Intervalo (matemáticas)

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La adición x + a en la línea número. Todos los números son mayores x y menos que x + a caer dentro de ese intervalo abierto.

En matemáticas, un intervalo (real) es el conjunto de todos los números reales que se encuentran entre dos puntos finales fijos sin "espacios". Cada punto final es un número real o un infinito positivo o negativo, lo que indica que el intervalo se extiende sin límite. Un intervalo puede contener ningún punto final, algún punto final o ambos puntos finales. Por ejemplo, el conjunto de números $x$ satisfacción $0 \leq x \leq 1$ es un intervalo unitario que contiene $0$ , $1$ , y todos los números entre. Otros ejemplos de intervalos son el conjunto de números tal que $0 x 1$ , el conjunto de todos los números reales $mathbb {R}$ , el conjunto de números reales no negativos, el conjunto de números reales positivos, el conjunto vacío y cualquier conjunto de un solo elemento.

Los intervalos reales juegan un papel importante en la teoría de la integración, porque son los conjuntos más simples cuya "longitud" (o "medida" o "tamaño") es fácil de definir. Luego, el concepto de medida se puede extender a conjuntos más complicados de números reales, lo que lleva a la medida de Borel y, finalmente, a la medida de Lebesgue.

Los intervalos son fundamentales para la aritmética de intervalos, una técnica de computación numérica general que proporciona automáticamente recintos garantizados para fórmulas arbitrarias, incluso en presencia de incertidumbres, aproximaciones matemáticas y redondeo aritmético.

Los intervalos también se definen en un conjunto totalmente ordenado arbitrario, como números enteros o números racionales. La notación de intervalos enteros se considera en la sección especial a continuación.

Terminología

Un intervalo abierto no incluye sus extremos y se indica entre paréntesis. Por ejemplo, $(0, 1)$ significa mayor que $0$ y menor que $1. Esto significa (0, 1) = {x | 0 < x < 1}. Este intervalo también se puede indicar mediante]0, 1[, consulte a continuación.$

A intervalo cerrado es un intervalo que incluye todos sus puntos límite y se indica con corchetes. Por ejemplo, $[0, 1]$ significa mayor o igual que $0$ y menor o igual que 1.

Un intervalo semiabierto incluye solo uno de sus extremos y se denota mezclando las notaciones para intervalos abiertos y cerrados. Por ejemplo, $(0, 1]$ significa mayor que $0$ y menor o igual que $1$ , mientras que $[0, 1)$ significa mayor o igual que $0$ y menor que $1$ .

Un intervalo degenerado es cualquier conjunto que consta de un único número real (es decir, un intervalo de la forma $[a, a]$ ). Algunos autores incluyen el conjunto vacío en esta definición. Se dice que un intervalo real que no está vacío ni degenerado es propio y tiene infinitos elementos.

Se dice que un intervalo está limitado a la izquierda o limitado a la derecha, si existe algún número real que sea, respectivamente, menor o mayor que todos sus elementos. Se dice que un intervalo está acotado, si está acotado tanto a la izquierda como a la derecha; y se dice que es ilimitado de lo contrario. Se dice que los intervalos que están acotados en un solo extremo son medio acotados. El conjunto vacío está acotado, y el conjunto de todos los reales es el único intervalo que no está acotado en ambos extremos. Los intervalos acotados también se conocen comúnmente como intervalos finitos.

Los intervalos acotados son conjuntos acotados, en el sentido de que su diámetro (que es igual a la diferencia absoluta entre los extremos) es finito. El diámetro puede llamarse largo, ancho, medida, rango o tamaño del intervalo. El tamaño de los intervalos ilimitados generalmente se define como $+\infty$ , y el tamaño del intervalo vacío se puede definir como $0$ (o dejado sin definir).

El centro (punto medio) de un intervalo acotado con extremos $a$ y $b$ es $(a + b)/2$ , y su radio es la longitud media $| a - b |/2$ . Estos conceptos no están definidos para intervalos vacíos o ilimitados.

Se dice que un intervalo está abierto si y solo si no contiene un mínimo (un elemento que es más pequeño que todos los demás elementos); abierto a la derecha si no contiene un máximo; y abrir si no contiene ninguno. El intervalo $[0, 1) = {x | 0 \leq x < 1}$ , por ejemplo, está cerrado a la izquierda y abierto a la derecha. El conjunto vacío y el conjunto de todos los reales son intervalos abiertos y cerrados, mientras que el conjunto de los reales no negativos es un intervalo cerrado que está abierto por la derecha pero no por la izquierda. Los intervalos abiertos son conjuntos abiertos de la línea real en su topología estándar y forman una base de los conjuntos abiertos.

Se dice que un intervalo es cerrado a la izquierda si tiene un elemento mínimo o no está acotado a la izquierda, cerrado a la derecha si tiene un máximo o no está acotado a la derecha; simplemente está cerrado si está cerrado a la izquierda y a la derecha. Entonces, los intervalos cerrados coinciden con los conjuntos cerrados en esa topología.

El interior de un intervalo $I$ es el intervalo abierto más grande contenido en I; también es el conjunto de puntos en $I$ que no son puntos finales de $I$ . El cierre de $I$ es el intervalo cerrado más pequeño que contiene $I$ ; que también es el conjunto $I$ aumentado con sus extremos finitos.

Para cualquier conjunto $X$ de números reales, el recinto de intervalo o interval span de $X$ es el intervalo único que contiene $X$ , y no contiene correctamente ningún otro intervalo que también contenga $X$ .

Un intervalo $I$ es subintervalo del intervalo $J$ si $I$ es un subconjunto de $J$ . Un intervalo $I$ es un subintervalo propio de $J$ si $I$ es un subconjunto propio de $J$ .

Nota sobre terminología conflictiva

Los términos segmento e intervalo se han empleado en la literatura de dos maneras esencialmente opuestas, lo que genera ambigüedad cuando se usan estos términos. La Enciclopedia de Matemáticas define intervalo (sin un calificador) para excluir ambos extremos (es decir, intervalo abierto) y segmento para incluir ambos extremos (es decir,, intervalo cerrado), mientras que Principles of Mathematical Analysis de Rudin llama a conjuntos de la forma [a, b] intervalos y conjuntos de la forma (a, b) segmentos en todas partes. Estos términos tienden a aparecer en obras más antiguas; los textos modernos favorecen cada vez más el término intervalo (calificado por abierto, cerrado o medio abierto), independientemente de si los puntos finales están incluidos.

Anotaciones para intervalos

El intervalo de números entre $a$ y $b$ , incluidos $a$ y $b$ , a menudo se denota $[a, b]$ . Los dos números se llaman los puntos finales del intervalo. En países donde los números se escriben con una coma decimal, se puede usar un punto y coma como separador para evitar ambigüedades.

Incluir o excluir puntos finales

Para indicar que uno de los extremos debe excluirse del conjunto, el corchete correspondiente puede reemplazarse por un paréntesis o invertirse. Ambas notaciones se describen en la norma internacional ISO 31-11. Por lo tanto, en notación de constructor de conjuntos,

{\begin{aligned}(a,b)={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\[5mu][a,b)={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\[5mu](a,b]={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\[5mu][a,b]={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}

Cada intervalo $(a, a)$ , $[a, a)$ y $(a, a]$ representa el conjunto vacío, mientras que $[a, a]$ denota el conjunto singleton ${a}$ . Cuando $a > b$ , las cuatro notaciones generalmente se toman para representar el conjunto vacío.

Ambas notaciones pueden superponerse con otros usos de paréntesis y corchetes en matemáticas. Por ejemplo, la notación $(a, b)$ se usa a menudo para denotar un par ordenado en la teoría de conjuntos, las coordenadas de un punto o vector en geometría analítica y álgebra lineal, o (a veces) un número complejo en álgebra. Es por eso que Bourbaki introdujo la notación $] a, b [$ para denotar el intervalo abierto. La notación $[a, b]$ también se usa ocasionalmente para pares ordenados, especialmente en informática.

Algunos autores como Yves Tillé usan $] a, b [$ para indicar el complemento del intervalo $(a, b)$ ; es decir, el conjunto de todos los números reales que son menores o iguales que $a$ , o mayores o iguales que b.

Puntos finales infinitos

En algunos contextos, un intervalo puede definirse como un subconjunto de los números reales extendidos, el conjunto de todos los números reales aumentados con $-\infty$ y $+\infty$ .

En esta interpretación, las notaciones $[-\infty, b]$ , $(-\infty, b]$ , $[a, +\infty]$ y $[a, +\infty)$ son significativas y distintas. En particular, $(-\infty, +\infty)$ denota el conjunto de todos los números reales ordinarios, mientras que $[-\infty, +\infty]$ denota los reales extendidos.

Incluso en el contexto de los reinos ordinarios, se puede utilizar un punto final infinito para indicar que no hay límites en esa dirección. Por ejemplo, $(0, +\infty)$ es el conjunto de números reales positivos, también escrito como $mathbb {R} _{+}$ . El contexto afecta algunas de las definiciones y terminología anteriores. Por ejemplo, el intervalo $(Libertad, + lesbiana)$ = $mathbb {R}$ está cerrado en el reino de los reinos ordinarios, pero no en el reino de los reinos extendidos.

Intervalos enteros

Cuando $a$ y $b$ son números enteros, la notación ⟦a, b⟧, o $[a .. b]$ o ${a .. b}$ o simplemente $a .. b$ , a veces se usa para indicar el intervalo de todos los enteros entre $a$ y $b$ incluidos. La notación $[a .. b]$ se usa en algunos lenguajes de programación; en Pascal, por ejemplo, se usa para definir formalmente un tipo de subrango, que se usa con mayor frecuencia para especificar los límites inferior y superior de los índices válidos de una matriz.

Un intervalo entero que tiene un extremo superior o inferior finito siempre incluye ese extremo. Por lo tanto, la exclusión de puntos finales se puede indicar explícitamente escribiendo $a .. b - 1$ , $a + 1.. b$ , o $a + 1.. b - 1$ . Notaciones de corchetes alternativos como $[a .. b)$ o $[a .. b [$ rara vez se usan para intervalos enteros.

Clasificación de intervalos

Los intervalos de números reales se pueden clasificar en los once tipos diferentes enumerados a continuación, donde $a$ y $b$ son números reales, y

Vacío: ${displaystyle [b,a]=(b,a)=[b,a)=(b,a]=(a,a)=[a,a)=(a,a]={}=varnothing }$
Degenerado: $[a,a]={a}$
Propio y atado:
- Abre: $()a,b)={}x▪ ▪ a.x.b}{displaystyle (a,b)={xmid a Secuerdo]$
- Cerrado: ${displaystyle [a,b]={xmid aleq xleq b}}$
- Cierre izquierdo, abierto derecho: $[a,b)={}x▪ ▪ a\leq \leq x.b}{displaystyle [a,b]={xmid aleq x madeb}$
- Izquierda abierta, cerrada a la derecha: $(a,b]={xmid a()a,b]={}x▪ ▪ a.x\leq \leq b}{displaystyle (a,b]={xmid a wonxleq b}$
Izquierda y derechista:
- A la izquierda:
- Cierre izquierdo: ${displaystyle [a,+infty)={xmid xgeq a}}$
Izquierda sin límites y derecha:
- Bien abierto: $b)={}x▪ ▪ x.b}{fn}$
- Derecha: ${displaystyle (-inftyb]={xmid xleq b}}$
Sin límites en ambos extremos (simultaneamente abierto y cerrado): ${displaystyle (-infty+infty)=mathbb {R} }$ :

Propiedades de los intervalos

Los intervalos son precisamente los subconjuntos conectados de $mathbb {R}$ . Sigue que la imagen de un intervalo por cualquier función continua es también un intervalo. Esta es una formulación del teorema de valor intermedio.

Los intervalos son también los subconjuntos convexos de $mathbb {R}$ . El recinto de intervalo de un subconjunto $Xsubseteq mathbb {R}$ es también el casco convexo de $X$ .

La intersección de cualquier colección de intervalos es siempre un intervalo. La unión de dos intervalos es un intervalo si y sólo si tienen una intersección no vacía o un punto final abierto de un intervalo es un punto final cerrado del otro – por ejemplo, $(a,b)cup [b,c]=(a,c]$ .

Si $mathbb {R}$ es visto como un espacio métrico, sus bolas abiertas son los conjuntos atados abiertos $() c + r, c - r)$ , y sus bolas cerradas son los conjuntos cerrados $[c + r, c - r]$ .

Cualquier elemento $x$ de un intervalo $I$ define una partición de $I$ en tres intervalos de unión $I$ ₁, $I$ ₂, $I$ ₃: respectivamente, los elementos $I$ que son menos que $x$ , el singleton $[x,x]={x}$ , y los elementos que son mayores que $x$ . Las partes $I$ ₁ y $I$ ₃ son no vacías (y tienen interiores no vacíos), si y sólo si $x$ está en el interior de $I$ . Esta es una versión de intervalo del principio de tricotomía.

Intervalos diádicos

A intervalo dyadic es un intervalo real ligado cuyos puntos finales son ${textstyle {frac {j}{2^{n}}}}$ y ${textstyle {frac {j+1}{2^{n}}}}$ , donde ${textstyle j}$ y ${textstyle n}$ son enteros. Dependiendo del contexto, el punto final puede o no ser incluido en el intervalo.

Los intervalos diádicos tienen las siguientes propiedades:

La longitud de un intervalo dyadico es siempre un poder entero de dos.
Cada intervalo dyadic se contiene exactamente en un intervalo dyadictivo del doble de la longitud.
Cada intervalo dyadicto se extiende por dos intervalos dyadicos de la mitad de la longitud.
Si dos intervalos diádicos abiertos se superponen, entonces uno de ellos es un subconjunto del otro.

Por consiguiente, los intervalos diádicos tienen una estructura que refleja la de un árbol binario infinito.

Los intervalos diádicos son relevantes para varias áreas del análisis numérico, incluido el refinamiento de malla adaptativa, los métodos de redes múltiples y el análisis de ondículas. Otra forma de representar dicha estructura es el análisis p-ádico (para $p = 2$ ).

Generalizaciones

Intervalos multidimensionales

En muchos contextos, $n$ - intervalo dimensional se define como un subconjunto de $mathbb {R} ^{n}$ que es el producto cartesiano de $n$ intervalos, $I=I_{1}times I_{2}times cdots times I_{n}$ Uno en cada eje de coordenadas.

Para $n=2$ , esto se puede pensar como región atada por un cuadrado o rectángulo, cuyos lados son paralelos a los ejes de coordenadas, dependiendo de si la anchura de los intervalos son iguales o no; igualmente, para $n=3$ , esto se puede pensar como una región atada por un cubo axis alineado o un cuboide rectangular.
En dimensiones superiores, el producto cartesiano de $n$ intervalos está ligado por un hipercubo ni hiperrectángulo dimensional.

A faceta de tal intervalo $I$ es el resultado de reemplazar cualquier factor de intervalo no degenerado $I_{k}$ por un intervalo degenerado que consiste en un punto final finito $I_{k}$ . El caras de $I$ compuesto $I$ en sí mismo y en todos sus rostros. El esquinas de $I$ son las caras que consisten en un solo punto $mathbb {R} ^{n}$ .

Intervalos complejos

Los intervalos de números complejos se pueden definir como regiones del plano complejo, ya sea rectangular o circular.

Álgebra topológica

Los intervalos se pueden asociar con puntos del plano y, por lo tanto, las regiones de intervalos se pueden asociar con regiones del plano. Generalmente, un intervalo en matemáticas corresponde a un par ordenado (x,y) tomado del producto directo R × R de números reales consigo mismo, donde a menudo se asume que y > x. A los efectos de la estructura matemática, esta restricción se descarta y los "intervalos invertidos" donde y − x < 0 están permitidos. Entonces, la colección de todos los intervalos [x,y] se puede identificar con el anillo topológico formado por la suma directa de R consigo mismo, donde la suma y la multiplicación se definen por componentes.

El álgebra de la suma directa $(Roplus R,+,times)$ tiene dos ideales, {x,0]: x } y {Sí.] Sí. Entendido. El elemento de identidad de este álgebra es el intervalo condensado [1,1]. Si intervalo [x,y] no está en uno de los ideales, entonces tiene inverso multiplicativo [1/x, 1/Sí.]. Dotado con la topología habitual, el álgebra de intervalos forma un anillo topológico. El grupo de unidades de este anillo consta de cuatro cuadrantes determinados por los ejes, o ideales en este caso. El componente de identidad de este grupo es el cuadrante I.

Cada intervalo se puede considerar un intervalo simétrico alrededor de su punto medio. En una reconfiguración publicada en 1956 por M Warmus, el eje de "intervalos equilibrados" [x, −x] se utiliza junto con el eje de intervalos [x,xEso reduce a un punto. En lugar de la suma directa $Roplus R$ , el anillo de intervalos ha sido identificado con el avión número de desplazamiento de M. Warmus y D. H. Lehmer a través de la identificación

z =x + Sí.)/2 + jx − Sí.)/2.

Este mapeo lineal del plano, que equivale a un isomorfismo de anillo, proporciona al plano una estructura multiplicativa que tiene algunas analogías con la aritmética compleja ordinaria, como la descomposición polar.