La identidad de roy

Identidad de Roy (llamado después del economista francés René Roy) es un resultado importante en la microeconómica que tiene aplicaciones en la elección del consumidor y la teoría de la firma. El lemma relaciona la función de demanda ordinaria (Marshallian) con los derivados de la función de utilidad indirecta. Específicamente, denotando la función de utilidad indirecta como v()p,w),{displaystyle v(p,w),} la función de demanda Marshall para el bien i{displaystyle i} puede calcularse

xim()p,w)=− − ∂ ∂ v∂ ∂ pi∂ ∂ v∂ ∂ w{displaystyle x_{i}{m}(p,w)=-{frac {frac} {partial v}{partial {fnK}} {fnMicroc {cHFF} {fnMicrosoft {fnh} {fn}} {fnMicroc} {fnMicrosoft {fn} {fn} {fn}}} {fnMicroc} {f}fnMicroc} {f}} {f} {f}f}}}}}}}f}}}}}\f}f}\f}}\\f}\\f}}}\\fn}}}f}f}f}\f}f}f}f}f}fn}f}}f}}\f}\\f}f}f}f}f}f}fn}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fn ♪

Donde p{displaystyle p} es el precio vector de bienes y w{displaystyle w} es ingresos, y donde el superscripto m{displaystyle {} {} {}}} {fnMicrosoft}} indica la demanda de Marshall. El resultado corresponde a funciones de utilidad continuas que representan relaciones de preferencia localmente no satisfechas y estrictamente convexas en un conjunto de consumo convexo, bajo el requisito adicional de que la función de utilidad indirecta es diferente en todos los argumentos.

La identidad de Roy es similar al resultado de que las derivadas de precios de la función de gasto dan las funciones de demanda hicksianas. El paso adicional de dividir por la derivada de riqueza de la función de utilidad indirecta en la identidad de Roy es necesario ya que la función de utilidad indirecta, a diferencia de la función de gasto, tiene una interpretación ordinal: cualquier transformación estrictamente creciente de la función de utilidad original representa la mismas preferencias.

Derivación de la identidad de Roy

La identidad de Roy reformula la lema de Shephard para conseguir una función de demanda Marshall para un individuo y un bien (i{displaystyle i}) de alguna función de utilidad indirecta.

El primer paso es considerar la identidad trivial obtenida sustituyendo la función de gasto en riqueza o ingresos w{displaystyle w} en la función de utilidad indirecta v()p,w){displaystyle v(p,w)}, en una utilidad de u{displaystyle u}:

v()p,e()p,u))=u{displaystyle v(p,e(p,u)=u}

Esto dice que la función de utilidad indirecta evaluó de tal manera que minimiza el costo para lograr una determinada utilidad dada un conjunto de precios (un vector) p{displaystyle p}) es igual a esa utilidad cuando se evalúa a esos precios.

Tomando el derivado de ambos lados de esta ecuación con respecto al precio de un solo bien pi{displaystyle P_{i} (con el nivel de utilidad mantenido constante) da:

∂ ∂ v[p,e()p,u)]∂ ∂ w∂ ∂ e()p,u)∂ ∂ pi+∂ ∂ v[p,e()p,u)]∂ ∂ pi=0{fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {f}}} {f}}fnMicroc}fnMicroc}fnMicroc}fnMicroc}fnMicroc {fnMicroc {fnMicroc}fnMicrocfnMicroc}fnMicrocfnMicroc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}fnMicroc}f}}}fnMicrocfnMicrocfnMicroc {fnMicroc {fnMicroc {f}fn {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué?.

Reorganizar da el resultado deseado:

− − ∂ ∂ v[p,e()p,u)]∂ ∂ pi∂ ∂ v[p,e()p,u)]∂ ∂ w=∂ ∂ e()p,u)∂ ∂ pi=hi()p,u)=xi()p,e()p,u)){displaystyle -{frac {frac {partial v[p,e(p,u)}{partial {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}}}} {f}}} {f}}} {f}}}}}}}}}}}} {fnMicrocfnMicrocf} {fnMicrocfnMicroc\fnMicrocfnMicrocf}}}}}fnMicrocfnMicroc {fnMicrocfnMicroc {fnMicrocfnMicroc {fnMicroc {fnMicrocfnMicroc {fnMicroc {fnMicroc {f}fn ¿Qué? p_{i}=h_{i}(p,u)=x_{i}(p,e(p,u)}

con la penúltima igualdad derivada del lema de Shephard y la última igualdad de una propiedad básica de la demanda hicksiana.

Demostración alternativa utilizando el teorema de la envolvente

Para facilitar la exposición, considere el caso de dos bienes. Función de utilidad indirecta v()p1,p2,w){displaystyle v(p_{1},p_{2},w)} es la función de valor del problema de optimización limitada caracterizado por el siguiente Lagrangian:

L=u()x1,x2)+λ λ ()w− − p1x1− − p2x2){displaystyle {mathcal {}=u(x_{1},x_{2}+lambda (w-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}}

Por el teorema de sobre, los derivados de la función de valor v()p1,p2,w){displaystyle v(p_{1},p_{2},w)} con respecto a los parámetros son:

∂ ∂ v∂ ∂ p1=− − λ λ x1m{fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} vs. ****}=-lambda #

∂ ∂ v∂ ∂ w=λ λ {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} vs. ¿Qué?

Donde x1m{displaystyle # es el maximizador (es decir, la función de demanda Marshall para el bien 1). Por lo tanto:

− − ∂ ∂ v∂ ∂ p1∂ ∂ v∂ ∂ w=− − − − λ λ x1mλ λ =x1m{displaystyle -{frac {frac {partial v}{partial {fnK} {fnMicroc} {fnMicrosoft {fnMicrosoft}} {fnMicroc}} {fnMicroc} {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft}}}} {fnMicroc}} {fnMicroc}}}} {f}}}}}} {f}f}}}f}f}f}fnMicrocfnMicrocf}f}f}f}f}f}f}fnfnfnf}f}f}f}f}f}fnfnfnf}fnf}fnf}fnfnfnf}fnfnfnfnfnfnf}fnf}f}f}}}f}fn vs. {fnMicroc {fnMicroc} x_{1} {m}{lambda }=x_{1} {m}

Aplicación

Esto proporciona un método para derivar la función de demanda marshalliana de un bien para algún consumidor a partir de la función de utilidad indirecta de ese consumidor. También es fundamental para derivar la ecuación de Slutsky.