Economía matemática

La economía matemática es la aplicación de métodos matemáticos para representar teorías y analizar problemas en economía. A menudo, estos métodos aplicados van más allá de la geometría simple y pueden incluir cálculo diferencial e integral, diferencias y ecuaciones diferenciales, álgebra matricial, programación matemática u otros métodos computacionales. Los defensores de este enfoque afirman que permite la formulación de relaciones teóricas con rigor, generalidad y simplicidad.

Las matemáticas permiten a los economistas formular proposiciones comprobables y significativas sobre temas complejos y de gran alcance que podrían expresarse informalmente con menos facilidad. Además, el lenguaje de las matemáticas permite a los economistas hacer afirmaciones específicas y positivas sobre temas controvertidos o polémicos que serían imposibles sin las matemáticas. Gran parte de la teoría económica se presenta actualmente en términos de modelos económicos matemáticos, un conjunto de relaciones matemáticas estilizadas y simplificadas afirmadas para aclarar supuestos e implicaciones.

Las aplicaciones amplias incluyen:

• problemas de optimización en cuanto al equilibrio de objetivos, ya sea de un hogar, una empresa comercial o un formulador de políticas
• análisis estático (o de equilibrio) en el que la unidad económica (como un hogar) o el sistema económico (como un mercado o la economía) se modela como si no cambiara
• estática comparativa en cuanto a un cambio de un equilibrio a otro inducido por un cambio en uno o más factores
• análisis dinámico, seguimiento de los cambios en un sistema económico a lo largo del tiempo, por ejemplo, a partir del crecimiento económico.

El modelado económico formal comenzó en el siglo XIX con el uso del cálculo diferencial para representar y explicar el comportamiento económico, como la maximización de la utilidad, una de las primeras aplicaciones económicas de la optimización matemática. La economía se volvió más matemática como disciplina durante la primera mitad del siglo XX, pero la introducción de técnicas nuevas y generalizadas en el período cercano a la Segunda Guerra Mundial, como en la teoría de juegos, ampliaría en gran medida el uso de formulaciones matemáticas en economía.

Esta rápida sistematización de la economía alarmó a los críticos de la disciplina, así como a algunos destacados economistas. John Maynard Keynes, Robert Heilbroner, Friedrich Hayek y otros han criticado el amplio uso de modelos matemáticos para el comportamiento humano, argumentando que algunas elecciones humanas son irreductibles a las matemáticas.

Historia

El uso de las matemáticas al servicio del análisis social y económico se remonta al siglo XVII. Luego, principalmente en las universidades alemanas, surgió un estilo de instrucción que se ocupaba específicamente de la presentación detallada de datos relacionados con la administración pública. Gottfried Achenwall dio una conferencia de esta manera, acuñando el término estadística. Al mismo tiempo, un pequeño grupo de profesores en Inglaterra estableció un método de "razonamiento por cifras sobre cosas relacionadas con el gobierno" y se refirió a esta práctica como Aritmética Política. Sir William Petty escribió extensamente sobre temas que luego preocuparían a los economistas, como los impuestos, la velocidad del dinero y el ingreso nacional, pero si bien su análisis era numérico, rechazó la metodología matemática abstracta. El uso de Petty de datos numéricos detallados (junto con John Graunt) influiría en los estadísticos y economistas durante algún tiempo, aunque los estudiosos ingleses ignoraron en gran medida los trabajos de Petty.

La matematización de la economía comenzó en serio en el siglo XIX. La mayor parte del análisis económico de la época era lo que más tarde se llamaría economía clásica. Los temas se discutían y prescindían por medios algebraicos, pero no se usaba el cálculo. Más importante aún, hasta El estado aislado de Johann Heinrich von Thünen en 1826, los economistas no desarrollaron modelos explícitos y abstractos de comportamiento para aplicar las herramientas de las matemáticas. El modelo de uso de tierras agrícolas de Thünen representa el primer ejemplo de análisis marginal. El trabajo de Thünen fue en gran parte teórico, pero también extrajo datos empíricos para intentar respaldar sus generalizaciones. En comparación con sus contemporáneos, Thünen construyó herramientas y modelos económicos, en lugar de aplicar herramientas anteriores a nuevos problemas.

Mientras tanto, una nueva cohorte de eruditos capacitados en los métodos matemáticos de las ciencias físicas gravitó hacia la economía, abogando y aplicando esos métodos a su materia, y se describe hoy como un movimiento de la geometría a la mecánica. Estos incluyeron a WS Jevons, quien presentó un artículo sobre una "teoría matemática general de la economía política" en 1862, proporcionando un esquema para el uso de la teoría de la utilidad marginal en la economía política. En 1871, publicó Los principios de la economía política, declarando que el tema como ciencia "debe ser matemático simplemente porque trata con cantidades". Jevons esperaba que solo la recopilación de estadísticas de precios y cantidades permitiría que el tema, tal como se presentaba, se convirtiera en una ciencia exacta. Otros precedieron y siguieron en la expansión de las representaciones matemáticas de los problemas económicos.

Marginalistas y las raíces de la economía neoclásica

Augustin Cournot y Léon Walras construyeron las herramientas de la disciplina axiomáticamente en torno a la utilidad, argumentando que los individuos buscaban maximizar su utilidad a través de las elecciones de una manera que pudiera describirse matemáticamente. En ese momento, se pensaba que la utilidad era cuantificable, en unidades conocidas como utils. Cournot, Walras y Francis Ysidro Edgeworth son considerados los precursores de la economía matemática moderna.

Agustín Cournot

Cournot, profesor de matemáticas, desarrolló un tratamiento matemático en 1838 para el duopolio, una condición de mercado definida por la competencia entre dos vendedores. Este tratamiento de la competencia, publicado por primera vez en Researches into the Mathematical Principles of Wealth,se conoce como duopolio de Cournot. Se supone que ambos vendedores tenían igual acceso al mercado y podían producir sus bienes sin costo alguno. Además, supuso que ambos bienes eran homogéneos. Cada vendedor variaría su producción en función de la producción del otro y el precio de mercado estaría determinado por la cantidad total ofrecida. El beneficio de cada empresa se determinaría multiplicando su producción y el precio de mercado por unidad. Derivando la función de beneficio con respecto a la cantidad ofrecida por cada empresa, quedó un sistema de ecuaciones lineales, cuya solución simultánea dio la cantidad, el precio y los beneficios de equilibrio. Las contribuciones de Cournot a la matematización de la economía se pasarían por alto durante décadas, pero finalmente influyeron en muchos de los marginalistas. Los modelos de duopolio y oligopolio de Cournot también representan una de las primeras formulaciones de juegos no cooperativos. Hoy en día, la solución se puede dar como un equilibrio de Nash, pero el trabajo de Cournot precedió a la teoría de juegos moderna por más de 100 años.

Leon walras

Mientras Cournot proporcionó una solución para lo que luego se llamaría equilibrio parcial, Léon Walras intentó formalizar la discusión de la economía como un todo a través de una teoría del equilibrio competitivo general. El comportamiento de cada actor económico se consideraría tanto del lado de la producción como del consumo. Walras presentó originalmente cuatro modelos separados de intercambio, cada uno incluido recursivamente en el siguiente. La solución del sistema de ecuaciones resultante (tanto lineal como no lineal) es el equilibrio general. En ese momento, no se podía expresar una solución general para un sistema de muchas ecuaciones arbitrarias, pero los intentos de Walras produjeron dos resultados famosos en economía. La primera es la ley de Walras y la segunda es el principio de tâtonnement. El método de Walras se consideró altamente matemático para la época y Edgeworth comentó extensamente sobre este hecho en su revisión de Éléments d'économie politique pure (Elementos de economía pura).

La ley de Walras se introdujo como una respuesta teórica al problema de determinar las soluciones en equilibrio general. Su notación es diferente de la notación moderna, pero se puede construir utilizando una notación de suma más moderna. Walras supuso que, en equilibrio, todo el dinero se gastaría en todos los bienes: cada bien se vendería al precio de mercado de ese bien y cada comprador gastaría su último dólar en una canasta de bienes. A partir de esta suposición, Walras podría demostrar que si hubiera n mercados y n-1 mercados liquidados (condiciones de equilibrio alcanzadas), el n-ésimo mercado también se liquidaría. Esto es más fácil de visualizar con dos mercados (considerados en la mayoría de los textos como un mercado de bienes y un mercado de dinero). Si uno de los dos mercados ha alcanzado un estado de equilibrio, no hay bienes adicionales (o por el contrario, dinero) puede entrar o salir del segundo mercado, por lo que también debe estar en un estado de equilibrio. Walras usó esta declaración para avanzar hacia una prueba de la existencia de soluciones para el equilibrio general, pero hoy en día se usa comúnmente para ilustrar el equilibrio del mercado en los mercados monetarios a nivel de pregrado.

Tâtonnement (más o menos, francés para andar a tientas hacia) estaba destinado a servir como la expresión práctica del equilibrio general walrasiano. Walras abstrajo el mercado como una subasta de bienes donde el subastador anunciaría los precios y los participantes del mercado esperarían hasta que cada uno pudiera satisfacer sus precios de reserva personales por la cantidad deseada (recordando aquí que se trata de una subasta de todos los bienes, por lo que todos tienen una precio de reserva para su canasta de bienes deseada).

Solo cuando todos los compradores estén satisfechos con el precio de mercado dado, se producirán las transacciones. El mercado se "compensaría" a ese precio: no existiría excedente ni escasez. La palabra tâtonnement se usa para describir las direcciones que toma el mercado para alcanzar el equilibrio, fijando precios altos o bajos en diferentes bienes hasta que se acuerde un precio para todos los bienes. Si bien el proceso parece dinámico, Walras solo presentó un modelo estático, ya que no se producirían transacciones hasta que todos los mercados estuvieran en equilibrio. En la práctica, muy pocos mercados operan de esta manera.

Francisco Ysidro Edgeworth

Edgeworth introdujo elementos matemáticos a la economía de forma explícita en Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences, publicado en 1881. Adoptó el cálculo feliz de Jeremy Bentham para el comportamiento económico, permitiendo que el resultado de cada decisión se convirtiera en un cambio en el comportamiento económico. utilidad. Usando esta suposición, Edgeworth construyó un modelo de intercambio basado en tres suposiciones: los individuos tienen interés propio, los individuos actúan para maximizar la utilidad y los individuos son "libres para volver a contratar con otro independientemente de... cualquier tercero".

Dados dos individuos, el conjunto de soluciones donde ambos individuos pueden maximizar la utilidad se describe mediante la curva de contrato en lo que ahora se conoce como Edgeworth Box. Técnicamente, la construcción de la solución de dos personas al problema de Edgeworth no fue desarrollada gráficamente hasta 1924 por Arthur Lyon Bowley. La curva de contrato de la caja de Edgeworth (o más generalmente en cualquier conjunto de soluciones al problema de Edgeworth para más actores) se conoce como el núcleo de una economía.

Edgeworth dedicó un esfuerzo considerable a insistir en que las pruebas matemáticas eran apropiadas para todas las escuelas de pensamiento económico. Mientras estuvo al frente de The Economic Journal, publicó varios artículos criticando el rigor matemático de investigadores rivales, incluido Edwin Robert Anderson Seligman, un destacado escéptico de la economía matemática. Los artículos se centraron en un tira y afloja sobre la incidencia de los impuestos y las respuestas de los productores. Edgeworth notó que un monopolio que producía un bien que tenía conjunto de oferta pero no conjunto de demanda (como primera clase y economía en un avión, si el avión vuela, ambos juegos de asientos vuelan con él) en realidad podría bajar el precio visto por el consumidor de una de las dos mercancías si se aplicara un impuesto. El sentido común y el análisis numérico más tradicional parecían indicar que esto era absurdo. Seligman insistió en que los resultados que logró Edgeworth eran una peculiaridad de su formulación matemática. Sugirió que la suposición de una función de demanda continua y un cambio infinitesimal en el impuesto dieron como resultado predicciones paradójicas. Harold Hotelling demostró más tarde que Edgeworth estaba en lo correcto y que el mismo resultado (un "

Economía matemática moderna

Desde finales de la década de 1930, se implementó una serie de nuevas herramientas matemáticas del cálculo diferencial y las ecuaciones diferenciales, los conjuntos convexos y la teoría de grafos para avanzar en la teoría económica de una manera similar a los nuevos métodos matemáticos aplicados anteriormente a la física. El proceso se describió más tarde como pasar de la mecánica a la axiomática.

Calculo diferencial

Vilfredo Pareto analizó la microeconomía tratando las decisiones de los actores económicos como intentos de cambiar una determinada asignación de bienes por otra asignación más preferida. Los conjuntos de asignaciones podrían entonces ser tratados como eficientes en el sentido de Pareto (el óptimo de Pareto es un término equivalente) cuando no pueden ocurrir intercambios entre actores que puedan mejorar al menos a un individuo sin empeorar el de ningún otro. La prueba de Pareto se combina comúnmente con el equilibrio de Walrassian o se atribuye informalmente a la hipótesis de la mano invisible de Adam Smith. Más bien, la declaración de Pareto fue la primera afirmación formal de lo que se conocería como el primer teorema fundamental de la economía del bienestar. Estos modelos carecían de las desigualdades de la próxima generación de economía matemática.

En el tratado histórico Fundamentos del análisis económico (1947), Paul Samuelson identificó un paradigma común y una estructura matemática en múltiples campos del tema, basándose en trabajos anteriores de Alfred Marshall. Cimientostomó conceptos matemáticos de la física y los aplicó a problemas económicos. Esta visión amplia (por ejemplo, comparar el principio de Le Chatelier con el tâtonnement) impulsa la premisa fundamental de la economía matemática: los sistemas de actores económicos pueden modelarse y su comportamiento puede describirse como cualquier otro sistema. Esta extensión siguió el trabajo de los marginalistas en el siglo anterior y lo amplió significativamente. Samuelson abordó los problemas de aplicar la maximización de la utilidad individual sobre grupos agregados con estática comparativa, que compara dos estados de equilibrio diferentes después de un cambio exógeno en una variable. Este y otros métodos del libro sentaron las bases de la economía matemática en el siglo XX.

Modelos lineales

Los modelos restringidos de equilibrio general fueron formulados por John von Neumann en 1937. A diferencia de las versiones anteriores, los modelos de von Neumann tenían restricciones de desigualdad. Para su modelo de economía en expansión, von Neumann demostró la existencia y unicidad de un equilibrio utilizando su generalización del teorema del punto fijo de Brouwer. El modelo de Von Neumann de una economía en expansión consideraba la matriz lápiz A - λ B con matrices A y B no negativas; von Neumann buscó los vectores de probabilidad p y q y un número positivo λ que resolviera la ecuación de complementariedadpags (UN - λ segundo) q = 0,

junto con dos sistemas de desigualdad que expresan la eficiencia económica. En este modelo, el vector de probabilidad (transpuesto) p representa los precios de los bienes, mientras que el vector de probabilidad q representa la "intensidad" a la que se desarrollaría el proceso de producción. La única solución λ representa la tasa de crecimiento de la economía, que es igual a la tasa de interés. Demostrar la existencia de una tasa de crecimiento positiva y demostrar que la tasa de crecimiento es igual a la tasa de interés fueron logros notables, incluso para von Neumann. Los resultados de von Neumann se han visto como un caso especial de programación lineal, donde el modelo de von Neumann usa solo matrices no negativas.El estudio del modelo de von Neumann de una economía en expansión sigue interesando a los economistas matemáticos interesados ​​en la economía computacional.

Economía de entrada-salida

En 1936, el economista nacido en Rusia Wassily Leontief construyó su modelo de análisis de insumo-producto a partir de las tablas de 'balance de materia' construidas por los economistas soviéticos, que a su vez siguieron el trabajo anterior de los fisiócratas. Con su modelo, que describía un sistema de producción y procesos de demanda, Leontief describió cómo los cambios en la demanda de un sector económico influirían en la producción de otro.En la práctica, Leontief estimó los coeficientes de sus modelos simples para abordar cuestiones económicamente interesantes. En la economía de la producción, las "tecnologías de Leontief" producen resultados utilizando proporciones constantes de insumos, independientemente del precio de los insumos, lo que reduce el valor de los modelos de Leontief para comprender las economías pero permite estimar sus parámetros con relativa facilidad. Por el contrario, el modelo de von Neumann de una economía en expansión permite la elección de técnicas, pero los coeficientes deben estimarse para cada tecnología.

Optimización matemática

En matemáticas, la optimización matemática (u optimización o programación matemática) se refiere a la selección del mejor elemento de un conjunto de alternativas disponibles. En el caso más simple, un problema de optimización implica maximizar o minimizar una función real seleccionando valores de entrada de la función y calculando los valores correspondientes de la función. El proceso de solución incluye satisfacer las condiciones generales necesarias y suficientes para la optimización. Para problemas de optimización, se puede usar notación especializada en cuanto a la función y su(s) entrada(s). Más generalmente, la optimización incluye encontrar el mejor elemento disponible de alguna función dado un dominio definido y puede usar una variedad de diferentes técnicas de optimización computacional.

La economía está lo suficientemente vinculada a la optimización por parte de los agentes en una economía que una definición influyente describe la economía como ciencia como el "estudio del comportamiento humano como una relación entre los fines y los medios escasos" con usos alternativos. Los problemas de optimización atraviesan la economía moderna, muchos de ellos con restricciones económicas o técnicas explícitas. En microeconomía, el problema de maximización de la utilidad y su problema dual, el problema de minimización del gasto para un determinado nivel de utilidad, son problemas de optimización económica. La teoría postula que los consumidores maximizan su utilidad, sujeto a sus restricciones presupuestarias y que las empresas maximizan sus ganancias, sujeto a sus funciones de producción, costos de insumos y demanda del mercado.

El equilibrio económico se estudia en la teoría de la optimización como un ingrediente clave de los teoremas económicos que, en principio, podrían probarse con datos empíricos. Se han producido desarrollos más recientes en programación dinámica y optimización de modelos con riesgo e incertidumbre, incluidas aplicaciones a la teoría de cartera, la economía de la información y la teoría de búsqueda.

Las propiedades de optimización para un sistema de mercado completo pueden establecerse en términos matemáticos, como en la formulación de los dos teoremas fundamentales de la economía del bienestar y en el modelo de equilibrio general de Arrow-Debreu (también discutido más adelante). Más concretamente, muchos problemas son susceptibles de solución analítica (formulaica). Muchos otros pueden ser lo suficientemente complejos como para requerir métodos numéricos de solución, con la ayuda de software. Aún otros son complejos pero lo suficientemente manejables como para permitir métodos computables de solución, en particular, modelos computables de equilibrio general para toda la economía.

La programación lineal y no lineal ha afectado profundamente a la microeconomía, que antes solo consideraba restricciones de igualdad. Muchos de los economistas matemáticos que recibieron premios Nobel de Economía realizaron investigaciones notables utilizando la programación lineal: Leonid Kantorovich, Leonid Hurwicz, Tjalling Koopmans, Kenneth J. Arrow, Robert Dorfman, Paul Samuelson y Robert Solow. Tanto Kantorovich como Koopmans reconocieron que George B. Dantzig merecía compartir su premio Nobel de programación lineal. Los economistas que realizaron investigaciones en programación no lineal también ganaron el premio Nobel, en particular Ragnar Frisch, además de Kantorovich, Hurwicz, Koopmans, Arrow y Samuelson.

Optimización lineal

La programación lineal se desarrolló para ayudar a la asignación de recursos en empresas e industrias durante la década de 1930 en Rusia y durante la década de 1940 en los Estados Unidos. Durante el puente aéreo de Berlín (1948), se utilizó la programación lineal para planificar el envío de suministros para evitar que Berlín muriera de hambre tras el bloqueo soviético.

Programación no lineal

Albert W. Tucker y Harold Kuhn lograron extensiones a la optimización no lineal con restricciones de desigualdad en 1951, quienes consideraron el problema de optimización no lineal:Minimizar sujeto a y dondees la función a minimizarson las funciones de las restricciones de desigualdad dondeson las funciones de las restricciones de igualdad donde .

Al permitir restricciones de desigualdad, el enfoque de Kuhn-Tucker generalizó el método clásico de los multiplicadores de Lagrange, que (hasta entonces) solo había permitido restricciones de igualdad. El enfoque de Kuhn-Tucker inspiró más investigaciones sobre la dualidad lagrangiana, incluido el tratamiento de las restricciones de desigualdad.La teoría de la dualidad de la programación no lineal es particularmente satisfactoria cuando se aplica a problemas de minimización convexa, que disfrutan de la teoría de la dualidad convexa-analítica de Fenchel y Rockafellar; esta dualidad convexa es particularmente fuerte para funciones convexas poliédricas, como las que surgen en la programación lineal. La dualidad lagrangiana y el análisis convexo se utilizan a diario en la investigación de operaciones, en la programación de centrales eléctricas, la planificación de programas de producción para fábricas y el enrutamiento de líneas aéreas (rutas, vuelos, aviones, tripulaciones).

Cálculo variacional y control óptimo

La dinámica económica permite cambios en las variables económicas a lo largo del tiempo, incluso en sistemas dinámicos. El problema de encontrar funciones óptimas para tales cambios se estudia en el cálculo variacional y en la teoría del control óptimo. Antes de la Segunda Guerra Mundial, Frank Ramsey y Harold Hotelling utilizaron el cálculo de variaciones con ese fin.

Siguiendo el trabajo de Richard Bellman sobre programación dinámica y la traducción al inglés de 1962 del trabajo anterior de L. Pontryagin et al., la teoría del control óptimo se usó más ampliamente en economía para abordar problemas dinámicos, especialmente en lo que respecta al equilibrio del crecimiento económico y la estabilidad de los sistemas económicos. de los cuales un ejemplo de libro de texto es el consumo y el ahorro óptimos. Una distinción crucial es entre modelos de control deterministas y estocásticos. Otras aplicaciones de la teoría del control óptimo incluyen aquellas en finanzas, inventarios y producción, por ejemplo.

Análisis funcional

Fue en el curso de la demostración de la existencia de un equilibrio óptimo en su modelo de crecimiento económico de 1937 que John von Neumann introdujo métodos analíticos funcionales para incluir la topología en la teoría económica, en particular, la teoría del punto fijo a través de su generalización del punto fijo de Brouwer. teorema del punto Siguiendo el programa de von Neumann, Kenneth Arrow y Gérard Debreu formularon modelos abstractos de equilibrios económicos utilizando conjuntos convexos y teoría de punto fijo. Al introducir el modelo Arrow-Debreu en 1954, demostraron la existencia (pero no la unicidad) de un equilibrio y también demostraron que todo equilibrio de Walras es eficiente en el sentido de Pareto; en general, los equilibrios no necesitan ser únicos. En sus modelos, el espacio vectorial ("primario") representaba cantidadesmientras que el espacio vectorial "dual" representaba precios.

En Rusia, el matemático Leonid Kantorovich desarrolló modelos económicos en espacios vectoriales parcialmente ordenados, que enfatizaban la dualidad entre cantidades y precios. Kantorovich renombró los precios como "valoraciones determinadas objetivamente" que se abreviaron en ruso como "o.o.o.", en alusión a la dificultad de discutir los precios en la Unión Soviética.

Incluso en dimensiones finitas, los conceptos de análisis funcional han iluminado la teoría económica, particularmente al aclarar el papel de los precios como vectores normales de un hiperplano que sostiene un conjunto convexo, que representa posibilidades de producción o consumo. Sin embargo, los problemas de descripción de la optimización en el tiempo o bajo incertidumbre requieren el uso de espacios de funciones de dimensión infinita, porque los agentes eligen entre funciones o procesos estocásticos.

Disminución y aumento diferencial

El trabajo de John von Neumann sobre análisis funcional y topología abrió nuevos caminos en matemáticas y teoría económica. También dejó a la economía matemática avanzada con menos aplicaciones de cálculo diferencial. En particular, los teóricos del equilibrio general utilizaron la topología general, la geometría convexa y la teoría de la optimización más que el cálculo diferencial, porque el enfoque del cálculo diferencial no había logrado establecer la existencia de un equilibrio.

Sin embargo, no se debe exagerar el declive del cálculo diferencial, porque el cálculo diferencial siempre se ha utilizado en la formación de posgrado y en aplicaciones. Además, el cálculo diferencial ha regresado a los niveles más altos de la economía matemática, la teoría del equilibrio general (GET), tal como lo practica el "conjunto GET" (la designación humorística debida a Jacques H. Drèze). Sin embargo, en las décadas de 1960 y 1970, Gérard Debreu y Stephen Smale lideraron un renacimiento del uso del cálculo diferencial en la economía matemática. En particular, pudieron demostrar la existencia de un equilibrio general, donde los escritores anteriores habían fallado, debido a sus matemáticas novedosas: la categoría de Baire de la topología general y el lema de Sard de la topología diferencial. Otros economistas asociados con el uso del análisis diferencial incluyen a Egbert Dierker,Estos avances han cambiado la narrativa tradicional de la historia de la economía matemática, siguiendo a von Neumann, que celebraba el abandono del cálculo diferencial.

Teoría de juego

John von Neumann, trabajando con Oskar Morgenstern en la teoría de los juegos, abrió nuevos caminos matemáticos en 1944 al extender los métodos analíticos funcionales relacionados con los conjuntos convexos y la teoría topológica del punto fijo al análisis económico.De este modo, su trabajo evitó el cálculo diferencial tradicional, para el cual el operador máximo no se aplicaba a funciones no diferenciables. Continuando con el trabajo de von Neumann en teoría de juegos cooperativos, los teóricos de juegos Lloyd S. Shapley, Martin Shubik, Hervé Moulin, Nimrod Megiddo, Bezalel Peleg influyeron en la investigación económica en política y economía. Por ejemplo, la investigación sobre los precios justos en los juegos cooperativos y los valores justos para los juegos de votación llevó a cambiar las reglas para votar en las legislaturas y para contabilizar los costos en proyectos de obras públicas. Por ejemplo, la teoría de juegos cooperativos se utilizó para diseñar el sistema de distribución de agua del sur de Suecia y para establecer tarifas para líneas telefónicas dedicadas en los EE. UU.

La teoría neoclásica anterior había limitado solo el rango de resultados de negociación y en casos especiales, por ejemplo, monopolio bilateral o a lo largo de la curva de contrato de la caja de Edgeworth. Los resultados de Von Neumann y Morgenstern fueron igualmente débiles. Sin embargo, siguiendo el programa de von Neumann, John Nash usó la teoría del punto fijo para probar las condiciones bajo las cuales el problema de negociación y los juegos no cooperativos pueden generar una solución de equilibrio única. La teoría de juegos no cooperativos se ha adoptado como un aspecto fundamental de la economía experimental, la economía del comportamiento, la economía de la información, la organización industrial y la economía política.También ha dado lugar al tema del diseño de mecanismos (a veces llamado teoría de juegos inversa), que tiene aplicaciones de política pública y privada en cuanto a formas de mejorar la eficiencia económica a través de incentivos para compartir información.

En 1994, Nash, John Harsanyi y Reinhard Selten recibieron el Premio Nobel de Ciencias Económicas por su trabajo sobre juegos no cooperativos. Harsanyi y Selten fueron premiados por su trabajo en juegos repetidos. El trabajo posterior extendió sus resultados a métodos computacionales de modelado.

Economía computacional basada en agentes

La economía computacional basada en agentes (ACE, por sus siglas en inglés) como campo con nombre es relativamente reciente, data aproximadamente de la década de 1990 en cuanto al trabajo publicado. Estudia procesos económicos, incluidas economías completas, como sistemas dinámicos de agentes que interactúan a lo largo del tiempo. Como tal, cae en el paradigma de los sistemas adaptativos complejos. En los correspondientes modelos basados ​​en agentes, los agentes no son personas reales sino "objetos computacionales modelados como que interactúan según reglas"... "cuyas interacciones a nivel micro crean patrones emergentes" en el espacio y el tiempo. Las reglas están formuladas para predecir el comportamiento y las interacciones sociales basadas en incentivos e información. El supuesto teórico de optimización matemática por mercados de agentes se reemplaza por el postulado menos restrictivo de agentes con mercados acotados.adaptación de la racionalidad a las fuerzas del mercado.

Los modelos ACE aplican métodos numéricos de análisis a simulaciones basadas en computadora de problemas dinámicos complejos para los cuales los métodos más convencionales, como la formulación de teoremas, pueden no encontrar un uso fácil. A partir de condiciones iniciales especificadas, el sistema económico computacional se modela como si evolucionara con el tiempo a medida que sus agentes constituyentes interactúan repetidamente entre sí. En estos aspectos, ACE se ha caracterizado como un enfoque de plato cultural de abajo hacia arriba para el estudio de la economía. A diferencia de otros métodos de modelado estándar, los eventos ACE están impulsados ​​únicamente por las condiciones iniciales, ya sea que existan o no equilibrios o que sean manejables computacionalmente. Sin embargo, el modelado ACE incluye la adaptación, la autonomía y el aprendizaje de los agentes.Tiene una similitud y una superposición con la teoría de juegos como un método basado en agentes para modelar las interacciones sociales. Otras dimensiones del enfoque incluyen temas económicos estándar como competencia y colaboración, estructura de mercado y organización industrial, costos de transacción, economía del bienestar y diseño de mecanismos, información e incertidumbre y macroeconomía.

Se dice que el método se beneficia de las mejoras continuas en las técnicas de modelado de la informática y de las mayores capacidades informáticas. Los problemas incluyen aquellos comunes a la economía experimental en general y por comparación y al desarrollo de un marco común para la validación empírica y la resolución de preguntas abiertas en el modelado basado en agentes. El objetivo científico final del método se ha descrito como "probar los hallazgos teóricos con datos del mundo real de manera que permita que las teorías respaldadas empíricamente se acumulen con el tiempo, y el trabajo de cada investigador se base adecuadamente en el trabajo anterior".

Matematización de la economía.

A lo largo del siglo XX, los artículos en "revistas centrales" en economía han sido escritos casi exclusivamente por economistas académicos. Como resultado, gran parte del material transmitido en esas revistas se relaciona con la teoría económica y "la teoría económica en sí misma ha sido continuamente más abstracta y matemática". Una evaluación subjetiva de las técnicas matemáticas empleadas en estas revistas principales mostró una disminución en los artículos que no usan representaciones geométricas ni notación matemática del 95% en 1892 al 5,3% en 1990. Una encuesta de 2007 de diez de las principales revistas económicas encuentra que solo 5.

Econometría

Entre las dos guerras mundiales, los avances en las estadísticas matemáticas y un cuadro de economistas con formación matemática dieron lugar a la econometría, que fue el nombre propuesto para la disciplina del avance de la economía mediante el uso de las matemáticas y las estadísticas. Dentro de la economía, la "econometría" se ha utilizado a menudo para métodos estadísticos en economía, en lugar de economía matemática. La econometría estadística presenta la aplicación de regresión lineal y análisis de series de tiempo a datos económicos.

Ragnar Frisch acuñó la palabra "econometría" y ayudó a fundar tanto la Econometric Society en 1930 como la revista Econometrica en 1933. Un alumno de Frisch, Trygve Haavelmo, publicó The Probability Approach in Econometrics en 1944, donde afirmó que se podía realizar un análisis estadístico preciso. utilizado como herramienta para validar teorías matemáticas sobre actores económicos con datos de fuentes complejas. Esta vinculación del análisis estadístico de sistemas con la teoría económica también fue promulgada por la Comisión Cowles (ahora la Fundación Cowles) durante las décadas de 1930 y 1940.

Las raíces de la econometría moderna se remontan al economista estadounidense Henry L. Moore. Moore estudió la productividad agrícola e intentó ajustar los valores cambiantes de la productividad de las parcelas de maíz y otros cultivos a una curva utilizando diferentes valores de elasticidad. Moore cometió varios errores en su trabajo, algunos por su elección de modelos y otros por limitaciones en el uso de las matemáticas. La precisión de los modelos de Moore también se vio limitada por los datos deficientes de las cuentas nacionales en los Estados Unidos en ese momento. Si bien sus primeros modelos de producción fueron estáticos, en 1925 publicó un modelo dinámico de "equilibrio móvil" diseñado para explicar los ciclos económicos; esta variación periódica de la corrección excesiva en las curvas de oferta y demanda ahora se conoce como modelo de telaraña. Una derivación más formal de este modelo fue hecha más tarde por Nicholas Kaldor,

Solicitud

Gran parte de la economía clásica se puede presentar en términos geométricos simples o notación matemática elemental. La economía matemática, sin embargo, convencionalmente hace uso del cálculo y el álgebra matricial en el análisis económico para hacer poderosas afirmaciones que serían más difíciles sin tales herramientas matemáticas. Estas herramientas son requisitos previos para el estudio formal, no solo en economía matemática sino en la teoría económica contemporánea en general. Los problemas económicos a menudo involucran tantas variables que las matemáticas son la única forma práctica de atacarlos y resolverlos. Alfred Marshall argumentó que todo problema económico que pueda ser cuantificado, expresado analíticamente y resuelto, debe ser tratado por medio del trabajo matemático.

La economía se ha vuelto cada vez más dependiente de los métodos matemáticos y las herramientas matemáticas que emplea se han vuelto más sofisticadas. Como resultado, las matemáticas se han vuelto considerablemente más importantes para los profesionales de la economía y las finanzas. Los programas de posgrado en economía y finanzas requieren una sólida preparación de pregrado en matemáticas para la admisión y, por esta razón, atraen a un número cada vez mayor de matemáticos. Los matemáticos aplicados aplican principios matemáticos a problemas prácticos, como el análisis económico y otras cuestiones relacionadas con la economía, y muchos problemas económicos a menudo se definen como integrados en el ámbito de las matemáticas aplicadas.

Esta integración resulta de la formulación de problemas económicos como modelos estilizados con supuestos claros y predicciones falsables. Este modelado puede ser informal o prosaico, como lo fue en La riqueza de las naciones de Adam Smith, o puede ser formal, riguroso y matemático.

En términos generales, los modelos económicos formales pueden clasificarse en estocásticos o deterministas y en discretos o continuos. A nivel práctico, el modelado cuantitativo se aplica a muchas áreas de la economía y varias metodologías han evolucionado más o menos independientemente unas de otras.

• Los modelos estocásticos se formulan utilizando procesos estocásticos. Modelan valores económicamente observables a lo largo del tiempo. La mayor parte de la econometría se basa en estadísticas para formular y probar hipótesis sobre estos procesos o estimar parámetros para ellos. Entre las guerras mundiales, Herman Wold desarrolló una representación de procesos estocásticos estacionarios en términos de modelos autorregresivos y una tendencia determinista. Wold y Jan Tinbergen aplicaron el análisis de series de tiempo a los datos económicos. La investigación contemporánea sobre estadísticas de series de tiempo considera formulaciones adicionales de procesos estacionarios, como modelos de promedio móvil autorregresivos. Los modelos más generales incluyen modelos de heteroscedasticidad condicional autorregresiva (ARCH) y modelos ARCH generalizados (GARCH).
• Los modelos matemáticos no estocásticos pueden ser puramente cualitativos (por ejemplo, modelos involucrados en algún aspecto de la teoría de la elección social) o cuantitativos (que involucran la racionalización de variables financieras, por ejemplo con coordenadas hiperbólicas y/o formas específicas de relaciones funcionales entre variables). En algunos casos, las predicciones económicas de un modelo simplemente afirman la dirección del movimiento de las variables económicas, por lo que las relaciones funcionales se usan solo en un sentido cualitativo: por ejemplo, si el precio de un artículo aumenta, entonces la demanda de ese artículo disminuirá.. Para tales modelos, los economistas suelen utilizar gráficos bidimensionales en lugar de funciones.
• Ocasionalmente se utilizan modelos cualitativos. Un ejemplo es la planificación cualitativa de escenarios en la que se desarrollan posibles eventos futuros. Otro ejemplo es el análisis de árbol de decisión no numérico. Los modelos cualitativos a menudo sufren de falta de precisión.

Ejemplo: El efecto de un recorte del impuesto de sociedades sobre los salarios

El gran atractivo de la economía matemática es que aporta un grado de rigor al pensamiento económico, particularmente en torno a temas políticos cargados. Por ejemplo, durante la discusión sobre la eficacia de un recorte de impuestos corporativos para aumentar los salarios de los trabajadores, un modelo matemático simple demostró ser beneficioso para comprender los problemas en cuestión.

Como ejercicio intelectual, el siguiente problema fue planteado por el Prof. Greg Mankiw de la Universidad de Harvard:

Una economía abierta tiene la función de producción, donde es producción por trabajador y es capital por trabajador. El stock de capital se ajusta para que el producto marginal del capital después de impuestos sea igual a la tasa de interés mundial dada exógenamente... ¿Cuánto aumentarán los salarios con la reducción de impuestos?

Para responder a esta pregunta, seguimos a John H. Cochrane de la Institución Hoover. Supongamos que una economía abierta tiene la función de producción:

Donde las variables en esta ecuación son:

• es la salida total
• es la función de producción
• es el capital social total
• es el stock total de mano de obra

La opción estándar para la función de producción es la función de producción Cobb-Douglas:

donde está el factor de productividad - se supone que es una constante. Una reducción del impuesto de sociedades en este modelo equivale a un impuesto sobre el capital. Con los impuestos, las empresas buscan maximizar:

donde es la tasa de impuesto al capital, es el salario por trabajador y es la tasa de interés exógena. Entonces las condiciones de optimalidad de primer orden se convierten en:

Por lo tanto, las condiciones de optimalidad implican que:

Definir impuestos totales . Esto implica que los impuestos por trabajador son:

Entonces, el cambio en los impuestos por trabajador, dada la tasa impositiva, es:

Para encontrar el cambio en los salarios, diferenciamos la segunda condición de optimalidad para los salarios por trabajador para obtener:

Suponiendo que la tasa de interés se fija en , por lo que podemos diferenciar la primera condición de optimalidad para la tasa de interés para encontrar:

Por el momento, concentrémonos solo en el efecto estático de un recorte del impuesto al capital, de modo que . Si sustituimos esta ecuación en la ecuación de los cambios salariales con respecto a la tasa impositiva, encontramos que:

Por lo tanto, el efecto estático de un recorte del impuesto al capital sobre los salarios es:

Según el modelo, parece posible que logremos un aumento en el salario de un trabajador mayor que el monto de la reducción de impuestos. Pero eso solo considera el efecto estático, y sabemos que el efecto dinámico debe tenerse en cuenta. En el modelo dinámico, podemos reescribir la ecuación de los cambios en los impuestos por trabajador con respecto a la tasa impositiva como:

Recordando eso , tenemos que:

Usando la función de producción Cobb-Douglas, tenemos que:

Por lo tanto, el efecto dinámico de un recorte del impuesto al capital sobre los salarios es:

Si tomamos , entonces el efecto dinámico de reducir los impuestos al capital sobre los salarios será incluso mayor que el efecto estático. Además, si existen externalidades positivas a la acumulación de capital, el efecto de la reducción de impuestos sobre los salarios sería mayor que en el modelo que acabamos de derivar. Es importante señalar que el resultado es una combinación de:

1. El resultado estándar de que en una pequeña economía abierta el trabajo soporta el 100% del impuesto sobre la renta del pequeño capital
2. El hecho de que, partiendo de una tasa impositiva positiva, la carga de un aumento de impuestos exceda la recaudación de ingresos debido a la pérdida de peso muerto de primer orden

Este resultado que muestra que, bajo ciertos supuestos, un recorte del impuesto de sociedades puede aumentar los salarios de los trabajadores más que la pérdida de ingresos no implica que la magnitud sea correcta. Por el contrario, sugiere una base para el análisis de políticas que no se basa en agitar las manos. Si las suposiciones son razonables, entonces el modelo es una aproximación aceptable de la realidad; si no lo son, entonces se deben desarrollar mejores modelos.

Función de producción CES

Ahora supongamos que en lugar de la función de producción Cobb-Douglas tenemos una función de producción de elasticidad constante de sustitución (CES) más general:

donde ; es la elasticidad de sustitución entre capital y trabajo. La cantidad relevante que queremos calcular es , que se puede derivar como:

Por lo tanto, podemos usar esto para encontrar que:

Por lo tanto, bajo un modelo CES general, el efecto dinámico de un recorte del impuesto al capital sobre los salarios es:

Recuperamos la solución Cobb-Douglas cuando . Cuando , que es el caso cuando existen sustitutos perfectos, encontramos que - no hay efecto de los cambios en los impuestos al capital sobre los salarios. Y cuando , que es el caso cuando existen complementos perfectos, encontramos que - un recorte en los impuestos sobre el capital aumenta los salarios en exactamente un dólar.

Críticas y defensas

Adecuación de las matemáticas para la economía cualitativa y complicada

Friedrich Hayek sostuvo que el uso de técnicas formales proyecta una exactitud científica que no da cuenta adecuadamente de las limitaciones de información que enfrentan los agentes económicos reales.

En una entrevista en 1999, el historiador económico Robert Heilbroner declaró:

Supongo que el enfoque científico comenzó a penetrar y pronto dominó la profesión en los últimos veinte o treinta años. Esto se produjo en parte debido a la "invención" del análisis matemático de varios tipos y, de hecho, a las considerables mejoras en el mismo. Esta es la era en la que no solo tenemos más datos, sino también un uso más sofisticado de los mismos. Así que existe un fuerte sentimiento de que esta es una ciencia cargada de datos y una empresa cargada de datos que, en virtud de los números puros, las ecuaciones puras y el aspecto puro de una página de revista, tiene cierta semejanza con la ciencia... Esa actividad central parece científica. Entiendo que. Creo que eso es genuino. Se acerca a ser una ley universal. Pero parecerse a una ciencia es diferente de ser una ciencia.

Heilbroner afirmó que "algo o gran parte de la economía no es naturalmente cuantitativa y, por lo tanto, no se presta a la exposición matemática".

Comprobación de las predicciones de la economía matemática

El filósofo Karl Popper discutió la posición científica de la economía en las décadas de 1940 y 1950. Argumentó que la economía matemática adolecía de ser tautológica. En otras palabras, en la medida en que la economía se convirtió en una teoría matemática, la economía matemática dejó de depender de la refutación empírica y se basó en pruebas y refutación matemáticas. Según Popper, los supuestos falsables se pueden probar mediante experimentos y observaciones, mientras que los supuestos no falsables se pueden explorar matemáticamente por sus consecuencias y por su consistencia con otros supuestos.

Compartiendo las preocupaciones de Popper sobre los supuestos en la economía en general, y no solo en la economía matemática, Milton Friedman declaró que "todas las suposiciones son poco realistas". Friedman propuso juzgar los modelos económicos por su desempeño predictivo más que por la correspondencia entre sus suposiciones y la realidad.

La economía matemática como una forma de matemática pura

Considerando la economía matemática, JM Keynes escribió en The General Theory:

Es un gran defecto de los métodos simbólicos pseudomatemáticos de formalizar un sistema de análisis económico... que asumen expresamente una estricta independencia entre los factores involucrados y pierden su fuerza y ​​autoridad si se rechaza esta hipótesis; mientras que, en el discurso ordinario, donde no estamos manipulando ciegamente y sabemos todo el tiempo lo que estamos haciendo y lo que significan las palabras, podemos mantener 'en la nuca' las reservas y calificaciones necesarias y los ajustes que tendremos para hacer más tarde, de una manera en la que no podemos mantener derivadas parciales complicadas 'al final' de varias páginas de álgebra que asumen que todos se desvanecen. Una proporción demasiado grande de la economía 'matemática' reciente son meros inventos, tan imprecisos como los supuestos iniciales en los que se basan.

Defensa de la economía matemática

En respuesta a estas críticas, Paul Samuelson argumentó que las matemáticas son un lenguaje, repitiendo una tesis de Josiah Willard Gibbs. En economía, el lenguaje de las matemáticas a veces es necesario para representar problemas sustantivos. Además, la economía matemática ha llevado a avances conceptuales en economía. En particular, Samuelson dio el ejemplo de la microeconomía, escribiendo que "pocas personas son lo suficientemente ingeniosas para comprender [sus] partes más complejas... sin recurrir al lenguaje de las matemáticas, mientras que la mayoría de las personas comunes pueden hacerlo con bastante facilidad con la ayuda de matemáticas."

Algunos economistas afirman que la economía matemática merece apoyo al igual que otras formas de matemáticas, particularmente sus vecinos en optimización matemática y estadística matemática y cada vez más en informática teórica. La economía matemática y otras ciencias matemáticas tienen una historia en la que los avances teóricos han contribuido regularmente a la reforma de las ramas más aplicadas de la economía. En particular, siguiendo el programa de John von Neumann, la teoría de juegos proporciona ahora las bases para describir gran parte de la economía aplicada, desde la teoría de la decisión estadística (como "juegos contra la naturaleza") y la econometría hasta la teoría del equilibrio general y la organización industrial. En la última década, con el auge de Internet,

Robert M. Solow concluyó que la economía matemática era la "infraestructura" central de la economía contemporánea:

La economía ya no es un tema de conversación adecuado para damas y caballeros. Se ha convertido en un tema técnico. Como cualquier tema técnico, atrae a algunas personas que están más interesadas en la técnica que en el tema. Es una lástima, pero puede ser inevitable. En cualquier caso, no se engañe: el núcleo técnico de la economía es una infraestructura indispensable para la economía política. Por eso, si consulta [una referencia en economía contemporánea] buscando información sobre el mundo de hoy, será llevado a la economía técnica, o la historia, o nada en absoluto.

Economistas matemáticos

Destacados economistas matemáticos incluyen los siguientes.

Siglo 19

Siglo 20