Las fórmulas de Vieta

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Coeficientes relativos y raíces de un polinomio

En matemáticas, fórmulas de Vieta relacionan los coeficientes de un polinomio con las sumas y productos de sus raíces. Llevan el nombre de François Viète (más comúnmente referido por la forma latinizada de su nombre, " Franciscus Vieta ").

fórmulas básicas

Cualquier polinomio general de grado n

{displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+cdots +a_{1}x+a_{0}}

a n ل 0

n

r 1, r 2,... r n

r 1, r 2,... r n

{displaystyle {begin{cases}r_{1}+r_{2}+dots +r_{n-1}+r_{n}=-{dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\[1ex](r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+cdots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}+r_{2}r_{4}+cdots +r_{2}r_{n})+cdots +r_{n-1}r_{n}={dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\[1ex]{}quad vdots \[1ex]r_{1}r_{2}cdots r_{n}=(-1)^{n}{dfrac {a_{0}}{a_{n}}}.end{cases}}}

()*)

Las fórmulas de Vieta pueden escribirse de manera equivalente como

<math alttext="{displaystyle sum _{1leq i_{1}<i_{2}<cdots . . 1≤ ≤ i1c)i2c)⋯ ⋯ c)ik≤ ≤ n()∏ ∏ j=1krij)=()− − 1)kan− − kan{displaystyle sum _{1leq i_{1} {2} {cdots {i_{k}leq n}left(prod _{j=1}} {k}r_{i_{j}right)=(-1)^{k}{frac}{c}} {a_{n-k} {a_{n}}} {a_{n}} {a_} {cH} {fn}}} {fn}}}}}} {fn}}} {fn} {fn}}}} {}}}}}} {c}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}<img alt="{displaystyle sum _{1leq i_{1}<i_{2}<cdots

$k = 1, 2,... n$ $i k$ $k$
Los lados izquierdos de las fórmulas de Vieta son los polinomios simétricos elementales de las raíces.
El sistema de Vieta (*) se puede resolver mediante el método de Newton mediante una fórmula iterativa simple explícita, el método de Durand-Kerner.
Generalización a anillos
Las fórmulas de Vieta se utilizan con frecuencia con polinomios con coeficientes en cualquier dominio integral $R$ . Entonces, los cocientes ${displaystyle a_{i}/a_{n}}$ pertenecen al campo de fracciones de $R$ (y posiblemente están en $R$ si ${displaystyle a_{n}}$ es invertible $R$ ) y las raíces ${displaystyle r_{i}}$ se toman en una extensión algebraicamente cerrada. Típicamente, $R$ es el anillo de los enteros, el campo de las fracciones es el campo de los números racionales y el campo algebraicamente cerrado es el campo de los números complejos.
Las fórmulas de Vieta son útiles porque proporcionan relaciones entre las raíces sin tener que calcularlas.
Para los polinomios sobre un anillo conmutativo que no es un dominio integral, las fórmulas de Vieta sólo son válidas cuando ${displaystyle a_{n}}$ no es un divisor cero y ${displaystyle P(x)}$ factores ${displaystyle a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})dots (x-r_{n})}$ . Por ejemplo, en el anillo de los enteros modulo 8, el polinomio cuadrático ${displaystyle P(x)=x^{2}-1}$ tiene cuatro raíces: 1, 3, 5, y 7. Las fórmulas de Vieta no son ciertas si, por ejemplo, ${displaystyle r_{1}=1}$ y ${displaystyle r_{2}=3}$ , porque ${displaystyle P(x)neq (x-1)(x-3)}$ . Sin embargo, ${displaystyle P(x)}$ hace el factor como ${displaystyle (x-1)(x-7)}$ y también como ${displaystyle (x-3)(x-5)}$ , y las fórmulas de Vieta sostienen si nos fijamos ${displaystyle r_{1}=1}$ y ${displaystyle r_{2}=7}$ o ${displaystyle r_{1}=3}$ y ${displaystyle r_{2}=5}$ .
Ejemplo
Fórmulas de Vieta aplicadas a polinomios cuadráticos y cúbicos:
Las raíces ${displaystyle r_{1},r_{2}}$ del polinomio cuadrático ${displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$ satisfacer satisfacción
${displaystyle r_{1}+r_{2}=-{frac {b}{a}},quad r_{1}r_{2}={frac {c}{a}}.}$
La primera de estas ecuaciones se puede utilizar para encontrar el mínimo (o máximo) de $P$ ; ver Ecuación cuadrática § Fórmulas de Vieta.
Las raíces ${displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}$ del polinomio cúbico ${displaystyle P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ satisfacer satisfacción
${displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{frac {b}{a}},quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={frac {c}{a}},quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{frac {d}{a}}.}$
Prueba
Las fórmulas de Vieta se pueden demostrar ampliando la igualdad
${displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})cdots (x-r_{n})}$ ${displaystyle r_{1},r_{2},dotsr_{n}}$ ${displaystyle x.}$
Formalmente, si uno se expande ${displaystyle (x-r_{1})(x-r_{2})cdots (x-r_{n}),}$ los términos son precisamente ${displaystyle (-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},}$ Donde ${displaystyle b_{i}}$ o bien 0 o 1, en consecuencia ${displaystyle r_{i}}$ está incluido en el producto o no, y k es el número de ${displaystyle r_{i}}$ que se incluyen, por lo que el número total de factores en el producto es n (contando ${displaystyle x^{k}}$ con multiplicidad k) - como hay n opciones binarias (incluidos ${displaystyle r_{i}}$ o x), hay ${displaystyle 2^{n}}$ términos – geométricamente, estos pueden entenderse como los vértices de un hipercubo. La agrupación de estos términos por grado produce los polinomios simétricos elementales en ${displaystyle r_{i}}$ para x^k, todos distintos k- productos múltiples ${displaystyle r_{i}.}$
Como ejemplo, considere el cuadrático
${displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}(x-r_{1})(x-r_{2})=a_{2}(x^{2}-x(r_{1}+r_{2})+r_{1}r_{2}).}$

Comparación de poderes idénticos ${displaystyle x}$ , encontramos ${displaystyle a_{2}=a_{2}}$ , ${displaystyle a_{1}=-a_{2}(r_{1}+r_{2})}$ y ${displaystyle a_{0}=a_{2}(r_{1}r_{2})}$ , con el cual podemos identificar por ejemplo ${displaystyle r_{1}+r_{2}=-a_{1}/a_{2}}$ y ${displaystyle r_{1}r_{2}=a_{0}/a_{2}}$ , que son la fórmula de Vieta para ${displaystyle n=2}$ .
Prueba alternativa (inducción matemática)
Las fórmulas de Vieta también se pueden probar por inducción como se muestra a continuación.
Hipótesis inductiva:
Vamos. ${displaystyle {P(x)}}$ ser polinomio de grado ${displaystyle n}$ , con raíces complejas ${displaystyle {r_{1}},{r_{2}},{dots },{r_{n}}}$ y coeficientes complejos ${displaystyle a_{0},a_{1},dotsa_{n}}$ Donde ${displaystyle {a_{n}}neq 0}$ . Entonces la hipótesis inductiva es que
${displaystyle {P(x)}={a_{n}}{x^{n}}+{{a_{n-1}}{x^{n-1}}}+{cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}={{a_{n}}{x^{n}}}-{a_{n}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{cdots }+{{(-1)^{n}}{(a_{n})}{({r_{1}}{r_{2}}{cdots }{r_{n}})}}}$
Caso básico, ${displaystyle n=2}$ (quadratic):
Vamos. ${displaystyle {a_{2}},{a_{1}}}$ ser coeficientes del cuadrático y ${displaystyle a_{0}}$ ser el término constante. Del mismo modo, ${displaystyle {r_{1}},{r_{2}}}$ ser las raíces del cuadrático:
${displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{(x-r_{1})(x-r_{2})}}$ ${displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{({x^{2}}-{r_{1}x}-{r_{2}x}+{r_{1}}{r_{2}})}}$ ${displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{({x^{2}}-{({r_{1}}+{r_{2}}){x}}+{r_{1}}{r_{2}})}}$ ${displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={{a_{2}}{x^{2}}-{{a_{2}}({r_{1}}+{r_{2}}){x}}+{a_{2}}{({r_{1}}{r_{2}})}}}$ ${displaystyle n=2}$
Paso de inducción:
Suponiendo que la hipótesis inductiva sea verdadera para todos ${displaystyle ngeqslant 2}$ , debe ser verdad para todos ${displaystyle n+1}$ .
${displaystyle {P(x)}={a_{n+1}}{x^{n+1}}+{{a_{n}}{x^{n}}}+{cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}}$ ${displaystyle {(x-r_{n+1})}}$ ${displaystyle P(x)}$ ${displaystyle r_{1},r_{2},cdotsr_{n}}$ ${displaystyle {P(x)}={(x-r_{n+1})}{[{frac {{a_{n+1}}{x^{n+1}}+{{a_{n}}{x^{n}}}+{cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}}{x-r_{n+1}}}]}}$ ${displaystyle a_{n+1}}$ ${displaystyle P(x)}$ ${displaystyle {P(x)}={(a_{n+{1}})}{(x-r_{n+1})}{[{frac {{x^{n+1}}+{frac {{a_{n}}{x^{n}}}{(a_{n+{1}})}}+{cdots }+{{frac {a_{1}}{(a_{n+{1}})}}{x}}+{frac {a_{0}}{(a_{n+{1}})}}}{x-r_{n+1}}}]}}$ ${displaystyle zeta }$ ${displaystyle P(x)={(a_{n+1})}{(x-r_{n+1})}{[{x^{n}}+{zeta _{n-1}x^{n-1}}+{cdots }+{zeta _{0}}]}}$ ${displaystyle P(x)={(a_{n+1})}{(x-r_{n+1})}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{cdots }{r_{n}})}}]}}$ ${displaystyle P(x)={(a_{n+1})}{({x}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{cdots }{r_{n}})}}]}{-r_{n+1}}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{cdots }{r_{n}})}}]})}}$ ${displaystyle {begin{aligned}{P(x)}={{a_{n+1}}{x^{n+1}}}-{a_{n+1}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{cdots }+{r_{n}}+{r_{n+1}}){x^{n}}}+{cdots }+{{(-1)^{n+1}}{({r_{1}}{r_{2}}{cdots }{r_{n}}{r_{n+1}})}}\end{aligned}}}$ ${displaystyle n+1}$ ${displaystyle forall nin mathbb {N} }$
Conclusión:
${displaystyle {a_{n}}{x^{n}}+{{a_{n-1}}{x^{n-1}}}+{cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}={{a_{n}}{x^{n}}}-{a_{n}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{cdots }{r_{n}})}}}$ ${displaystyle a_{n}}$
Historia
Como refleja el nombre, las fórmulas fueron descubiertas por el matemático francés del siglo XVI François Viète, para el caso de raíces positivas.
En opinión del matemático británico del siglo XVIII Charles Hutton, citado por Funkhouser, el principio general (no restringido a raíces reales positivas) fue entendido por primera vez por el matemático francés Albert Girard del siglo XVII:
...[Girard era] la primera persona que entendía la doctrina general de la formación de los coeficientes de los poderes de la suma de las raíces y sus productos. Fue el primero que descubrió las reglas para sumar los poderes de las raíces de cualquier ecuación.

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