Limacon

En geometría, una limaçon o limacon también conocido como limaçon de Pascal o Caracol de Pascal, se define como una curva de ruleta formada por el camino de un punto fijo a un círculo cuando ese círculo rueda alrededor del exterior de un círculo de igual radio. También se puede definir como la ruleta formada cuando un círculo gira alrededor de un círculo con la mitad de su radio para que el círculo más pequeño está dentro del círculo más grande. Por lo tanto, pertenecen a la familia de curvas llamadas trochoides centrados; más específicamente, son epitrocoides. El cardioide es el caso especial en el que el punto que genera la ruleta se encuentra en el círculo rodante; la curva resultante tiene un cusp.

Dependiendo de la posición del punto que genera la curva, puede tener bucles internos y externos (lo que da nombre a la familia), puede tener forma de corazón o puede ser ovalado.

Un limaçon es una curva algebraica bicircular en un plano racional de grado 4.

Historia

Las primeras investigaciones formales sobre las limaçons se atribuyen generalmente a Étienne Pascal, padre de Blaise Pascal. Sin embargo, el artista renacentista alemán Alberto Durero había realizado anteriormente algunas investigaciones esclarecedoras al respecto. La Underweysung der Messung (Instrucción de medición) de Durero contiene métodos geométricos específicos para producir limaçons. La curva fue nombrada por Gilles de Roberval cuando la usó como ejemplo para encontrar rectas tangentes.

Ecuaciones

La ecuación (hasta traslación y rotación) de un limaçon en coordenadas polares tiene la forma

${displaystyle r=b+acos theta.}$

Esto se puede convertir en coordenadas cartesianas multiplicando por r (por la introducción de un punto en el origen que en algunos casos es espurio), y sustitución ${displaystyle ¿Qué?$ y ${displaystyle rcos theta =x}$ para obtener

${displaystyle left(x^{2}+y^{2}-axright)^{2}=b^{2}left(x^{2}+y^{2}right). }$

Aplicando la forma paramétrica de la conversión polar a cartesiana, también tenemos

${displaystyle x=(b+acos theta)cos theta ={a over 2}+bcos theta +{a over 2}cos 2theta}$

${displaystyle y=(b+acos theta)sin theta =bsin theta +{a over 2}sin 2theta;}$

mientras configura

${displaystyle z=x+iy=(b+acos theta)(cos theta +isin theta)}$

produce esta parametrización como una curva en el plano complejo:

${displaystyle z={a over 2}+be^{itheta }+{a over 2}e^{2itheta }$

Si fuéramos a cambiar horizontalmente ${textstyle -{frac {1}{2}a}$, es decir,

${displaystyle z=be^{it}+{a over 2}e^{2it}$,

nosotros, cambiando la ubicación del origen, convertir a la forma habitual de la ecuación de un trochoide centrado. Observe el cambio de variable independiente en este punto para dejar claro que ya no estamos usando la parametrización de coordenadas polares predeterminada ${displaystyle theta =arg z}$.

Casos especiales

En el caso especial ${displaystyle a=b}$, la ecuación polar es

${displaystyle r=b(1+cos theta)=2bcos ^{2}{frac {theta } {2}}$

o

${displaystyle r^{1over 2}=(2b)^{1over 2}cos {frac {theta }{2}}}}$

lo que la convierte en miembro de la familia de curvas espirales sinusoidales. Esta curva es la cardioide.

En el caso especial ${displaystyle a=2b}$, la forma trochoide centrada de la ecuación se convierte

${displaystyle z=bleft(e^{it}+e^{2it}right)=be^{3it over 2}left(e^{it over 2}+e^{-it over 2}right)=2be^{3it over 2}cos {over 2}}}}}}}$

o, en coordenadas polares,

${displaystyle r=2bcos {theta over 3}}$

lo que lo convierte en un miembro de la familia de las rosas curvas. Esta curva es una trisectriz y a veces se la llama limaçon trisectriz.

Formulario

Cuando ${displaystyle b confíaa}$, el limaçon es una simple curva cerrada. Sin embargo, el origen satisface la ecuación cartesiana dada arriba, por lo que el gráfico de esta ecuación tiene un acnodo o punto aislado.

Cuando ${displaystyle b confía2a}$, el área ligada por la curva es convexa, y cuando ${displaystyle a won2a}$, la curva tiene una indentación ligada por dos puntos de inflexión. At ${displaystyle b=2a}$, el punto ${displaystyle (-a,0)}$ es un punto de 0 curvatura.

As ${displaystyle b}$ disminución relativa a ${displaystyle a}$, la indentación se hace más pronunciada hasta, a ${displaystyle b=a}$, la curva se convierte en cardioide, y la indentación se convierte en un cusp. Para ${displaystyle 0 realizadasb$, el cusp se expande a un bucle interior, y la curva se cruza en el origen. As ${displaystyle b}$ enfoques 0, el bucle llena la curva exterior y, en el límite, el limaçon se convierte en un círculo atravesado dos veces.

Medición

El área cerrada por el limaçon ${displaystyle r=b+acos theta }$ es ${textstyle left(b^{2}+{a^{2}over 2}right)pi }$. Cuando ${displaystyle b madea}$ esto cuenta el área encerrada por el bucle interior dos veces. En este caso la curva cruza el origen en ángulos ${textstyle pi pm arccos {b over a}$, el área cerrada por el bucle interior es

${displaystyle left(b^{2}+{a^{2}over 2}right)arccos {b over a}-{3 over 2}b{sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

el área encerrada por el bucle exterior es

${displaystyle left(b^{2}+{a^{2}over 2}right)left(pi -arccos {bover a}right)+{3over 2}b{sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

y el área entre los bucles es

${displaystyle left(b^{2}+{a^{2}over 2}right)left(pi -2arccos {bover a}right)+3b{sqrt {a^{2}-b^{2}}}$

La circunferencia del limaçon viene dada por una integral elíptica completa de segundo tipo:

${displaystyle 4(a+b)Eleft({2{sqrt {ab}}over a+b}right). }$

Relación con otras curvas

• Vamos. ${displaystyle P}$ ser un punto y ${displaystyle C}$ ser un círculo cuyo centro no ${displaystyle P}$. Luego el sobre de esos círculos cuyo centro se encuentra en ${displaystyle C}$ y eso pasa ${displaystyle P}$ es un limaçon.

• Un pedal de un círculo es un limaçon. De hecho, el pedal con respecto al origen del círculo con radio ${displaystyle b}$ y centro ${displaystyle (a,0)}$ tiene ecuación polar ${displaystyle r=b+acos theta }$.

• El inverso con respecto al círculo de unidad ${displaystyle r=b+acos theta }$ es

${displaystyle r={1 over {b+acos theta }$

que es la ecuación de una sección cónica con excentricidad ${displaystyle {tfrac {}{b}}$ y centrarse en el origen. Así un limaçon se puede definir como el inverso de un cónico donde el centro de la inversión es uno de los foci. Si el cónico es una parabola entonces el inverso será un cardioide, si el cónico es una hiperbola entonces el limaçon correspondiente tendrá un bucle interno, y si el cónico es un elipse entonces el limaçon correspondiente no tendrá bucle.

• La concoide de un círculo con respecto a un punto en el círculo es un limaçon.

• Un caso especial particular de un oval cartesiano es un limaçon.