están identificados.

El primer diagrama es el dual del que expresa la asociatividad de la multiplicación algebraica (llamada coasociatividad de la comultiplicación); el segundo diagrama es el dual del que expresa la existencia de una identidad multiplicativa. En consecuencia, el mapa Δ se denomina comultiplicación (o coproducto) de C y ε es el counit de C.

Ejemplos

Tome un conjunto arbitrario S y forme el espacio vectorial K C = K^(S) con base S, como sigue. Los elementos de este espacio vectorial C son aquellas funciones de S a K que mapean todos menos un número finito de elementos de S a cero; identifique el elemento s de S con la función que asigna s a 1 y todos los demás elementos de S a 0. Definir

Δ(s) s ⊗ s y ε(s) = 1 para todos s dentro S.

Por linealidad, tanto Δ como ε pueden extenderse únicamente a todo C. El espacio vectorial C se convierte en una coalgebra con comultiplicación Δ y counidad ε.

Como segundo ejemplo, considere el anillo polinomial K[X] en un indeterminado X. Esto se convierte en una coalgebra (la coalgebra de potencia dividida) si para todo n ≥ 0 se define:

Δ Δ ()Xn)=.. k=0n()nk)Xk⊗ ⊗ Xn− − k,{displaystyle Delta (X^{n}=sum ¿Qué? #X^{k}otimes X^{n-k},}

0end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ()Xn)={}1sin=00sin■0{displaystyle varepsilon (X^{n})={begin{cases}1 {mbox{if - No.0end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/843031e952a5b7c9ead78754ceb84ff2dbf05edf" style="vertical-align: -2.505ex; width:22.781ex; height:6.176ex;"/>

Nuevamente, debido a la linealidad, esto es suficiente para definir Δ y ε de manera única en todos los K[X]. Ahora K[X] es tanto un álgebra asociativa unitaria como una coalgebra, y las dos estructuras son compatibles. Los objetos como este se denominan biálgebras y, de hecho, la mayoría de las coalgebras importantes consideradas en la práctica son biálgebras.

Los ejemplos de coalgebras incluyen el álgebra tensorial, el álgebra exterior, las álgebras de Hopf y las biálgebras de Lie. A diferencia del caso polinomial anterior, ninguno de estos es conmutativo. Por lo tanto, el coproducto se convierte en el producto aleatorio, en lugar de la estructura de poder dividida dada anteriormente. El producto aleatorio es apropiado porque conserva el orden de los términos que aparecen en el producto, como lo necesitan las álgebras no conmutativas.

La homología singular de un espacio topológico forma una coalgebra graduada siempre que se cumpla el isomorfismo de Künneth, p. si los coeficientes se toman como un campo.

Si C es el espacio vectorial K con base {s, c}, considere Δ: C → C ⊗ C viene dado por

Δ(s) s ⊗ c + c ⊗ s

Δ(c) c ⊗ c − s ⊗ s

y ε: C → K viene dado por

ε(s) = 0

ε(c) = 1

En esta situación, (C, Δ, ε) es una coalgebra conocida como coalgebra trigonométrica.

Para un poset localmente finito P con un conjunto de intervalos J, defina la coalgebra de incidencia C con J como base. La comultiplicación y la counidad se definen como

Δ Δ [x,z]=.. Sí.▪ ▪ [x,z][x,Sí.]⊗ ⊗ [Sí.,z]parax≤ ≤ z.{displaystyle Delta [x,z]=sum _{yin [x,z]}[x,y]otimes [y,z]{text{ for }xleq z.}

ε ε [x,Sí.]={}1six=Sí.,0sixل ل Sí..{displaystyle varepsilon [x,y]={begin{cases}1 sentimiento{if }x=y, âtext{if }xneq y.end{cases}

Los intervalos de longitud cero corresponden a puntos de P y son elementos similares a grupos.

Dimensiones finitas

En dimensiones finitas, la dualidad entre álgebras y coalgebras es más estrecha: el dual de un álgebra de dimensión finita (asociativa unitaria) es una coalgebra, mientras que el dual de una cogebra de dimensión finita es un álgebra (asociativa unitaria). En general, el dual de un álgebra puede no ser una coalgebra.

El punto clave es que en dimensiones finitas, (A ⊗ A)^∗ y A^∗ ⊗ A^∗ son isomorfos.

Para distinguirlos: en general, el álgebra y la coálgebra son nociones duales (lo que significa que sus axiomas son duales: invertir las flechas), mientras que para dimensiones finitas, también son objetos (lo que significa que una coalgebra es el objeto dual de un álgebra y viceversa).

Si A es un K-álgebra asociativa unitaria de dimensión finita, entonces su K-dual A^∗ que consiste en todos los mapas lineales K de A a K es una coalgebra. La multiplicación de A se puede ver como un mapa lineal A ⊗ A → A, que cuando se dualiza produce un mapa lineal A^∗ → (A ⊗ A)^∗. En el caso de dimensión finita, (A ⊗ A)^∗ es naturalmente isomorfo a A^∗ ⊗ A^∗, por lo que esto define un comultiplicación en A^∗. La unidad de A^∗ se obtiene evaluando funcionales lineales en 1.

Notación Sweedler

Al trabajar con coalgebras, cierta notación para la comultiplicación simplifica considerablemente las fórmulas y se ha vuelto bastante popular. Dado un elemento c de la coalgebra (C, Δ, ε), existen elementos c^(i )
₍₁₎ y c^{( i )}
₍₂₎ en C tal que

Δ Δ ()c)=.. ic()1)()i)⊗ ⊗ c()2)()i){displaystyle Delta (c)=sum _{i}c_{(1)}{(i)}otimes c_{(2)}^{(i)}}

Tenga en cuenta que ni el número de términos en esta suma, ni los valores exactos de cada uno c()1)()i){displaystyle c_{(1)} {(i)}} o c()2)()i){displaystyle c_{(2)} {i)}}, están determinados por c{displaystyle c}; sólo hay una promesa de que hay términos finitos, y que la suma completa de todos estos términos c()1)()i)⊗ ⊗ c()2)()i){displaystyle c_{(1)} {i)}otimes c_{(2)}{(i)}} tiene el valor correcto Δ Δ ()c){displaystyle Delta (c)}.

En la notación de Sweedler, (llamada así por Moss Sweedler), esto se abrevia como

Δ Δ ()c)=.. ()c)c()1)⊗ ⊗ c()2).{displaystyle Delta (c)=sum _{(c)}c_{(1)}otimes c_{(2)}

El hecho de que ε sea una unidad se puede expresar con la siguiente fórmula

c=.. ()c)ε ε ()c()1))c()2)=.. ()c)c()1)ε ε ()c()2)).{displaystyle c=sum _{(c)}varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=sum _{(c)}c_{(1)}varepsilon (c_{(2)};}

Aquí se entiende que las sumas tienen el mismo número de términos, y las mismas listas de valores para c()1){displaystyle c_{(1)} y c()2){displaystyle c_{(2)}, como en la suma anterior para Δ Δ ()c){displaystyle Delta (c)}.

La coasociación de Δ se puede expresar como

.. ()c)c()1)⊗ ⊗ ().. ()c()2))()c()2))()1)⊗ ⊗ ()c()2))()2))=.. ()c)().. ()c()1))()c()1))()1)⊗ ⊗ ()c()1))()2))⊗ ⊗ c()2).{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {c_{}}c_{}}c_{(1)} {c_{(1)}c_right)=sum _{}c_{} {c_{(1)}} {c_{}} {c_}}}}} {c_p]

En la notación de Sweedler, ambas expresiones se escriben como

.. ()c)c()1)⊗ ⊗ c()2)⊗ ⊗ c()3).{displaystyle sum _{(c)}c_{(1)}otimes c_{(2)}otimes c_{(3)}.}

Algunos autores también omiten los símbolos de suma; en esta notación de Sweedler sin suma, uno escribe

Δ Δ ()c)=c()1)⊗ ⊗ c()2){displaystyle Delta (c)=c_{(1)}otimes c_{(2)}

y

c=ε ε ()c()1))c()2)=c()1)ε ε ()c()2)).{displaystyle c=varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}varepsilon (c_{(2)}).;}

Siempre que se encuentra una variable con índice reducido y entre paréntesis en una expresión de este tipo, se implica un símbolo de suma para esa variable.

Otros conceptos y hechos

Un coalgebra ()C, Δ, ε) se llama co-commutative si σ σ ∘ ∘ Δ Δ =Δ Δ {displaystyle sigma circ Delta =Delta }, donde σ: C ⊗ C → C ⊗ C es K- mapa lineal definido por σ()c ⊗ d) d ⊗ c para todos c, d dentro C. En la nota de Sweedler, C es co-commutante si y sólo si

c()1)⊗ ⊗ c()2)=c()2)⊗ ⊗ c()1){displaystyle c_{(1)}otimes c_{(2)}=c_{(2)}otimes c_{(1)}

para todo c en C. (Es importante comprender que la suma implícita es significativa aquí: no se requiere que todos los sumandos sean iguales por pares, solo que las sumas sean iguales, un requisito mucho más débil).

Un elemento tipo grupo (o elemento tipo conjunto) es un elemento x tal que Δ(x) = x ⊗ x y ε (x) = 1. Al contrario de lo que sugiere esta convención de nomenclatura, los elementos similares a grupos no siempre forman un grupo y, en general, solo forman un conjunto. Los elementos similares a grupos de un álgebra de Hopf sí forman un grupo. Un elemento primitivo es un elemento x que satisface Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x. Los elementos primitivos de un álgebra de Hopf forman un álgebra de Lie.

Si ()C₁, Δ₁, ε₁) y ()C₂, Δ₂, ε₂) son dos álgebras sobre el mismo campo K, entonces un morfismo coalgebra desde C₁ a C₂ es un K- mapa lineal f: C₁ → C₂ tales que ()f⊗ ⊗ f)∘ ∘ Δ Δ 1=Δ Δ 2∘ ∘ f{displaystyle (fotimes f)circ Delta ¿Qué? Delta _{2}circo f) y ε ε 2∘ ∘ f=ε ε 1{displaystyle epsilon _{2}circ f=epsilon ¿Qué?. En la nota sin suma de Sweedler, la primera de estas propiedades puede ser escrita como:

f()c()1))⊗ ⊗ f()c()2))=f()c)()1)⊗ ⊗ f()c)()2).{displaystyle f(c_{(1)})otimes f(c_{(2)}=f(c)_{(1)}otimes f(c)_{(2)}.}

La composición de dos morfismos de coalgebra es nuevamente un morfismo de coalgebra, y las coalgebras sobre K junto con esta noción de morfismo forman una categoría.

Un subespacio lineal I en C se llama coideal si I ⊆ ker(ε) y Δ(I) ⊆ I ⊗ C + C ⊗ I. En ese caso, el espacio cociente C/I se convierte en una coalgebra de forma natural.

Un subespacio D de C se denomina subcoálgebra si Δ(D) ⊆ D ⊗ D; en ese caso, D es en sí misma una coalgebra, con la restricción de ε a D como unidad.

El núcleo de cada morfismo de coalgebra f: C₁ → C₂ es un coideal en C₁, y la imagen es una subcoálgebra de C₂. Los teoremas comunes de isomorfismo son válidos para coalgebras, por lo que, por ejemplo, C₁/ker(f) es isomorfo a im(f).

Si A es una K-álgebra asociativa unitaria de dimensión finita, entonces A^∗ es una -dimensional coalgebra, y de hecho cada coalgebra de dimensión finita surge de esta manera de algún álgebra de dimensión finita (es decir, del K-dual de la coalgebra). Bajo esta correspondencia, las álgebras conmutativas de dimensión finita corresponden a las coalgebras coconmutativas de dimensión finita. Entonces, en el caso de dimensión finita, las teorías de álgebras y de coalgebras son duales; estudiar uno es equivalente a estudiar el otro. Sin embargo, las relaciones divergen en el caso de dimensión infinita: mientras que el K-dual de cada coálgebra es un álgebra, el K-dual de un álgebra de dimensión infinita no necesita ser una cogebra.

Toda coálgebra es la suma de sus subcoálgebras de dimensión finita, algo que no es cierto para las álgebras. De manera abstracta, las coalgebras son generalizaciones, o duales, de álgebras asociativas unitarias de dimensión finita.

Correspondiente al concepto de representación para álgebras es una correpresentación o comódulo.