Las identidades de Green

En matemáticas, Las identidades de Green son un conjunto de tres identidades en el cálculo vectorial referente al grueso con el límite de una región en la que actúan los operadores diferenciales. Son nombrados por el matemático George Green, que descubrió el teorema de Green.

La primera identidad de Green

Esta identidad se deriva del teorema de divergencia aplicado al campo vectorial F = ψ ∇φ mientras usa una extensión de la regla del producto que ∇ ⋅ (ψ X) = ∇ψ ⋅X + ψ ∇⋅X: Sea φ y ψ deben ser funciones escalares definidas en alguna región < i>U ⊂ R^d, y supongamos que φ es dos veces diferenciable de forma continua, y ψ es una vez diferenciable de forma continua. Usando la regla del producto anterior, pero dejando X = ∇φ, integre ∇⋅ (ψ∇φ) sobre U. Entonces

$${displaystyle int _{U}left(psi ,Delta varphi +nabla cdot nabla varphi right),dV=oint _{partial U}psi left(nabla varphi cdot mathbf {n} right),dS=oint _{oint U}psi ,nabla varphi cdot dmathbf {S}$$

Este teorema es un caso especial del teorema de la divergencia y es esencialmente el equivalente de mayor dimensión de la integración por partes con ψ y el gradiente de φ reemplazando u< /span> y v.

Tenga en cuenta que la primera identidad de Green anterior es un caso especial de la identidad más general derivada del teorema de divergencia sustituyendo F = ψ Γ,

$${displaystyle int _{U}left(psi ,nabla cdot mathbf {Gamma } +mathbf {Gamma } cdot nabla psi right),dV=oint _{partial U}left(mathbf {Gamma }cdot U}psi mathbf {Gamma } cdot dmathbf {S} ~$$

La segunda identidad de Green

Si φ y ψ< /span> son dos veces diferenciables continuamente en U ⊂ R³ y ε es una vez continuamente diferenciable, se puede elegir F = ψε ∇φ − φε ∇ψ para obtener

$${displaystyle int _{U}left[psi ,nabla cdot left(varepsilon ,nabla varphi right)-varphi ,nabla cdot left(varepsilon ,nabla psi right)right],dV=oint _{partial U}varepsilon left(psi {partial varphi over partial mathbf {n}-varphi {partial psi over partial mathbf {n}right),dS}$$

Para el caso especial ε = 1 en todo el mundo U ⊂ R³Entonces,

$${displaystyle int _{U}left(psi ,nabla ^{2}varphi -varphi ,nabla ^{2}psi right),dV=oint _{partial U}left(psi {partial varphi over partial mathbf {n}$$

En la ecuación anterior, ∂φ/∂n es la derivada direccional de φ en la dirección de la superficie que apunta hacia afuera normal n de la superficie elemento dS,

$${displaystyle {partial varphi over partial mathbf {n}=nabla varphi cdot mathbf {n} # Nenabla # Álvaro.$$

Incorporar explícitamente esta definición en la segunda identidad del Verde con ε = 1 da como resultado

$${displaystyle int _{U}left(psi ,nabla ^{2}varphi -varphi ,nabla ^{2}psi right),dV=oint _{partial U}left(psi nabla varphi -varphi nabla psi right)cdot dmathbf {S}$$

En particular, esto demuestra que el laplaciano es un operador autoadjunto en el producto interno L² para funciones que desaparecen en el límite de modo que el lado derecho de la identidad anterior es cero.

La tercera identidad de Green

La tercera identidad de Green deriva de la segunda identidad eligiendo φ = G, donde Green& La función G se considera una solución fundamental del operador de Laplace, ∆. Esto significa que:

$${displaystyle Delta G(mathbf {x}{boldsymbol {eta })=delta (mathbf {x} -{boldsymbol {eta })~.}$$

Por ejemplo, en R³, una solución tiene la forma

$${displaystyle G(mathbf {x}{boldsymbol {eta })={frac {-1}{4pi "Primero" - ¿Qué? - ¿Qué?$$

La tercera identidad de Green establece que si ψ es una función que es dos veces diferenciable de forma continua en U, luego

$${fnMicrosoft Sans Serif} - Sí.$$

Surge una simplificación si ψ es en sí misma una función armónica, es decir, una solución a la ecuación de Laplace. Entonces ∇²ψ = 0 y la identidad se simplifica a

$${fnMicrosoft Sans Serif} Bien.$$

El segundo término de la integral anterior se puede eliminar si se elige G como la función de Green que desaparece en el límite de U (condición de límite de Dirichlet),

$${displaystyle psi ({boldsymbol {eta }})=oint _{partial U}psi (mathbf {y}){frac {partial G(mathbf {y}{boldsymbol {eta }}}}}}{partial mathbf {n}}}}} { },dS_{mathbf {y} }~$$

Esta forma se utiliza para construir soluciones a problemas de condiciones de frontera de Dirichlet. Las soluciones para los problemas de condiciones de frontera de Neumann también se pueden simplificar, aunque el teorema de la divergencia aplicado a la ecuación diferencial que define las funciones de Green muestra que la función de Green no puede integrarse a cero en la frontera y, por lo tanto, no puede anularse en la frontera. Perímetro. Consulte las funciones de Green para el laplaciano o para un argumento detallado, con una alternativa.

Se puede verificar además que la identidad anterior también se aplica cuando ψ es una solución de la ecuación de Helmholtz o ecuación de onda y G es la función de Green apropiada. En tal contexto, esta identidad es la expresión matemática del principio de Huygens y conduce a la fórmula de difracción de Kirchhoff y otras aproximaciones.

En colectores

Las identidades de Green se basan en una variedad riemanniana. En este contexto, los dos primeros son

$${displaystyle {begin{aligned}int _{M}u,Delta v,dV+int _{M}langle nabla u,nabla vrangle ,dV reducida=int _{partial M}uNv,d{widetilde {V}\\nMicrosoft Sans Serif},Delta v-v,Delta uright),dV implica=int _{partial M}(uNv-vNu),d{widetilde {V}end{aligned}}}}}}}}}}$$

${displaystyle d{widetilde {V}}$

Identidad vectorial de Green

La segunda identidad de Green establece una relación entre las derivadas de segundo y (la divergencia de) primer orden de dos funciones escalares. En forma diferencial

$${displaystyle p_{m},Delta q_{m}-q_{m}, Delta p_{m}=nabla cdot left(p_{m}nabla ¿Por qué?$$

En la teoría de la difracción vectorial, se introducen dos versiones de la segunda identidad de Green.

Una variante invoca la divergencia de un producto cruzado y establece una relación en términos de la curvatura del campo.

$${fnMicrosoft Sans Serif}cdot leftnabla times mathbf {Q}mathbf {cdot {Q}cdot left(nabla times mathbf {P}derecho)=nabla cdot left(mathtime }$$

Esta ecuación se puede escribir en términos de los laplacianos,

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} }$$

Sin embargo, los términos

$${displaystyle mathbf {Q} cdot left[nabla left(nabla cdot mathbf {P} right)right]-mathbf {P} cdot left[nabla left(nabla cdot mathbf {Q}right)right],}$$

El otro enfoque introduce bivectores; esta formulación requiere una función de Green diádica. La derivación presentada aquí evita estos problemas.

Considere que los campos escalares en la segunda identidad de Green son los componentes cartesianos de los campos vectoriales, es decir,

$${displaystyle mathbf {P} =sum _{m}p_{m}{hat {fnMitbf} }_{m},qquad mathbf {Q} =sum ¿Qué? - Sí.$$

Resumiendo la ecuación para cada componente, obtenemos

$${displaystyle sum ¿Qué? Delta Delta p_{m}right]=sum _{m}nabla cdot left(p_{m}nabla q_{m}-q_{m}nabla p_{m}right). }$$

El LHS según la definición del producto escalar se puede escribir en forma vectorial como

$${displaystyle sum _{m}left[p_{m}, Delta q_{m}-q_{m}, Delta p_{m}right]=mathbf {P} cdot Delta mathbf {Q} -mathbf {Q} cdot Delta mathbf {P}$$

El RHS es un poco más incómodo para expresar en términos de operadores vectoriales. Debido a la distribución del operador de divergencia, la suma de la divergencia es igual a la divergencia de la suma, es decir,

$${displaystyle sum _{m}nabla cdot left(p_{m}nabla q_{m}-q_{m}nabla p_{m}right)=nabla cdot left(sum) ¿Qué? q_{m}-sum ¿Por qué? }$$

Recuerde la identidad del vector para el gradiente de un producto escalar,

$${fnMicrosoft Sans Serif}nMicrosoft Sans$$

$${displaystyle nabla left(mathbf {P} cdot mathbf {Q} right)=nabla sum ¿Qué? ¿Qué? q_{m}+sum ¿Qué?.$$

Este resultado es similar a lo que deseamos avanzar en términos vectoriales 'excepto' para el signo menos. Puesto que los operadores diferenciales en cada término actúan sobre un vector (ensayo) ${displaystyle P_{m}$’s) o el otro (${displaystyle q_{m}$’s), la contribución a cada término debe ser

$${displaystyle sum ¿Qué? q_{m}=left(mathbf {P} cdot nabla right)mathbf {Q} +mathbf {P} times left(nabla times mathbf {Q} right),}$$

$${displaystyle sum ¿Qué? p_{m}=left(mathbf {Q} cdot nabla right)mathbf {P} +mathbf {Q} times left(nabla times mathbf {P} right). }$$

Se puede demostrar rigurosamente que estos resultados son correctos mediante la evaluación de los componentes del vector. Por lo tanto, el RHS se puede escribir en forma vectorial como

$${displaystyle sum ¿Qué? q_{m}-sum ¿Qué? p_{m}=left(mathbf {P} cdot nabla right)mathbf {Q} +mathbf {P} times left(nabla times mathbf {Q}-mathbf {Q} }$$

Juntando estos dos resultados, se obtiene un resultado análogo al teorema de Green para campos escalares,
Teorema de campos vectoriales:

$${displaystyle color {OliveGreen}mathbf {P} cdot Delta mathbf {Q} -mathbf {Q} cdot Delta mathbf {}left {left {mathbf} cdot nabla right)mathbf {Q} +mathbf {P} time$$

La curvatura de un producto cruzado se puede escribir como

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f} {f}cdotcdot nabla right)mathbf {cH0} {cH00}cH0} {cH00}$$

La identidad vectorial de Green se puede reescribir como

$${fnMicrosoft Sans Serif}$$

Dado que la divergencia de un rizo es cero, el tercer término desaparece para producir la identidad vectorial de Green:

$${fnMicrosoft Sans Serif}$$

Con un procedimiento similar, el laplaciano del producto escalar se puede expresar en términos de los laplacianos de los factores

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

Como corolario, los términos incómodos ahora se pueden escribir en términos de una divergencia en comparación con la ecuación vectorial de Green,

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {b} {b}cdot}cdotcdot mathbf} {cdotcdotcdot {cH0}b]$$

Este resultado se puede verificar expandiendo la divergencia de un escalar multiplicada por un vector en el RHS.