La fórmula de Viète

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Producto infinito convergiendo a 2/π

En matemáticas, la fórmula de Viète es el siguiente producto infinito de radicales anidados que representan el doble del recíproco de la constante matemática π:

{displaystyle {frac {2}{pi }}={frac {sqrt {2}}{2}}cdot {frac {sqrt {2+{sqrt {2}}}}{2}}cdot {frac {sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2}}}}}}{2}}cdots }

{displaystyle {frac {2}{pi }}=prod _{n=1}^{infty }cos {frac {pi }{2^{n+1}}}}

La fórmula lleva el nombre de François Viète, quien la publicó en 1593. Como la primera fórmula de las matemáticas europeas que representa un proceso infinito, se le puede dar un significado riguroso como expresión límite y marca el comienzo del análisis matemático. Tiene convergencia lineal y se puede utilizar para cálculos de $π$ , pero otros métodos anteriores y posteriores han conducido a una mayor precisión. También se ha utilizado en cálculos del comportamiento de sistemas de resortes y masas, y como ejemplo motivador del concepto de independencia estadística.

La fórmula se puede derivar como un producto telescópico de las áreas o perímetros de polígonos anidados que convergen en un círculo. Alternativamente, el uso repetido de la fórmula del medio ángulo de la trigonometría conduce a una fórmula generalizada, descubierta por Leonhard Euler, que tiene la fórmula de Viète como un caso especial. Actualmente se conocen muchas fórmulas similares que implican raíces anidadas o productos infinitos.

Importancia

François Viète (1540-1603) fue un abogado francés, consejero privado de dos reyes franceses y matemático aficionado. Publicó esta fórmula en 1593 en su obra Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII. En ese momento, se conocían desde hacía mucho tiempo métodos para aproximar π a (en principio) una precisión arbitraria. El propio método de Viète puede interpretarse como una variación de una idea de Arquímedes de aproximar la circunferencia de un círculo por el perímetro de un polígono de muchos lados, utilizado por Arquímedes para encontrar la aproximación.

<math alttext="{displaystyle {frac {223}{71}}<pi 22371c)π π c)227.{displaystyle {frac {223}{71} {fnMicroc {22}{7}}}<img alt="{displaystyle {frac {223}{71}}<pi

Al publicar su método como una fórmula matemática, Viète formuló el primer ejemplo de un producto infinito conocido en matemáticas, y el primer ejemplo de una fórmula explícita para el valor exacto de $π$ . Como primera representación en las matemáticas europeas de un número como resultado de un proceso infinito y no de un cálculo finito, Eli Maor destaca la fórmula de Viète como el comienzo del análisis matemático y Jonathan Borwein llama a su aparición " los albores de las matemáticas modernas".

Usando su fórmula, Viète calculó $π$ con una precisión de nueve dígitos decimales. Sin embargo, esta no era la aproximación más precisa a $π$ conocida en ese momento, como había calculado el matemático persa Jamshīd al-Kāshī π con una precisión de nueve dígitos sexagesimales y 16 dígitos decimales en 1424. No mucho después de que Viète publicara su fórmula, Ludolph van Ceulen utilizó un Método estrechamente relacionado con el de Viète para calcular 35 dígitos de $π$ , que se publicaron sólo después de van Ceulen. muerte en 1610.

Más allá de su importancia matemática e histórica, la fórmula de Viète se puede utilizar para explicar las diferentes velocidades de ondas de diferentes frecuencias en una cadena infinita de resortes y masas, y la aparición de $π$ en el comportamiento límite de estas velocidades. Además, una derivación de esta fórmula como producto de integrales que involucran el sistema de Rademacher, igual a la integral de productos de las mismas funciones, proporciona un ejemplo motivador para el concepto de independencia estadística.

Interpretación y convergencia

La fórmula de Viète puede reescribirse y entenderse como una expresión límite

{displaystyle lim _{nrightarrow infty }prod _{i=1}^{n}{frac {a_{i}}{2}}={frac {2}{pi }}}

dónde

{displaystyle {begin{aligned}a_{1}&={sqrt {2}}\a_{n}&={sqrt {2+a_{n-1}}}.end{aligned}}}

Para cada elección de ${displaystyle n}$ , la expresión en el límite es un producto finito, y como ${displaystyle n}$ consigue arbitrariamente grandes estos productos finitos tienen valores que se acercan al valor de la fórmula de Viète arbitrariamente. Viète hizo su trabajo mucho antes de que los conceptos de límites y pruebas rigurosas de convergencia se desarrollaran en matemáticas; la primera prueba de que este límite existe no se dio hasta el trabajo de Ferdinand Rudio en 1891.

La tasa de convergencia de un límite gobierna el número de términos de la expresión necesarios para lograr un número determinado de dígitos de precisión. En la fórmula de Viète, el número de términos y dígitos es proporcional entre sí: el producto de los primeros $n$ términos en el límite se proporciona una expresión para $π$ que tiene una precisión de aproximadamente $0,6 n$ dígitos. Esta tasa de convergencia se compara muy favorablemente con el producto de Wallis, una fórmula de producto infinito posterior para $π$ . Aunque el propio Viète utilizó su fórmula para calcular $π$ sólo con una precisión de nueve dígitos, se ha utilizado una versión acelerada de su fórmula para calcular $π$ a cientos de miles de dígitos.

Fórmulas relacionadas

La fórmula de Viète puede obtenerse como un caso especial de una fórmula para la función sinc que a menudo se ha atribuido a Leonhard Euler, más de un siglo después:

{displaystyle {frac {sin x}{x}}=cos {frac {x}{2}}cdot cos {frac {x}{4}}cdot cos {frac {x}{8}}cdots }

Sustituyendo $x = π / 2</span en esta fórmula produce:$

{displaystyle {frac {2}{pi }}=cos {frac {pi }{4}}cdot cos {frac {pi }{8}}cdot cos {frac {pi }{16}}cdots }

Luego, expresando cada término del producto de la derecha como una función de los términos anteriores usando la fórmula del medio ángulo:

{displaystyle cos {frac {x}{2}}={sqrt {frac {1+cos x}{2}}}}

da la fórmula de Viète.

También es posible derivar de la fórmula de Viète una fórmula relacionada para $π$ que todavía involucra raíces cuadradas anidadas de dos, pero usa solo una multiplicación:

{displaystyle pi =lim _{kto infty }2^{k}underbrace {sqrt {2-{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2+cdots +{sqrt {2}}}}}}}}}}}} _{k{text{ square roots}}},}

que se puede reescribir de forma compacta como

{displaystyle {begin{aligned}pi &=lim _{kto infty }2^{k}{sqrt {2-a_{k-1}}}\[5px]a_{1}&=0\a_{k}&={sqrt {2+a_{k-1}}}.end{aligned}}}

Ahora se conocen muchas fórmulas para $π$ y otras constantes como la proporción áurea, similar a la de Viète en su uso de radicales anidados o productos infinitos de funciones trigonométricas.

Derivación

Viète obtuvo su fórmula comparando las áreas de polígonos regulares con $2 n$ y $2 n + 1$ lados inscritos en un círculo. El primer término del producto, $\sqrt 2 / 2$ , es la razón de las áreas de un cuadrado y un octágono, el segundo término es la razón de las áreas de un octágono y un hexadecágono, etc. Por lo tanto, el producto se amplía para dar la relación entre las áreas de un cuadrado (el polígono inicial de la secuencia) y un círculo (el caso límite de un $2 n$ -gon). Alternativamente, los términos del producto pueden interpretarse como razones de perímetros de la misma secuencia de polígonos, comenzando con la razón de los perímetros de un digon (el diámetro del círculo, contado dos veces) y un cuadrado, la razón de los perímetros de un cuadrado y un octágono, etc.

Es posible otra derivación basada en identidades trigonométricas y la fórmula de Euler. Aplicar repetidamente la fórmula del doble ángulo.

{displaystyle sin x=2sin {frac {x}{2}}cos {frac {x}{2}},}

conduce a una prueba por inducción matemática de que, para todos los números enteros positivos $n$ ,

{displaystyle sin x=2^{n}sin {frac {x}{2^{n}}}left(prod _{i=1}^{n}cos {frac {x}{2^{i}}}right).}

El término $2 n sin x / 2 n$ va a $x$ en el límite ya que $n$ llega al infinito, de donde se sigue la fórmula de Euler. La fórmula de Viète se puede obtener a partir de esta fórmula mediante la sustitución $x = π / 2$ .

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