Lema de Poincaré

En matemáticas, el lema de Poincaré da una condición suficiente para que una forma diferencial cerrada sea exacta (mientras que una forma exacta es necesariamente cerrada). Precisamente, afirma que cada forma p cerrada en una bola abierta en Rⁿ es exacta para p con 1 ≤ p ≤ n. El lema fue introducido por Henri Poincaré en 1886.

Especialmente en el cálculo, el Poincaré lemma también dice que cada 1-forma cerrada en un subconjunto abierto simplemente conectado en ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ es exacto.

En el lenguaje de la cohomología, el Poincaré lemma dice que k- el grupo de cohomología de Rham de un subconjunto abierto contractual de un múltiple M (por ejemplo, ${displaystyle M=Mathbb {R} {fn}$) desaparece para ${displaystyle kgeq 1}$. En particular, implica que el complejo de Rham produce una resolución de la hoja constante ${displaystyle mathbb {R} _{M}$ on M. La singular cohomología de un espacio contractual desaparece en grado positivo, pero el Poincaré lemma no sigue de esto, ya que el hecho de que la cohomología singular de un manifold se puede calcular como la cohomología de Rham de ella, es decir, el teorema de Rham, depende de la lema Poincaré. Sin embargo, significa que es suficiente probar el lemma Poincaré para las bolas abiertas; la versión para los manifolds contractuales entonces sigue de la consideración topológica.

El lema de Poincaré es también un caso especial de la invariancia de homotopía de la cohomología de De Rham; de hecho, es común establecer el lema mostrando la invariancia de homotopía o al menos una versión de la misma.

Pruebas

Prueba directa

Demostraremos la lema de un subconjunto abierto ${displaystyle Usubset mathbb {R} {fn}$ que es en forma de estrella o un cono sobre ${displaystyle [0,1]}$; es decir, si ${displaystyle x}$ está dentro. ${displaystyle U}$Entonces ${displaystyle tx}$ está dentro. ${displaystyle U}$ para ${displaystyle 0leq tleq 1}$. Este caso en particular cubre el caso de bola abierta, ya que se puede suponer que una bola abierta se centra en el origen sin pérdida de generalidad.

El truco es considerar formas diferenciales en ${displaystyle Utimes [0,1]subset mathbb {R} ^{n+1}$ (utilizamos ${displaystyle t}$ para la coordinación ${displaystyle [0,1]}$). Primera definición del operador ${displaystyle ¿Qué?$ (llamado la integración de fibra) para k-formas sobre ${displaystyle Utimes [0,1]}$ por

${displaystyle pi _{*}left(sum) - ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? ¿Por qué?$

Donde ${displaystyle Dx^{i}=dx_{i_{1}wedge cdots wedge dx_{i_{k}}$, ${displaystyle alpha ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$ y de manera similar para ${displaystyle dx^{j}$ y ${displaystyle beta _{j}}$. Ahora, por ${displaystyle alpha =f,dtwedge dx^{i}$, desde ${displaystyle dalpha {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué?$, utilizando la diferenciación bajo el signo integral, tenemos:

${displaystyle pi _{*}(dalpha)=-d(pi _{*}alpha _{1}-alpha _{0}-d(pi _{*}alpha)}}$

Donde ${displaystyle alpha _{0},alpha ¿Qué?$ denota las restricciones ${displaystyle alpha }$ a los hiperplanos ${displaystyle t=0,t=1}$ y son cero desde ${displaystyle dt}$ es cero allí. Si ${displaystyle alpha =f,dx^{j}$, entonces un cálculo similar da

${displaystyle pi _{*}(dalpha)=alpha _{1}-alpha _{0}-d(pi _{*}alpha)}$.

Así, la fórmula anterior sostiene para cualquier ${displaystyle k}$-forme ${displaystyle alpha }$ on ${displaystyle Utimes [0,1]}$. Finalmente, vamos ${displaystyle h(x,t)=tx}$ y luego se establece ${displaystyle J=pi ¿Qué?$. Entonces, con la notación ${displaystyle h_{t}=h(cdott)}$, tenemos: para cualquier ${displaystyle k}$-forme ${displaystyle omega }$ on ${displaystyle U}$,

${displaystyle h_{1}{*}omega - ¿Qué? =Jdomega +dJomega}$

la fórmula conocida como la fórmula homotopy. El operador ${displaystyle J}$ se llama el operador de homotopy (también llamado homotopy cadena). Ahora, si ${displaystyle omega }$ está cerrado, ${displaystyle Jdomega =0}$. Por otro lado, ${displaystyle h_{1}{*}omega =omega }$ y ${displaystyle ¿Qué? =0}$. Por lo tanto,

${displaystyle omega =dJomega}$

lo que demuestra el lema de Poincaré.

La misma prueba de hecho muestra el Lemma Poincaré para cualquier subconjunto abierto contractual U de un múltiple. De hecho, dada tal U, tenemos la homotopy ${displaystyle H_{t}$ con ${displaystyle H_{1}=$ la identidad y ${displaystyle h_{0}(U)=}$ Un punto. Aproximadamente tal ${displaystyle H_{t}$Podemos asumir ${displaystyle H_{t}$ es de hecho suave. La integración de la fibra ${displaystyle ¿Qué?$ se define también para ${displaystyle pi:Utimes [0,1]to U}$. Por lo tanto, el mismo argumento pasa.

Prueba utilizando derivados de Lie

La fórmula mágica de Cartan para los derivados de Lie se puede utilizar para dar una prueba corta de la lemma Poincaré. La fórmula afirma que el derivado de Lie a lo largo de un campo vectorial ${displaystyle xi }$ se da como:

${displaystyle L_{xi }=d,i(xi)+i(xi)d}$

Donde ${displaystyle i(xi)}$ denota el producto interior; es decir, ${displaystyle i(xi)omega =omega (xicdot)}$.

Vamos. ${displaystyle ¿Por qué?$ ser una familia suave de mapas suaves para algunos subconjuntos abiertos U de ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ tales que ${displaystyle f_{t}$ se define para t en algún intervalo cerrado I y ${displaystyle f_{t}$ es un diffeomorfismo t en el interior de I. Vamos. ${displaystyle xi _{t}(x)}$ denota los vectores tangentes a la curva ${displaystyle f_{t}(x)}$i.e., ${displaystyle {frac {d}{t}(x)=xi _{t}(f_{t}(x)}$. Para un fijo t en el interior de I, vamos ${displaystyle G_{s}=f_{t+s}circ F_{t} {-1}$. Entonces... ${displaystyle g_{0}=operatorname {id},{frac} {}g_{s=0}=xi ¿Qué?$. Así, por la definición de un derivado de Lie,

${displaystyle (L_{xi _{t}omega)(f_{t}(x)={frac {d} {ds}g_{*}omega (f_{t}(x) {d} {ds}f_{t+s}{*}omega (x) arrest_{s=0}={frac {d} {dt}f_{*}omega (x)}$.

Es decir,

${f} {f} {f} {f}}f}f}f}mega ¿Qué? ¿Qué?$

Assume ${displaystyle I=[0,1]}$. Luego, integrando ambos lados de lo anterior y luego utilizando la fórmula de Cartan y la diferenciación bajo el signo integral, obtenemos: ${displaystyle 0 0 0 0 0 0 0 0 0$,

${displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué? =d ##### ########################################################################################################################################################################################################################################################### ¿Por qué?$

donde la integración significa la integración de cada coeficiente en forma diferencial. Letting ${displaystyle t_{0},t_{1}to 0,1}$, entonces tenemos:

${displaystyle F_{1}{*}omega - ¿Qué? =dJomega +Jdomega }$

con la notación ${displaystyle Jomega =int ##### ###########################################################################################################################################################################################################################################################$

Ahora, asuma ${displaystyle U}$ es una bola abierta con centro ${displaystyle x_{0}$; entonces podemos tomar ${displaystyle f_{t}(x)=t(x-x_{0}+x_{0}$. Entonces la fórmula anterior se convierte en:

${displaystyle omega =dJomega +Jdomega }$,

que prueba el Poincaré lemma cuando ${displaystyle omega }$ está cerrado.

Una prueba estándar del lema de Poincaré utiliza la fórmula de invariancia de homotopía y se puede encontrar aquí, en la sección anterior (cf. Integración a lo largo de fibras#Ejemplo), Singer & Thorpe (1976, págs. 128–132) error de harvtxt: sin destino: CITEREFSingerThorpe1976 (ayuda), Lee (2012), Tu (2011) y Bott & Tú (1982). La forma local del operador de homotopía se describe en Edelen (2005) y la conexión del lema con la forma Maurer-Cartan se explica en Sharpe (1997).

Prueba en el caso bidimensional

En dos dimensiones, el lema de Poincaré se puede demostrar directamente para formas 1 y 2 cerradas de la siguiente manera.

Si ω = p dx + q dy es una forma 1 cerrada en (a, b) × (c, d), luego p_y = q_x. Si ω = df entonces p = f_x y q = f_y. Colocar

${displaystyle g(x,y)=int _{a}{x}p(t,y),dt,}$

de modo que g_x = p. Entonces h = f − g debe satisfacer < i>h_x = 0 y h_y = q − g_y. El lado derecho aquí es independiente de x ya que su derivada parcial con respecto a x es 0. Entonces

${displaystyle h(x,y)=int _{c}{y}q(a,s),ds-g(a,y)=int _{c}^{y}q(a,s),ds,}$

y por lo tanto

${displaystyle f(x,y)=int _{a}{x}p(t,y),dt+int _{c}^{y}q(a,s),ds.}$

Del mismo modo, si Ω = r dx ∧ dy entonces Ω = d(a dx + b dy)< /span> con b_x − a _y = r. Por tanto, una solución viene dada por a = 0 y

${displaystyle b(x,y)=int _{a} {x}r(t,y),dt.}$

Implicaciones para la cohomología de De Rham

Por definición, la k- el grupo de cohomología de Rham ${displaystyle operatorname ¿Qué?$ of an open subset U de un múltiple M se define como el espacio vectorial cociente

${displaystyle operatorname {fnMicrosoft Sans Serif} {closed},k{text{-forms},{textrm {on},U}/{textrm {exact},k{text{-forms},{textrm {on},U}$

Por lo tanto, la conclusión del Poincaré lemma es precisamente que ${displaystyle operatorname ¿Qué?$ para ${displaystyle kgeq 1}$. Ahora, las formas diferenciales determinan un complejo de cochaína llamado el complejo de Rham:

${displaystyle Omega ^{*}:0to Oh, Dios mío. # Omega # {1}{1}cdots to ################################################################################################################################################################################################################################################################$

Donde n = la dimensión de M y ${displaystyle # Omega #$ denota la hoja de diferencial k-formas; es decir, ${displaystyle Omega ^{k}(U)}$ consta de k-formas sobre U para cada subconjunto abierto U de M. Luego da lugar al complejo (el complejo aumentado)

${displaystyle 0to mathbb {R}{M}{overset {epsilon}{to Oh, Dios mío. # Omega # {1}{1}cdots to ################################################################################################################################################################################################################################################################$

Donde ${displaystyle mathbb {R} _{M}$ es la hoja constante con valores en ${displaystyle mathbb {R}$; es decir, es la hoja de funciones y valores reales constantes localmente ${displaystyle epsilon }$ la inclusión.

El núcleo ${displaystyle d^{0}$ es ${displaystyle mathbb {R} _{M}$, ya que las funciones suaves con cero derivados son localmente constantes. Además, una secuencia de cuchillas es exacta si y sólo si es tan localmente. La lema Poincaré dice así que el resto de la secuencia es exacta también (ya que cada punto tiene una bola abierta como un vecindario). En el lenguaje del álgebra homológica, significa que el complejo de Rham determina una resolución de la hoja constante ${displaystyle mathbb {R} _{M}$. Esto implica entonces el teorema de Rham; es decir, la cohomología de Rham de un manifold coincide con la singular cohomología de ella (en resumen, porque la cohomología singular puede ser vista como una cohomología de hojarasca).

Una vez que se conoce el teorema de De Rham, la conclusión del lema de Poincaré se puede obtener de forma puramente topológica. Por ejemplo, implica una versión del lema de Poincaré para conjuntos abiertos simplemente conexos (ver §Caso simplemente conexo).

Estuche simplemente conectado

Especialmente en el cálculo, el Poincaré lemma se declara para un subconjunto abierto simplemente conectado ${displaystyle Usubset mathbb {R} {fn}$. En ese caso, la lema dice que cada una de las formas 1 cerradas U es exacto. Esta versión se puede ver usando la topología algebraica como sigue. El teorema hurewicz racional (o más bien el analógico real de eso) dice que ${displaystyle operatorname [H] _{1}(U;mathbb {R}=0}$ desde entonces U simplemente está conectado. Desde ${displaystyle mathbb {R}$ es un campo, el k- la cohomología ${displaystyle operatorname {H} ^{k}(U;mathbb {R}}$ es el espacio vectorial dual del k- la homología ${displaystyle operatorname {H} _{k}(U;mathbb {R})}$. En particular, ${displaystyle operatorname [H} ^{1}(U;mathbb {R})=0.}$ Por el teorema de Rham (que sigue del Poincaré lemma para bolas abiertas), ${displaystyle operatorname {H} }(U;mathbb {R})}$ es el mismo que el primer grupo de cohomología de Rham (ver §Implication to de Rham cohomology). Por lo tanto, cada 1-forma cerrada U es exacto.

Análogo de geometría compleja

En manifolds complejos, el uso de los operadores Dolbeault ${displaystyle partial }$ y ${displaystyle {bar {fnMicrosoft Sans Serif} }$ para formas diferenciales complejas, que refinan el derivado exterior por la fórmula ${displaystyle d=partial +{bar {partial }}$, llevar a la noción de ${displaystyle {bar {fnMicrosoft Sans Serif} }$- cerrado y ${displaystyle {bar {fnMicrosoft Sans Serif} }$- formas diferenciales exactas. El resultado de exactitud local para tales formas cerradas se conoce como el Dolbeault–Grothendieck lemma (o ${displaystyle {bar {fnMicrosoft Sans Serif} }$-Poincaré lemma). Importantemente, la geometría del dominio sobre el cual ${displaystyle {bar {fnMicrosoft Sans Serif} }$- forma diferencial cerrada ${displaystyle {bar {fnMicrosoft Sans Serif} }$-exacto es más restringido que para el Poincaré lemma, ya que la prueba del Dolbeault–Grothendieck lemma sostiene en un polidisk (un producto de discos en el plano complejo, en el que se puede aplicar la fórmula integral de la Cauchy multidimensional) y existen contraexamples a la lema incluso en los dominios contractuales. El ${displaystyle {bar {fnMicrosoft Sans Serif} }$-Poincaré lemma tiene más generalidad para los dominios pseudoconvex.

Utilizando tanto el Poincaré lemma como el ${displaystyle {bar {fnMicrosoft Sans Serif} }$-Poincaré lemma, un refinado local ${displaystyle partial {bar {fnMicrosoft Sans Serif} }$-Poincaré lemma puede ser probada, que es válida en los dominios sobre los cuales ambos lemas son aplicables. Esta lema declara que ${displaystyle d}$- formas diferenciales complejas cerradas son en realidad local ${displaystyle partial {bar {fnMicrosoft Sans Serif} }$-Exacto (más que solo ${displaystyle d}$ o ${displaystyle {bar {fnMicrosoft Sans Serif} }$-exacto, como implicado por los lemas anteriores).

Lema relativo de Poincaré

El relativa Poincaré lemma generaliza Poincaré lemma de un punto a un submanifold (o algo más general localmente cerrado subset). Dice: V ser un submanifold de un múltiple M y U un barrio tubular V. Si ${displaystyle sigma }$ es un cerrado k-forme sobre U, k ≥ 1, que desaparece V, entonces existe un (k-1)-form ${displaystyle eta }$ on U tales que ${displaystyle deta =sigma}$ y ${displaystyle eta }$ desaparecen V.

El relativo Poincaré lemma se puede probar de la misma manera que se prueba el original Poincaré lemma. Ciertamente, desde U es un barrio tubular, hay un retracto de deformación fuerte suave U a V; es decir, hay una homotopia suave ${displaystyle ¿Qué?$ de la proyección ${displaystyle Uto V}$ a la identidad tal que ${displaystyle H_{t}$ es la identidad V. Entonces tenemos la fórmula de homotopy en U:

${displaystyle ¿Qué?$

Donde ${displaystyle J}$ es el operador de homotopy dado por derivados de Lie o la integración a lo largo de las fibras. Ahora, ${displaystyle h_{0}(U)subset V}$ y así ${displaystyle ¿Qué? =0}$. Desde ${displaystyle dsigma =0}$ y ${displaystyle ¿Qué? =sigma }$, tenemos ${displaystyle sigma =dJsigma }$; Toma ${displaystyle eta =Jsigma }$. Que ${displaystyle eta }$ desaparecen V de la definición J y el hecho ${displaystyle h_{t}(V)subset V}$. (Así que la prueba realmente pasa si U no es un barrio tubular pero si U deformación-retractos a V con Homotopy relativo a V) ${displaystyle square }$

Sobre espacios singulares

El lema de Poincaré generalmente falla en espacios singulares. Por ejemplo, si uno considera formas diferenciales algebraicas en una variedad algebraica compleja (en la topología de Zariski), el lema no es cierto para esas formas diferenciales.

Sin embargo, es probable que las variantes del lema todavía sean válidas para algunos espacios singulares (la formulación y prueba precisas dependen de las definiciones de dichos espacios y de las formas diferenciales no suaves en ellos). Por ejemplo, Kontsevich y Soibelman afirman que el lema es válido para ciertas variantes de diferentes formas (llamadas formas PA) en sus espacios algebraicos por partes.