Lema de Yoneda

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Embedding of categories into functor categories

En matemáticas, el lema de Yoneda es posiblemente el resultado más importante de la teoría de categorías. Es un resultado abstracto sobre funtores del tipo morfismos en un objeto fijo. Es una gran generalización del teorema de Cayley de la teoría de grupos (ver un grupo como una categoría en miniatura con un solo objeto y solo isomorfismos). Permite la incrustación de cualquier categoría localmente pequeña en una categoría de funtores (funtores de valores establecidos contravariantes) definidos en esa categoría. También aclara cómo la categoría incrustada, de funtores representables y sus transformaciones naturales, se relaciona con los otros objetos en la categoría de funtores más grandes. Es una herramienta importante que subyace a varios desarrollos modernos en geometría algebraica y teoría de la representación. Lleva el nombre de Nobuo Yoneda.

Generalidades

La lema Yoneda sugiere que en lugar de estudiar la categoría localmente pequeña $mathcal{C}$ , uno debe estudiar la categoría de todos los functores de $mathcal{C}$ en $mathbf{Set}$ (la categoría de conjuntos con funciones como morfismos). $mathbf{Set}$ es una categoría que creemos que entendemos bien, y un functor de $mathcal{C}$ en $mathbf{Set}$ se puede ver como una "representación" de $mathcal{C}$ en términos de estructuras conocidas. La categoría original $mathcal{C}$ está contenido en esta categoría de functor, pero nuevos objetos aparecen en la categoría de functor, que estaban ausentes y "hidden" en $mathcal{C}$ . Tratar estos nuevos objetos como los antiguos a menudo unifica y simplifica la teoría.

Este enfoque es similar a (y de hecho generaliza) el método común de estudiar un anillo mediante la investigación de los módulos sobre ese anillo. El anillo ocupa el lugar de la categoría $mathcal{C}$ , y la categoría de módulos sobre el anillo es una categoría de functores definidos en $mathcal{C}$ .

Declaración formal

La lema de Yoneda se refiere a los funerarios de una categoría fija $mathcal{C}$ a la categoría de conjuntos, $mathbf{Set}$ . Si $mathcal{C}$ es una categoría localmente pequeña (es decir, los conjuntos hom son conjuntos reales y no clases adecuadas), entonces cada objeto $A$ de $mathcal{C}$ da lugar a un functor natural para $mathbf{Set}$ llamado hom-functor. Este functor está denotado:

{displaystyle h_{A}=mathrm {Hom} (A,-)}

El (covariante) hom-functor ${displaystyle h_{A}}$ envía $X$ al conjunto de morfismos ${displaystyle mathrm {Hom} (A,X)}$ y envía un morfismo ${displaystyle fcolon Xto Y}$ (donde) $X$ y $Y$ son objetos en $mathcal{C}$ ) al morfismo $fcirc -$ (composición con $f$ a la izquierda) que envía un morfismo $g$ dentro ${displaystyle mathrm {Hom} (A,X)}$ al morfismo $fcirc g$ dentro ${displaystyle mathrm {Hom} (A,Y)}$ . Eso es,

{displaystyle h_{A}(f)=mathrm {Hom} (A,f),{text{ or}}}

{displaystyle h_{A}(f)(g)=fcirc g}

El lema de Yoneda dice que:

Lemma(Yoneda)—Vamos $F$ ser un functor de una categoría localmente pequeña $mathcal{C}$ a $mathbf{Set}$ . Entonces para cada objeto $A$ de $mathcal{C}$ , las transformaciones naturales ${displaystyle mathrm {Nat} (h_{A},F)equiv mathrm {Hom} (mathrm {Hom} (A,-),F)}$ desde ${displaystyle h_{A}}$ a $F$ están en una sola correspondencia con los elementos ${displaystyle F(A)}$ . Eso es,

{displaystyle mathrm {Nat} (h_{A},F)cong F(A).}

Además, este isomorfismo es natural en $A$ y $F$ cuando ambos lados son considerados como funerarios de ${displaystyle {mathcal {C}}times mathbf {Set} ^{mathcal {C}}}$ a $mathbf{Set}$ .

Aquí la notación ${displaystyle mathbf {Set} ^{mathcal {C}}}$ denota la categoría de functores de $mathcal{C}$ a $mathbf{Set}$ .

Dada una transformación natural $Phi$ desde ${displaystyle h_{A}}$ a $F$ , el elemento correspondiente ${displaystyle F(A)}$ es ${displaystyle u=Phi _{A}(mathrm {id} _{A})}$ ; y dado un elemento $u$ de ${displaystyle F(A)}$ , la transformación natural correspondiente es dada por ${displaystyle Phi (f)=F(f)(u)}$ .

Versión contravariante

Hay una versión contravariante de la lema de Yoneda, que se refiere a los funerarios contravariantes de $mathcal{C}$ a $mathbf{Set}$ . Esta versión involucra al hom-functor contravariante

{displaystyle h^{A}=mathrm {Hom} (-,A),}

que envía $X$ a la hom-set ${displaystyle mathrm {Hom} (X,A)}$ . Dado un functor contravariante arbitrario $G$ desde $mathcal{C}$ a $mathbf{Set}$ La lema de Yoneda afirma que

{displaystyle mathrm {Nat} (h^{A},G)cong G(A).}

Convenciones de nomenclatura

El uso de ${displaystyle h_{A}}$ para el covariante hom-functor y ${displaystyle h^{A}}$ para el contravariante hom-functor no es completamente estándar. Muchos textos y artículos usan la convención o símbolos completamente no relacionados para estos dos functores. Sin embargo, los textos geometría algebraica más modernos que comienzan con el EGA fundacional de Alexander Grothendieck utilizan la convención en este artículo.

El "caer en algo" mnemónico puede ser útil para recordar que ${displaystyle h_{A}}$ es el covariante hom-functor. Cuando la carta $A$ es caída (es decir, un subscripto) ${displaystyle h_{A}}$ asigna a un objeto $X$ los morfismos de $A$ en $X$ .

Prueba

Desde $Phi$ es una transformación natural, tenemos el siguiente diagrama conmutativo:

Este diagrama muestra que la transformación natural $Phi$ está completamente determinado por $Phi _{A}({mathrm {id}}_{A})=u$ desde para cada morfismo ${displaystyle fcolon Ato X}$ uno tiene

{displaystyle Phi _{X}(f)=(Ff)u.}

Además, cualquier elemento ${displaystyle uin F(A)}$ define una transformación natural de esta manera. La prueba en el caso contravariante es completamente análoga.

La incrustación de Yoneda

Un caso especial importante de la lema de Yoneda es cuando el functor $F$ desde $mathcal{C}$ a $mathbf{Set}$ es otro hom-functor ${displaystyle h_{B}}$ . En este caso, la versión covariante de la lema de Yoneda afirma que

{displaystyle mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})cong mathrm {Hom} (B,A).}

Es decir, las transformaciones naturales entre hom-functores están en correspondencia única con los morfismos (en la dirección inversa) entre los objetos asociados. Dado un morfismo ${displaystyle fcolon Bto A}$ la transformación natural asociada se denota ${displaystyle mathrm {Hom} (f,-)}$ .

Mapping each object $A$ dentro $mathcal{C}$ su hom-functor asociado ${displaystyle h_{A}=mathrm {Hom} (A,-)}$ y cada morfismo ${displaystyle fcolon Bto A}$ a la transformación natural correspondiente ${displaystyle mathrm {Hom} (f,-)}$ determina un functor contravariante ${displaystyle h_{bullet }}$ desde $mathcal{C}$ a ${displaystyle mathbf {Set} ^{mathcal {C}}}$ , la categoría functor de todos los functores (covariantes) de $mathcal{C}$ a $mathbf{Set}$ . Uno puede interpretar ${displaystyle h_{bullet }}$ como un functor covariante:

{displaystyle h_{bullet }colon {mathcal {C}}^{text{op}}to mathbf {Set} ^{mathcal {C}}.}

El significado de la lema de Yoneda en este escenario es que el functor ${displaystyle h_{bullet }}$ es plenamente fiel, y por lo tanto da una incrustación de ${displaystyle {mathcal {C}}^{mathrm {op} }}$ en la categoría de functores a $mathbf{Set}$ . La colección de todos los functores ${displaystyle {h_{A}|Ain C}}$ es una subcategoría de ${displaystyle mathbf {Set} ^{mathcal {C}}}$ . Por lo tanto, Yoneda embedding implica que la categoría ${displaystyle {mathcal {C}}^{mathrm {op} }}$ es isomorfo a la categoría ${displaystyle {h_{A}|Ain C}}$ .

La versión contravariante del lema de Yoneda establece que

{displaystyle mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})cong mathrm {Hom} (A,B).}

Por lo tanto, ${displaystyle h^{bullet }}$ da lugar a un functor covariante de $mathcal{C}$ a la categoría de funerarios contravariantes a $mathbf{Set}$ :

{displaystyle h^{bullet }colon {mathcal {C}}to mathbf {Set} ^{{mathcal {C}}^{mathrm {op} }}.}

La lema de Yoneda declara que cualquier categoría localmente pequeña $mathcal{C}$ puede ser incrustado en la categoría de functores contravariantes de $mathcal{C}$ a $mathbf{Set}$ via ${displaystyle h^{bullet }}$ . Esto se llama Yoneda embedding.

La incrustación de Yoneda a veces se denota con よ, el Hiragana kana Yo.

Funtores representables

La incrustación de Yoneda esencialmente establece que para cada categoría (localmente pequeña), los objetos en esa categoría se pueden representar mediante pregavillas, de manera completa y fiel. Es decir,

{displaystyle mathrm {Nat} (h^{A},P)cong P(A)}

para una pregavilla P. Muchas categorías comunes son, de hecho, categorías de poleas previas, y en una inspección más cercana, resultan ser categorías de poleas, y como tales ejemplos son comúnmente de naturaleza topológica, se puede ver que son topoi en general. El lema de Yoneda proporciona un punto de apoyo mediante el cual se puede estudiar y comprender la estructura topológica de una categoría.

En términos de cálculo (co)final

Dadas dos categorías $mathbf {C}$ y $mathbf{D}$ con dos functores ${displaystyle F,G:mathbf {C} to mathbf {D} }$ , las transformaciones naturales entre ellas pueden ser escritas como el siguiente final.

{displaystyle mathrm {Nat} (F,G)=int _{cin mathbf {C} }mathrm {Hom} _{mathbf {D} }(Fc,Gc)}

Para cualquier functor ${displaystyle Kcolon mathbf {C} ^{op}to mathbf {Sets} }$ y ${displaystyle Hcolon mathbf {C} to mathbf {Sets} }$ las siguientes fórmulas son todas las formulaciones de la Lemma Yoneda.

{displaystyle Kcong int ^{cin mathbf {C} }Kctimes mathrm {Hom} _{mathbf {C} }(-,c),qquad Kcong int _{cin mathbf {C} }(Kc)^{mathrm {Hom} _{mathbf {C} }(c,-)},}

{displaystyle Hcong int ^{cin mathbf {C} }Hctimes mathrm {Hom} _{mathbf {C} }(c,-),qquad Hcong int _{cin mathbf {C} }(Hc)^{mathrm {Hom} _{mathbf {C} }(-,c)}.}

Categorías, anillos y módulos preaditivos

Una categoría preaditiva es una categoría donde los conjuntos de morfismos forman grupos abelianos y la composición de los morfismos es bilineal; ejemplos son categorías de grupos o módulos abelianos. En una categoría preaditiva, hay una "multiplicación" y una "adición" de morfismos, razón por la cual las categorías preaditivas se consideran generalizaciones de anillos. Los anillos son categorías preaditivas con un objeto.

La lema de Yoneda sigue siendo verdadera para las categorías preadditivas si elegimos como nuestra extensión la categoría de aditivo functores contravariantes de la categoría original en la categoría de grupos abelianos; estos son functores compatibles con la adición de morfismos y deben ser pensados como formando un categoría de módulo sobre la categoría original. La lema de Yoneda entonces produce el procedimiento natural para ampliar una categoría preaditiva para que la versión ampliada siga siendo preaditiva — de hecho, la versión ampliada es una categoría abeliana, una condición mucho más poderosa. En el caso de un anillo $R$ , la categoría extendida es la categoría de todos los módulos adecuados sobre $R$ , y la declaración de la lema Yoneda reduce al isomorfismo conocido

{displaystyle Mcong mathrm {Hom} _{R}(R,M)}

para todos los módulos adecuados

M

sobre

R

Relación con el teorema de Cayley

Como se indicó anteriormente, la lema de Yoneda puede considerarse como una vasta generalización del teorema de Cayley de la teoría del grupo. Para ver esto, vamos $mathcal{C}$ ser una categoría con un solo objeto $*$ tal que cada morfismo es un isomorfismo (es decir, un groupoid con un objeto). Entonces... ${displaystyle G=mathrm {Hom} _{mathcal {C}}(*,*)}$ forma un grupo bajo el funcionamiento de la composición, y cualquier grupo puede ser realizado como una categoría de esta manera.

En este contexto, un functor covariante ${displaystyle {mathcal {C}}to mathbf {Set} }$ consiste en un conjunto $X$ y un homomorfismo grupal ${displaystyle Gto mathrm {Perm} (X)}$ , donde ${displaystyle mathrm {Perm} (X)}$ es el grupo de permutaciones de $X$ ; en otras palabras, $X$ es un G-set. Una transformación natural entre tales funerarios es lo mismo que un mapa equivariante entre $G$ -sets: una función de configuración ${displaystyle alpha colon Xto Y}$ con la propiedad que ${displaystyle alpha (gcdot x)=gcdot alpha (x)}$ para todos $g$ dentro $G$ y $x$ dentro $X$ . (En el lado izquierdo de esta ecuación, la $cdot$ denota la acción de $G$ on $X$ , y en el lado derecho la acción en $Y$ .)

Ahora el covariante hom-functor ${displaystyle mathrm {Hom} _{mathcal {C}}(*,-)}$ corresponde a la acción de $G$ en sí mismo por la multiplicación izquierda (la versión contravariante corresponde a lamultiplicación derecha). La lemma Yoneda con ${displaystyle F=mathrm {Hom} _{mathcal {C}}(*,-)}$ declara que

{displaystyle mathrm {Nat} (mathrm {Hom} _{mathcal {C}}(*,-),mathrm {Hom} _{mathcal {C}}(*,-))cong mathrm {Hom} _{mathcal {C}}(*,*)}

es decir, los mapas equivariantes de este $G$ -según sí mismo están en bijección con $G$ . Pero es fácil ver que (1) estos mapas forman un grupo bajo composición, que es un subgrupo de ${displaystyle mathrm {Perm} (G)}$ , y (2) la función que da la bijeción es un homomorfismo de grupo. (En la dirección inversa, se asocia a cada $g$ dentro $G$ el mapa equivariante de la derecha-multiplicación por $g$ .) Así $G$ es isomorfo a un subgrupo de ${displaystyle mathrm {Perm} (G)}$ , que es la declaración del teorema de Cayley.

Historia

Yoshiki Kinoshita declaró en 1996 que el término "Yoneda lemma" fue acuñado por Saunders Mac Lane a raíz de una entrevista que tuvo con Yoneda en la estación Gare du Nord.

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