La identidad de euler

En matemáticas, la identidad de Euler (también conocida como ecuación de Euler) es la igualdad

eiπ π +1=0{displaystyle e^{ipi} }+1=0}

e es el número de Euler, la base de logaritmos naturales,

i es la unidad imaginaria, que por definición satisfies i² = 1 -, y

π es pi, la relación de la circunferencia de un círculo a su diámetro.

La identidad de Euler es nombrada por el matemático suizo Leonhard Euler. Es un caso especial de la fórmula de Euler eix=#⁡ ⁡ x+ipecado⁡ ⁡ x{displaystyle e^{ix}=cos x+isin x} cuando se evalúa x = π. La identidad de Euler se considera un ejemplo de belleza matemática, ya que muestra una profunda conexión entre los números más fundamentales de las matemáticas. Además, se utiliza directamente en una prueba de que π es trascendental, lo que implica la imposibilidad de cubrir el círculo.

Belleza matemática

La identidad de Euler se cita a menudo como un ejemplo de profunda belleza matemática. Tres de las operaciones aritméticas básicas ocurren exactamente una vez cada una: suma, multiplicación y exponenciación. La identidad también vincula cinco constantes matemáticas fundamentales:

• El número 0, la identidad aditiva.
• El número 1, la identidad multiplicativa.
• El número π (π = 3.1415...), la constante del círculo fundamental.
• El número e (e = 2.718...), también conocido como el número de Euler, que ocurre ampliamente en el análisis matemático.
• El número i, la unidad imaginaria de los números complejos.

Además, la ecuación se da en forma de una expresión igual a cero, lo cual es una práctica común en varias áreas de las matemáticas.

El profesor de matemáticas de la Universidad de Stanford, Keith Devlin, ha dicho, "como un soneto de Shakespeare que captura la esencia misma del amor, o una pintura que resalta la belleza de la forma humana que es mucho más que superficial, Euler& La ecuación de #39 llega hasta lo más profundo de la existencia. Y Paul Nahin, profesor emérito de la Universidad de New Hampshire, que ha escrito un libro dedicado a la fórmula de Euler y sus aplicaciones en el análisis de Fourier, describe la identidad de Euler como "de una belleza exquisita". #34;.

La escritora de matemáticas Constance Reid ha opinado que la identidad de Euler es "la fórmula más famosa de todas las matemáticas". Y Benjamin Peirce, un filósofo, matemático y profesor estadounidense del siglo XIX en la Universidad de Harvard, después de probar la identidad de Euler durante una conferencia, afirmó que la identidad “es absolutamente paradójica; no podemos entenderlo y no sabemos lo que significa, pero lo hemos probado y, por lo tanto, sabemos que debe ser la verdad.

Una encuesta de lectores realizada por The Mathematical Intelligencer en 1990 nombró la identidad de Euler como el "teorema más bello de las matemáticas". En otra encuesta de lectores realizada por Physics World en 2004, la identidad de Euler empató con las ecuaciones de Maxwell (de electromagnetismo) como la "mejor ecuación de la historia";.

Se han publicado al menos tres libros de divulgación matemática sobre la identidad de Euler:

• Fórmula Fabulosa del Dr. Euler: Cura muchos matemáticos Ills, por Paul Nahin (2011)
• Una ecuación más elegante: la fórmula de Euler y la belleza de las matemáticas, por David Stipp (2017)
• Ecuación pionera de Euler: El teorema más hermoso en matemáticas, por Robin Wilson (2018).

Explicaciones

Exponentes imaginarios

En esta animación N toma varios valores crecientes de 1 a 100. La computación de (1 + iπ/N)^N se muestra como el efecto combinado de N multiplicaciones repetidas en el plano complejo, siendo el punto final el valor real de (1 + iπ/N)^N. Puede ser visto como N más grande (1 + iπ/N)^N se acerca un límite de −1.

Fundamentalmente, la identidad de Euler afirma que eiπ π {displaystyle e^{ipi} es igual a −1. La expresión eiπ π {displaystyle e^{ipi} es un caso especial de la expresión ez{displaystyle e^{z}, donde z es cualquier número complejo. En general, ez{displaystyle e^{z} se define para complejo z ampliando una de las definiciones de la función exponencial de los exponentes reales a los exponentes complejos. Por ejemplo, una definición común es:

ez=limn→ → JUEGO JUEGO ()1+zn)n.{displaystyle e^{z}=lim _{nto infty }left(1+{frac {z} {n}right)}{n}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfncfnfnfnfnfnfnfnfnKfnfnfnfnhnfnfnfnhnfnfnfnfnfnfnfnKfnncfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn

Por lo tanto, la identidad de Euler declara que el límite, como n infinity, of ()1+iπ π /n)n{displaystyle (1+ipi /n)} es igual a −1. Este límite se ilustra en la animación a la derecha.

La fórmula de Euler para un ángulo general

La identidad de Euler es un caso especial de la fórmula de Euler, que establece que para cualquier número real x,

eix=#⁡ ⁡ x+ipecado⁡ ⁡ x{displaystyle e^{ix}=cos x+isin x}

donde las entradas de las funciones trigonométricas seno y coseno se dan en radianes.

En particular, cuando x = π,

eiπ π =#⁡ ⁡ π π +ipecado⁡ ⁡ π π .{displaystyle e^{ipi}=cos pi +isin pi.}

Desde

#⁡ ⁡ π π =− − 1{displaystyle cos pi =-1}

y

pecado⁡ ⁡ π π =0,{displaystyle sin pi =0,}

se deduce que

eiπ π =− − 1+0i,{displaystyle e^{ipi} }=-1+0i,}

que produce la identidad de Euler:

eiπ π +1=0.{displaystyle e^{ipi} }+1=0.}

Interpretación geométrica

Cualquier número complejo z=x+iSí.{displaystyle z=x+iy} puede ser representado por el punto ()x,Sí.){displaystyle (x,y)} en el plano complejo. Este punto también puede ser representado en coordenadas polares como ()r,Silencio Silencio ){displaystyle (r,theta)}, donde r es el valor absoluto de z (distancia del origen) y Silencio Silencio {displaystyle theta } es el argumento de z (ángulo en sentido contrario del positivo x-eje). Por las definiciones de seno y cosino, este punto tiene coordenadas cartesianas de ()r#⁡ ⁡ Silencio Silencio ,rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio ){displaystyle (rcos thetarsin theta)}, implicando que z=r()#⁡ ⁡ Silencio Silencio +ipecado⁡ ⁡ Silencio Silencio ){displaystyle z=r(cos theta +isin theta)}. Según la fórmula de Euler, esto equivale a decir z=reiSilencio Silencio {displaystyle z=re^{itheta }.

La identidad de Euler dice que − − 1=eiπ π {displaystyle -1=e^{ipi}. Desde eiπ π {displaystyle e^{ipi} es reiSilencio Silencio {displaystyle re^{itheta } para r = 1 y Silencio Silencio =π π {displaystyle theta =pi}, esto se puede interpretar como un hecho sobre el número −1 en el plano complejo: su distancia del origen es 1, y su ángulo desde el positivo x- El eje es π π {displaystyle pi} radians.

Además, cuando cualquier número complejo z se multiplica por eiSilencio Silencio {displaystyle e^{itheta }, tiene el efecto de rotación z en sentido contrario por un ángulo de Silencio Silencio {displaystyle theta } en el plano complejo. Puesto que la multiplicación por −1 refleja un punto a través del origen, la identidad de Euler puede interpretarse como diciendo que girar cualquier punto π π {displaystyle pi} radians alrededor del origen tiene el mismo efecto que reflejar el punto a través del origen. Análogamente, Silencio Silencio {displaystyle theta } iguales 2π π {displaystyle 2pi} cede la ecuación relacionada e2π π i=1,{displaystyle e^{2pi i}=1,} que se puede interpretar como decir que girar cualquier punto por uno gira alrededor del origen lo devuelve a su posición original.

Generalizaciones

La identidad de Euler es también un caso especial de la identidad más general que las nésimas raíces de la unidad, para n > 1, suma 0:

.. k=0n− − 1e2π π ikn=0.{displaystyle sum _{k=0}{n-1}e^{2pi I{frac {k}}=0.}

La identidad de Euler es el caso donde n = 2.

En otro campo de las matemáticas, al usar la exponenciación de cuaterniones, se puede demostrar que una identidad similar también se aplica a los cuaterniones. Sean {i, j, k} los elementos base; después,

e13()i± ± j± ± k)π π +1=0.{displaystyle e^{frac {1} {sqrt {3}}(ipm jpm k)pi }+1=0}

En general, dado el a₁ real, a₂ y a₃ tales que a₁² + a₂² + a₃² = 1, entonces,

e()a1i+a2j+a3k)π π +1=0.{displaystyle e^{left(a_{1}i+a_{2}j+a_{3}kright)pi }+1=0.}

Para octoniones, con a_n reales tales que a₁² + a₂² +... + a₇² = 1, y con los elementos base octonion {i₁, i₂,..., i₇},

e()a1i1+a2i2+⋯ ⋯ +a7i7)π π +1=0.{displaystyle e^{eft (a_{1}i_{1}+a_{2}i_{2}+dots +a_{7}i_{7}right)pi }+1=0.}

Historia

Si bien la identidad de Euler es un resultado directo de la fórmula de Euler, publicada en su obra monumental de análisis matemático en 1748, Introductio in analysin infinitorum, es cuestionable si la El concepto particular de vincular cinco constantes fundamentales en una forma compacta se puede atribuir al propio Euler, ya que es posible que nunca lo haya expresado.

Robin Wilson afirma lo siguiente.

Hemos visto cómo [la identidad de Euler] se puede deducir fácilmente de los resultados de Johann Bernoulli y Roger Cotes, pero que ninguno de ellos parece haberlo hecho. Incluso Euler no parece haber escrito explícitamente – y ciertamente no aparece en ninguna de sus publicaciones – aunque seguramente debe haber comprendido que sigue inmediatamente de su identidad [es decir, la fórmula de Euler], e^ix = x + i pecado x. Además, parece ser desconocido quien primero declaró el resultado explícitamente....