Grupo cuaternión

Diagrama del ciclo de Q₈. Cada color especifica una serie de poderes de cualquier elemento conectado al elemento de identidad e = 1. Por ejemplo, el ciclo en rojo refleja el hecho de que yo² = e, yo³ = i y yo⁴ = e. El ciclo rojo también refleja que i² = e, i³ = i i⁴ = e.

En la teoría del grupo, quaternion group Q₈ (a veces simplemente denotado por Q) es un grupo no-abeliano de orden ocho, isomorfo al subconjunto de ocho elementos ${displaystyle {1,i,j,k,-1,-i,-j,-k}$ de las quaternions bajo multiplicación. Es dada por la presentación del grupo

${displaystyle mathrm {Q} _{8}=langle {bar {e},i,j,kmid {bar} ## {2}=e,;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk={bar} {e}rangle}$

donde e es el elemento de identidad y e conmuta con los otros elementos del grupo.

Otra presentación de Q8 es

${displaystyle mathrm {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$

Comparado con el grupo diédrico

El grupo de cuaterniones Q₈ tiene el mismo orden que el grupo diédrico D4, pero una estructura diferente, como lo muestran sus gráficos de Cayley y de ciclo:

	Q8	D4
Gráfico de Cayley	Las flechas rojas conectan g→#, conexión verde g→gj.
Gráfico del ciclo

En los diagramas para D₄, los elementos del grupo están marcados con su acción en una letra F en la representación definitoria R². No se puede hacer lo mismo con Q₈, ya que no tiene una representación fiel en R² o R³. D₄ se puede realizar como un subconjunto de los cuaterniones divididos de la misma manera que Q₈ se puede ver como un subconjunto de los cuaterniones.

Mesa Cayley

La tabla de Cayley (tabla de multiplicar) para Q₈ viene dada por:

Propiedades

Los elementos i, j y k tienen orden cuatro en Q₈ y dos cualesquiera de ellos generan todo el grupo. Otra presentación de Q₈ basada en solo dos elementos para evitar esta redundancia es:

${displaystyle leftlangle x,ymid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}rightrangle.}$

Uno puede tomar, por ejemplo, ${displaystyle i=x,j=y,}$ y ${displaystyle k=xy}$.

El grupo cuaternión tiene la propiedad inusual de ser hamiltoniano: Q₈ no es abeliano, pero todos los subgrupos son normales. Cada grupo hamiltoniano contiene una copia de Q₈.

El grupo cuaternión Q₈ y el grupo diédrico D₄ son los dos ejemplos más pequeños de un grupo nilpotente no abeliano.

El centro y el subgrupo de conmutadores de Q₈ es el subgrupo ${displaystyle {e,{bar {}}}}$. El grupo de automorfismo interno de Q₈ es dado por el grupo modulo su centro, es decir, el grupo factor ${displaystyle mathrm {Q} _{8}/{e,{bar {e}}}}$ que es isomorfo para el grupo V de Klein. El grupo de automorfismo completo de Q₈ es isomorfo a S₄, el grupo simétrico sobre cuatro letras (ver Representaciones de matriz abajo), y el grupo de automorfismo externo de Q₈ por lo tanto S₄/V, que es isomorfo a S₃.

Grupo de cuaternión Q₈ tiene cinco clases de conjugación, ${displaystyle {e}, {fnMicrosoft Sans Serif}\fnMicrosoft Sans Serif} {fnK}\fnMicrosoft Sans Serif}$ y así cinco representaciones irreducibles sobre los números complejos, con dimensiones 1, 1, 1, 2,

Representación trivial.

Representaciones de signos con i, j, k-kernel: Q₈ tiene tres subgrupos normales máximos: los subgrupos cíclicos generados por i, j y k respectivamente. Para cada subgrupo normal máximo N, obtenemos una representación unidimensional factorizando a través del grupo de cociente de 2 elementos G/N. La representación envía elementos de N a 1, y elementos fuera de N a −1.

Representación bidimensional: se describe a continuación en Representaciones matriciales.

La tabla de caracteres de Q₈ resulta ser la misma que la de D₄:

Desde los personajes irreducibles ${displaystyle chi _{rho }$ en las filas arriba tienen valores reales, esto da la descomposición del álgebra de grupo real ${displaystyle G=mathrm {fnK}$ en ideales mínimos de dos caras:

${displaystyle mathbb {R} [mathrm {Q} _{8}=bigoplus _{rho }(e_{rho }),}$

donde los idempotentes ${displaystyle e_{rho }in mathbb {R} [mathrm {Q} _{8}}$ corresponden a los irreducibles:

${displaystyle e_{rho }={frac {dim(rho)}sum _{gin G}chi _{rho }(g^{-1}g,}$

para que

${displaystyle {begin{aligned}e_{text{triv} {tfrac} {1}{8}(e+{bar {e}+i+{bar {}+j+{bar} {J}+k+{bar {k})e_{i{text{-ker} {c}} {tfrac}}} {c}} {i} {i}}}} {i}}}}}}} {i}}}}}}}}}\e_ {i} {i} {i} {i}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\i}}\\\\\\\\\e_i}}}}}}} {i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\i}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {1}{8}(e+{bar {e}+i+{bar {i}-j-{bar {j}-k-{bar {k})e_{j{text{-ker} {c}} {tfrac}} {1}{8}(e+{bar {e}-i-{bar {}+j+{bar} {j}-k-{bar {k})e_{text{-ker} {fnK}}} {tfrac} {1}{8}(e+{bar {e}-i-{bar {i}-j-{bar {J}+k+{bar {k})e_{2} {2} {2} {2e-2{bar {e})={tfrac {1} {2}(e-{bar {e}})end{aligned}}}} {}} {}} {}} {}} {f} {}}} {f}} {f}}}}}}} {f}} {f}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$

Cada uno de estos ideales irreducibles es isomorfo a un álgebra simple central real, los primeros cuatro al campo real ${displaystyle mathbb {R}$. El último ideal ${displaystyle (e_{2})}$ es isomorfo para el campo de las picaduras ${displaystyle mathbb {H}$ por correspondencia:

${displaystyle {begin{aligned}{tfrac {2} {} {} {} {} {}} {}} {fnMicroc {2} {} {} {i-{b}}} {i- {}})} {m}} {m}} {fnMicroc} {} {}}}} {}}}} {}}}}}}} {m}}}}}} {m}}}}}}}}}} {m}}}}} {m}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}} {m}} {m}}}}} {m}}}}}}}}}} {}}}}}}} {m} {m}}}}}}}}}}} {m}}}} {m}}} {m}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}} {$

Además, el homomorfismo de proyección ${displaystyle mathbb {R} [mathrm {Q} _{8}to (e_{2})cong mathbb {H}$ dado por ${displaystyle rmapsto re_{2}$ tiene el kernel ideal generado por el idempotent:

${displaystyle E_{2}{perp }=e_{1}+e_{text{-ker}}}}= {fnfncip}}+e_{text{-ker}}}}={frac {1}{2}(e+{bar {e}})} {}} {c} {c}} {c} {c}}} {c}}}} {c}}}} {c}}}}} {c}} {c}} {c}} {c}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}}}}} {}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}} {c}} {c}}}} {c}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}}}}} {c}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

por lo que las cuaterniones también se pueden obtener como el anillo ${displaystyle mathbb {R} [mathrm {Q} _{8}]/(e+{bar {e})cong mathbb {H}$.

El álgebra de grupo complejo es así ${displaystyle mathbb {C} [mathrm {Q} _{8}]cong mathbb {C} {oplus 4}oplus M_{2}(mathbb {C}}$ Donde ${displaystyle M_{2}(mathbb {C})cong mathbb {H} otimes _{mathbb {R}mathbb {C} cong mathbb {H} oplus mathbb {H}$ es el álgebra de biquaternions.

Representaciones de matrices

Mesa de multiplicación del grupo de cuaternión como subgrupo de SL(2,C). Las entradas están representadas por sectores correspondientes a sus argumentos: 1 (verde), i (azul), −1 (rojo), −i (amarillo).

La representación compleja irreducible bidimensional descrita anteriormente da el grupo de cuaternión Q₈ como subgrupo del grupo lineal general ${displaystyle operatorname {GL} (2,mathbb {C})}$. El grupo de cuaternión es un subgrupo multiplicativo del álgebra de cuaternión:

${displaystyle mathbb {H} = 'Mathbb {R} 1+Mathbb {R} i+Mathbb {R} j+Mathbb {R} k=mathbb {C} 1+Mathbb {C} j,}$

que tiene una representación regular ${displaystyle rho:mathbb {H} to operatorname {M} (2,mathbb {C}}$ por multiplicación izquierda por sí misma considerada como un espacio vectorial complejo con base ${displaystyle {1,j},}$ así ${displaystyle zin mathbb {H}$ corresponde a ${displaystyle mathbb {C}$- Cartografía lineal ${displaystyle rho _{z}:a+jbmapsto zcdot (a+jb).}$ La representación resultante

${displaystyle {begin{cases}rho:mathrm {Q} _{8}to operatorname {GL} (2,mathbb {C})glongmapsto rho _{g}end{cases}}$

está dado por:

${beplaystyle {begin{matrix}emapsto {begin{pmatrix}1}0 âTMa âTMa {�}} {begin{pmatrix}} {begin{pmatrix}0}} {begin{pmatrix}i ventaja0� âTMa!!!!-iend{pmatrix} {mmpsto} {begin{pmatrix}0 ventaja!!!!!!-11⁄1 punto0end{pmatrix} {begin{pmatrix}0 â!!!\\\\\\!!!!!cH0end{pmatrix}\\\\\\cH}mapsto} {begin{pmatrix}!!!!!!!!!!!!!!! {begin{pmatrix}!!!!cH0�}}msto {begin{pmatrix}0 âpmatrix}0 âcH001\!!!!!cH0}mcH00} {cH00} {cH00} {cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH009cH00}cH00}cH00}cH00}cH009cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}$

Puesto que todas las matrices anteriores tienen un determinante unitario, esta es una representación de Q₈ en el grupo lineal especial ${displaystyle operatorname {SL} (2,mathbb {C})}$.

Una variante da una representación por matrices unitarias (tabla a la derecha). Vamos ${displaystyle gin mathrm {fnK}$ corresponde a la cartografía lineal ${displaystyle rho _{g}:a+bjmapsto (a+bj)cdot jg^{-1}j^{-1},}$ así ${displaystyle rho:mathrm {Q} _{8}to operatorname {SU} (2)}$ es dado por:

${beplaystyle {begin{matrix}emapsto {begin{pmatrix}1}0 âTMa âTMa {�}} {begin{pmatrix}} {begin{pmatrix}0}} {begin{pmatrix}i ventaja0� âTMa!!!!-iend{pmatrix} {mmpsto} {begin{pmatrix}0 ventaja1\\\\!!!! {begin{pmatrix}mapsto {begin{0end{pmatrix}\{\\fn}mapsto {begin{pmatrix}!!!!!!!!!!!!!!cH0cH0cH0} {cH}}}}}}}} {m}}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}c}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}cccpncipengin {pncipengin{pncipengin{pncip}pncip}pm}pm}pmpncip {begin{pmatrix}!!!cH00��}} {pmatrix}}mapsto {begin{pmatrix}0 âTMa!!!!!111�end {pmatrix}}}}pcH00} {m�mmmmcH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00}cH00cH00cH00cH00cH00$

Vale la pena señalar que los físicos utilizan exclusivamente una convención diferente para la ${displaystyle operatorname {SU} (2)}$ representación matriz para hacer contacto con las matrices Pauli habituales:

${begin{begin{matrix} {begin{pmatrix}1}0}=quad ,1_{2times 2} âTMamapsto {begin{pmatrix}0 limit!!!!\\\\\!!!! ################################################################################################################################################################################################################################################################ {begin{pmatrix}0 ventaja!!!-1!1}=-isigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ {begin{pmatrix}!i!cH00}=-isigma ¿Por qué? {begin{pmatrix}!!!cH00�}!!!!!_______## 2}{overline {i}mapsto {begin{pmatrix},,,,,,,, isigma _{x}{\overline {j}mapsto {begin{pmatrix}0 â!!!!!!cH0cH00}cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00}cH00\cH00cH00}cH00 {begin{pmatrix},,,,,,fnMicrosoft Sans Serif}}=,,,,,, isigma _{z}end{matrix}}}$

Esta opción particular es conveniente y elegante cuando se describe los estados spin-1/2 en el ${displaystyle ({vec {}}{2},J_{z}}$ base y considera operadores de escaleras angulares ${displaystyle J_{pm }=J_{x}pm iJ_{y}$

Mesa de multiplicación del grupo de cuaternión como subgrupo de SL(2,3). Los elementos de campo se denotan 0, +, −.

También hay una acción importante de Q₈ en el espacio vectorial de 2 dimensiones sobre el campo finito ${displaystyle mathbb {F} ¿Qué?$ (cuadro a la derecha). Una representación modular ${displaystyle rho:mathrm {Q} _{8}to operatorname {SL} (2,3)}$ es dado por

${beplaystyle {begin{matrix}emapsto {begin{pmatrix}1}0 âTMa âTMa {�}} {begin{pmatrix}} {begin{pmatrix}0}} {begin{pmatrix}1⁄11}]!!!!-1end{pmatrix} {mapsto} {begin{pmatrix}!!!!-1 {begin{pmatrix}0 âTMa!!!!!!\11}\\{e}mapsto {begin{pmatrix}!!!!!!!!!!!!!!cH0}cH0}cH0}cH0}cH0}cH0}cH0}ccH0}cH0}cH0}cH0}cH0}cH0}cH0}cccc}ccccc}cccH0}cH0}cH0}cccccccccH0cH0}cH0}cH0}cH0c}ccccccccccH {begin{pmatrix}!!!!!!!!!!!!!!1end{pmatrix}}} {cH00}mcH00}mcH00cH00cH00}mcH00cH00cH00}cH00cH00cH00cH00cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00}cH00cH00}cH00cH00}cH00cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00}cH00}cH$

Esta representación se puede obtener del campo de extensión:

${displaystyle mathbb {F} _{9}=mathbb {F} _{3}=Mathbb {F} _{3}1+mathbb {F} _{3}k,}$

Donde ${displaystyle k^{2}=-1}$ y el grupo multiplicador ${fnMicrosoft Sans Serif}$ tiene cuatro generadores, ${displaystyle pm (kpm 1),}$ de orden 8. Para cada uno ${displaystyle zin mathbb {F} _{9},}$ el bidimensional ${displaystyle mathbb {F} _{3}$- Espacio de vehículos ${displaystyle mathbb {F} _{9}$ admite un mapeo lineal:

${displaystyle {begin{cases}mu "Mathbb" {F} _{9}to mathbb {F} _{9}\\\\fnMicrosoft Sans Serif}}}$

Además tenemos el automorfismo Frobenius ${displaystyle phi (a+bk)=(a+bk)^{3}$ satisfacción ${displaystyle phi ^{2}=mu ¿Qué?$ y ${displaystyle phi mu _{z}=mu _{phi (z)}phi.}$ Entonces las matrices de representación anteriores son:

${displaystyle {begin{aligned}rho ({bar {e}} {mu_{-1},\\\rho (i) limit=mu _{k+1}\\rho (j) limit=mu) ¿Por qué?$

Esta representación realiza Q₈ como subgrupo normal de GL(2, 3). Así, para cada matriz ${displaystyle min operatorname {GL} (2,3)}$, tenemos un automorfismo de grupo

${displaystyle {begin{cases}psi ¿Qué? {Q} _{8}to mathrm {Q} _{8}\\\\\\\fnMicrosoft Sans Serif}$

con ${displaystyle psi ¿Qué? ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif}$ De hecho, estos dan al grupo de automorfismo completo como:

${displaystyle operatorname {Aut} (mathrm {Q} _{8})cong operatorname {PGL} (2,3)=operatorname {GL} (2,3)/{pm I}cong S_{4}.$

Esto es isomorfo al grupo simétrico S₄ desde las cartografías lineales ${displaystyle m:mathbb {F} _{2}to mathbb {F} _{2}}$ permute los cuatro subespacios unidimensionales de ${displaystyle mathbb {F} _{3}{2}$ es decir, los cuatro puntos del espacio proyectado ${displaystyle mathbb {P} {mathbb {F} _{3}=operatorname {PG} (1,3). }$

Además, esta representación permuta los ocho vectores no cero de ${displaystyle mathbb {F} _{3}{2}$ dar una incrustación de Q₈ en el grupo simétrico S₈, además de las incrustaciones dadas por las representaciones regulares.

Grupo Galois

Como mostró Richard Dean en 1981, el grupo de cuaterniones se puede presentar como el grupo de Galois Gal(T/Q) donde Q es el campo de los números racionales y T es el campo divisorio sobre Q del polinomio

${displaystyle x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36}$.

El desarrollo utiliza el teorema fundamental de la teoría de Galois al especificar cuatro campos intermedios entre Q y T y sus grupos de Galois, así como dos teoremas de extensión cíclica de grado cuatro sobre un campo.

Grupo de cuaterniones generalizados

Un grupo de cuaterniones generalizado Q_4n de orden 4n está definido por la presentación

${displaystyle langle x,ymid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}rangle }$

para un entero n ≥ 2, con el grupo de cuaternión habitual n 2. Coxeter llama Q_4n el grupo dicíclico ${displaystyle langle 2,2,nrangle }$, un caso especial del grupo de poliedral binario ${displaystyle langle ellm,nrangle }$ y relacionados con el grupo poliedral ${displaystyle (p,q,r)}$ y el grupo dihedral ${displaystyle (2,2,n)}$. El grupo de quaternion generalizado se puede realizar como subgrupo ${displaystyle operatorname {GL} _{2}(mathbb {C})}$ generados por

${displaystyle left {begin{array}{cc}omega ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fn} {fn}fnK}}mbox{ y }left({begin{array}{cc}0 {11}1}end{array}right)}$

Donde ${displaystyle omega ¿Qué? - Sí.$. También se puede realizar como subgrupo de quaternions unitarias generadas por ${displaystyle x=e^{ipi /n}$ y ${displaystyle y=j}$.

Los grupos de cuaterniones generalizados tienen la propiedad de que todo subgrupo abeliano es cíclico. Se puede demostrar que un grupo p finito con esta propiedad (cada subgrupo abeliano es cíclico) es cíclico o un grupo cuaternión generalizado como se define anteriormente. Otra caracterización es que un grupo p finito en el que hay un subgrupo único de orden p es cíclico o isomorfo de 2 grupos al grupo cuaternión generalizado. En particular, para un campo finito F con característica impar, el subgrupo de 2-Sylow de SL₂(F) no es abeliano y tiene solo un subgrupo de orden 2, por lo que este subgrupo de 2-Sylow debe ser un grupo de cuaterniones generalizado (Gorenstein 1980, p. 42). Sea p^r del tamaño de F, donde p es primo, el tamaño del subgrupo 2-Sylow de SL₂(F) es 2ⁿ, donde n = orden₂(p² − 1) + orden₂(r ).

El teorema de Brauer-Suzuki muestra que los grupos cuyos 2 subgrupos de Sylow son cuaterniones generalizados no pueden ser simples.

Otra terminología reserva el nombre "grupo de cuaterniones generalizados" para un grupo dicíclico de orden una potencia de 2, que admite la presentación

${displaystyle langle x,ymid Sí.$