Ley de Snell

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La ley de Snell (también conocida como ley de Snell-Descartes y ley de ibn-Sahl y ley de refracción) es una fórmula utilizada para describir la relación entre los ángulos de incidencia y refracción, cuando se refiere a la luz u otras ondas que pasan a través de un límite entre dos diferentes medios isotrópicos, como agua, vidrio o aire. Esta ley lleva el nombre del astrónomo y matemático holandés Willebrord Snellius (también llamado Snell).

En óptica, la ley se usa en el trazado de rayos para calcular los ángulos de incidencia o refracción, y en óptica experimental para encontrar el índice de refracción de un material. La ley también se cumple en los metamateriales, que permiten que la luz se doble "hacia atrás" en un ángulo de refracción negativo con un índice de refracción negativo.

La ley de Snell establece que, para un par dado de medios, la relación de los senos del ángulo de incidencia θ 1 y el ángulo de refracción θ 2 es igual a la relación de las velocidades de fase (v 1 / v 2) en los dos medios, o de manera equivalente, a los índices de refracción (n 2 / n 1) de los dos medios.{displaystyle {frac {sin theta _{1}}{sin theta _{2}}}={frac {v_{1}}{v_{2}}}={frac {n_ {2}}{n_{1}}}}

La ley se deriva del principio de tiempo mínimo de Fermat, que a su vez se deriva de la propagación de la luz como ondas.

Historia

Ptolomeo, en Alejandría, Egipto, había encontrado una relación con respecto a los ángulos de refracción, pero era inexacta para ángulos que no eran pequeños. Ptolomeo confiaba en haber encontrado una ley empírica precisa, en parte como resultado de alterar ligeramente sus datos para que se ajustaran a la teoría (ver: sesgo de confirmación). Alhazen, en su Libro de la Óptica (1021), estuvo más cerca de descubrir la ley de la refracción, aunque no dio este paso.

La ley que finalmente lleva el nombre de Snell fue descrita con precisión por primera vez por el científico persa Ibn Sahl en la corte de Bagdad en 984. En el manuscrito On Burning Mirrors and Lenses, Sahl usó la ley para derivar formas de lentes que enfocan la luz sin aberraciones geométricas.

La ley fue redescubierta por Thomas Harriot en 1602, quien sin embargo no publicó sus resultados aunque había mantenido correspondencia con Kepler sobre este mismo tema. En 1621, el astrónomo holandés Willebrord Snellius (1580-1626) —Snell— derivó una forma matemáticamente equivalente, que permaneció inédita durante su vida. René Descartes derivó la ley de forma independiente utilizando argumentos heurísticos de conservación del momento en términos de senos en su ensayo Dioprique de 1637., y lo usó para resolver una variedad de problemas ópticos. Rechazando la solución de Descartes, Pierre de Fermat llegó a la misma solución basándose únicamente en su principio del tiempo mínimo. Descartes asumió que la velocidad de la luz era infinita, pero en su derivación de la ley de Snell también asumió que cuanto más denso es el medio, mayor es la velocidad de la luz. Fermat apoyó las suposiciones opuestas, es decir, la velocidad de la luz es finita, y su derivación dependía de que la velocidad de la luz fuera más lenta en un medio más denso. La derivación de Fermat también utilizó su invención de la adecuación, un procedimiento matemático equivalente al cálculo diferencial, para encontrar máximos, mínimos y tangentes.

En su influyente libro de matemáticas Geometría, Descartes resuelve un problema en el que trabajaron Apolonio de Perge y Pappus de Alejandría. Dadas n rectas L y un punto P(L) en cada recta, encuentre el lugar geométrico de los puntos Q tales que las longitudes de los segmentos de recta QP(L) satisfagan ciertas condiciones. Por ejemplo, cuando n = 4, dadas las líneas a, b, c y d y un punto A sobre a, B sobre b, y así sucesivamente, encuentre el lugar geométrico de los puntos Q tal que el producto QA*QB es igual al producto QC*QD. Cuando las rectas no son todas paralelas, Pappus demostró que los lugares geométricos son cónicos, pero cuando Descartes consideró n mayor, obtuvo curvas cúbicas y de mayor grado. Para mostrar que las curvas cúbicas eran interesantes, demostró que surgían naturalmente en óptica a partir de la ley de Snell.

Según Dijksterhuis, "En De natura lucis et proprietate (1662), Isaac Vossius dijo que Descartes había visto el artículo de Snell e inventó su propia prueba. Ahora sabemos que este cargo es inmerecido, pero se ha adoptado muchas veces desde entonces". Tanto Fermat como Huygens repitieron esta acusación de que Descartes había copiado a Snell. En francés, la Ley de Snell se llama "la loi de Descartes" o "loi de Snell-Descartes".

En su Traité de la Lumière de 1678, Christiaan Huygens mostró cómo la ley de los senos de Snell podría explicarse o derivarse de la naturaleza ondulatoria de la luz, utilizando lo que hemos venido a llamar el principio de Huygens-Fresnel.

Con el desarrollo de la teoría óptica y electromagnética moderna, la antigua ley de Snell pasó a una nueva etapa. En 1962, Bloembergen demostró que en el límite del medio no lineal, la ley de Snell debería escribirse en forma general. En 2008 y 2011, también se demostró que las metasuperficies plasmónicas cambian las direcciones de reflexión y refracción del haz de luz.

Explicación

La ley de Snell se usa para determinar la dirección de los rayos de luz a través de medios refractivos con índices de refracción variables. Los índices de refracción de los medios, etiquetados como n_ {1}, n_ {2}etc., se utilizan para representar el factor por el cual la velocidad de un rayo de luz disminuye cuando viaja a través de un medio refractivo, como vidrio o agua, en oposición a su velocidad en el vacío.

A medida que la luz pasa por el borde entre los medios, dependiendo de los índices de refracción relativos de los dos medios, la luz se refractará en un ángulo menor o mayor. Estos ángulos se miden con respecto a la línea normal, representada perpendicularmente al límite. En el caso de que la luz viaje del aire al agua, la luz se refractaría hacia la línea normal, porque la luz se ralentiza en el agua; la luz que viaja del agua al aire se refractaría alejándose de la línea normal.

La refracción entre dos superficies también se conoce como reversible porque si todas las condiciones fueran idénticas, los ángulos serían los mismos para la luz que se propaga en la dirección opuesta.

La ley de Snell generalmente es cierta solo para medios isotrópicos o especulares (como el vidrio). En medios anisotrópicos como algunos cristales, la birrefringencia puede dividir el rayo refractado en dos rayos, el ordinario o rayo o que sigue la ley de Snell y el otro extraordinario o rayo e que puede no ser coplanar con el rayo incidente.

Cuando la luz u otra onda involucrada es monocromática, es decir, de una sola frecuencia, la ley de Snell también se puede expresar en términos de una relación de longitudes de onda en los dos medios, lambda _{1}y lambda _{2}:frac{sintheta_1}{sintheta_2} = frac{v_1}{v_2} = frac{lambda_1}{lambda_2}

Derivaciones y fórmula

La ley de Snell se puede derivar de varias maneras.

Derivación del principio de Fermat

La ley de Snell se puede derivar del principio de Fermat, que establece que la luz viaja por el camino que tarda menos tiempo. Tomando la derivada de la longitud del camino óptico, se encuentra el punto estacionario que da el camino tomado por la luz. (Hay situaciones en las que la luz viola el principio de Fermat al no tomar el camino de menor tiempo, como en el reflejo en un espejo (esférico).) En una analogía clásica, el área de índice de refracción más bajo es reemplazada por una playa, el área de índice de refracción más alto. índice junto al mar, y la manera más rápida para que un rescatista en la playa llegue a una persona que se está ahogando en el mar es correr por un camino que sigue la ley de Snell.

Como se muestra en la figura de la derecha, suponga que el índice de refracción del medio 1 y el medio 2 son n_ {1}y n_ {2}respectivamente. La luz entra en el medio 2 desde el medio 1 a través del punto O.

theta _ {1}es el ángulo de incidencia, theta _ {2}es el ángulo de refracción con respecto a la normal.

Las velocidades de fase de la luz en el medio 1 y el medio 2 sonv_1=c/n_1yv_2=c/n_2respectivamente.

C es la velocidad de la luz en el vacío.

Sea T el tiempo que tarda la luz en viajar desde el punto Q pasando por el punto O hasta el punto P.{displaystyle T={frac {sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{frac {sqrt {b^{2}+(lx)^ {2}}}{v_{2}}}={frac {sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{frac {sqrt {b^ {2}+l^{2}-2lx+x^{2}}}{v_{2}}}}

donde a, b, l y x son como se indica en la figura de la derecha, siendo x el parámetro variable.

Para minimizarlo, se puede diferenciar:frac{dT}{dx}=frac{x}{v_1sqrt{x^2 + a^2}} + frac{ - (l - x)}{v_2sqrt{(lx)^2 + b^2}}=0(punto estacionario)

Tenga en cuenta que frac{x}{sqrt{x^2 + a^2}} =sentheta_1

yfrac{ l - x}{sqrt{(lx)^2 + b^2}}=sintheta_2

Por lo tanto,frac{dT}{dx}=frac{sintheta_1}{v_1} - frac{sintheta_2}{v_2}=0{displaystyle {frac {sin theta _{1}}{v_{1}}}={frac {sin theta _{2}}{v_{2}}}}frac{n_1sintheta_1}{c}=frac{n_2sintheta_2}{c}n_1sintheta_1=n_2sintheta_2

Derivación del principio de Huygens

Alternativamente, la ley de Snell se puede derivar utilizando la interferencia de todos los caminos posibles de la onda de luz desde la fuente hasta el observador; da como resultado una interferencia destructiva en todas partes excepto en los extremos de la fase (donde la interferencia es constructiva), que se convierten en caminos reales.

Derivación de las ecuaciones de Maxwell

Otra forma de derivar la Ley de Snell implica la aplicación de las condiciones de contorno generales de las ecuaciones de Maxwell para la radiación y la inducción electromagnéticas.

Derivación a partir de la conservación de la energía y el momento

Otra forma más de derivar la ley de Snell se basa en consideraciones de simetría de traducción. Por ejemplo, una superficie homogénea perpendicular a la dirección z no puede cambiar el momento transversal. Dado que el vector de propagación { vec {k}}es proporcional al momento del fotón, la dirección de propagación transversal (k_x,k_y,0)debe permanecer igual en ambas regiones. Suponga sin pérdida de generalidad un plano de incidencia en el z, xplano k_{xtext{Región}_1} = k_{xtext{Región}_2}. Utilizando la conocida dependencia del número de onda del índice de refracción del medio, derivamos la ley de Snell inmediatamente.k_{xtext{Región}_1} = k_{xtext{Región}_2} ,n_1 k_0sintheta_1 = n_2 k_0sintheta_2 ,n_1sintheta_1 = n_2sintheta_2 ,

donde k_0=frac{2pi}{lambda_0}=frac{omega}{c}es el número de onda en el vacío. Aunque ninguna superficie es verdaderamente homogénea a escala atómica, la simetría traslacional completa es una excelente aproximación siempre que la región sea homogénea en la escala de la longitud de onda de la luz.

Forma vectorial

Dado un vector de luz normalizado {vec{l}}(que apunta desde la fuente de luz hacia la superficie) y un vector plano normal normalizado vec{n}, uno puede calcular los rayos reflejados y refractados normalizados, a través de los cosenos del ángulo de incidencia theta _ {1}y el ángulo de refracción theta _ {2}, sin usar explícitamente el valores de seno o cualquier función trigonométrica o ángulos:{displaystyle cos theta _{1}=-{vec {n}}cdot {vec {l}}}

Nota: costheta_1debe ser positivo, que lo será si vec{n}es el vector normal que apunta desde la superficie hacia el lado de donde viene la luz, la región con índice n_ {1}. Si costheta_1es negativo, entonces vec{n}apunta hacia el lado sin luz, así que empieza de nuevo con vec{n}reemplazado por su negativo.{displaystyle {vec {v}}_{mathrm {reflejar} }={vec {l}}+2cos theta_{1}{vec {n}}}

Este vector de dirección reflejado apunta hacia el lado de la superficie de donde proviene la luz.

Ahora aplique la ley de Snell a la relación de los senos para obtener la fórmula del vector de dirección del rayo refractado:sintheta_2 = left(frac{n_1}{n_2}right) sintheta_1 = left(frac{n_1}{n_2} right) sqrt{ 1 - left(costheta_1 derecho)^2 }costheta_2 = sqrt{1-(sintheta_2)^2} = sqrt{1 - left(frac{n_1}{n_2} right)^2 left(1 - left( costheta_1 right)^2 right)}{displaystyle {vec {v}}_{mathrm {refractar} }=left({frac {n_{1}}{n_{2}}}right){vec {l}}+ izquierda({frac {n_{1}}{n_{2}}}cos theta _{1}-cos theta _{2}right){vec {n}}}

La fórmula puede parecer más simple en términos de valores simples renombrados r = n_1 / n_2y {displaystyle c=-{vec {n}}cdot {vec {l}}}, evitando cualquier aparición de nombres de funciones trigonométricas o nombres de ángulos:{displaystyle {vec {v}}_{mathrm {refractar} }=r{vec {l}}+left(rc-{sqrt {1-r^{2}left(1-c ^{2}right)}}right){vec {n}}}

Ejemplo:{displaystyle {vec {l}}={0.707107,-0.707107},~{vec {n}}={0,1},~r={frac {n_{1}}{ n_{2}}}=0.9}c = costheta_1=0.707107, ~ sqrt{1 - r^2 left(1 - c^2 right)} = costheta_2 = 0.771362{displaystyle {vec {v}}_{mathrm {reflejar} }={0.707107,0.707107},~{vec {v}}_{mathrm {refractar} }={0.636396,-0.771362 }}

Los valores del coseno se pueden guardar y utilizar en las ecuaciones de Fresnel para calcular la intensidad de los rayos resultantes.

La reflexión interna total se indica mediante un radicando negativo en la ecuación para costheta_2, que solo puede ocurrir para rayos que cruzan en un medio menos denso (n_2 < n_1).

Reflexión interna total y ángulo crítico

Cuando la luz viaja de un medio con un índice de refracción más alto a uno con un índice de refracción más bajo, la ley de Snell parece requerir en algunos casos (siempre que el ángulo de incidencia sea lo suficientemente grande) que el seno del ángulo de refracción sea mayor que uno. Por supuesto, esto es imposible, y la luz en tales casos se refleja completamente en el límite, un fenómeno conocido como reflexión interna total. El ángulo de incidencia más grande posible que todavía da como resultado un rayo refractado se llama ángulo crítico; en este caso, el rayo refractado viaja a lo largo del límite entre los dos medios.

Refracción de la luz en la interfaz entre dos medios.

Por ejemplo, considere un rayo de luz que se mueve del agua al aire con un ángulo de incidencia de 50°. Los índices de refracción del agua y el aire son aproximadamente 1,333 y 1, respectivamente, por lo que la ley de Snell nos da la relaciónsintheta_2 = frac{n_1}{n_2}sintheta_1 = frac{1,333}{1}cdotsinleft(50^circright) = 1,333cdot 0,766 = 1,021,

que es imposible de satisfacer. El ángulo crítico θ crit es el valor de θ 1 para el cual θ 2 es igual a 90°:theta_text{crit} = arcsinleft(frac{n_2}{n_1}sintheta_2right) = arcsinfrac{n_2}{n_1} = 48,6^circ.

Dispersión

En muchos medios de propagación de ondas, la velocidad de las ondas cambia con la frecuencia o la longitud de onda de las ondas; esto es cierto para la propagación de la luz en la mayoría de las sustancias transparentes que no sean el vacío. Estos medios se denominan dispersivos. El resultado es que los ángulos determinados por la ley de Snell también dependen de la frecuencia o la longitud de onda, por lo que un rayo de longitudes de onda mixtas, como la luz blanca, se propagará o dispersará. Tal dispersión de la luz en el vidrio o el agua subyace en el origen de los arco iris y otros fenómenos ópticos, en los que las diferentes longitudes de onda aparecen como diferentes colores.

En los instrumentos ópticos, la dispersión conduce a la aberración cromática; una borrosidad dependiente del color que a veces es el efecto que limita la resolución. Esto era especialmente cierto en los telescopios de refracción, antes de la invención de los objetivos acromáticos.

Medios con pérdidas, absorbentes o conductores

En un medio conductor, la permitividad y el índice de refracción tienen valores complejos. En consecuencia, también lo son el ángulo de refracción y el vector de onda. Esto implica que, mientras que las superficies de fase real constante son planos cuyas normales forman un ángulo igual al ángulo de refracción con la interfase normal, las superficies de amplitud constante, en cambio, son planos paralelos a la interfase misma. Dado que estos dos planos en general no coinciden entre sí, se dice que la onda no es homogénea. La onda refractada se atenúa exponencialmente, con exponente proporcional a la componente imaginaria del índice de refracción.