Interpolación trigonométrica

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Interpolación con polinomios trigonométricos

En matemáticas, la interpolación trigonométrica es la interpolación con polinomios trigonométricos. La interpolación es el proceso de encontrar una función que pasa por algunos puntos de datos determinados. Para la interpolación trigonométrica, esta función tiene que ser un polinomio trigonométrico, es decir, una suma de senos y cosenos de períodos determinados. Esta forma es especialmente adecuada para la interpolación de funciones periódicas.

Un caso especial importante es cuando los puntos de datos dados están igualmente espaciados, en cuyo caso la solución viene dada por la transformada discreta de Fourier.

Formulación del problema de la interpolación

Un polinomio trigonométrico de grado K tiene la forma

{displaystyle p(x)=a_{0}+sum _{k=1}^{K}a_{k}cos(kx)+sum _{k=1}^{K}b_{k}sin(kx).,}

()1)

Esta expresión contiene 2K + 1 coeficientes, a₀, a₁, … a_K, b₁, …, b_K, y queremos calcular esos coeficientes para que la función pase por N puntos:

{displaystyle p(x_{n})=y_{n},quad n=0,ldotsN-1.,}

Dado que el polinomio trigonométrico es periódico con período 2π, los N puntos se pueden distribuir y ordenar en un período como

<math alttext="{displaystyle 0leq x_{0}<x_{1}<x_{2}<ldots <x_{N-1}0≤ ≤ x0c)x1c)x2c)... ... c)xN− − 1c)2π π .{displaystyle 0leq x_{0}cantadox_{1}traducidos_{2} - No.<img alt="{displaystyle 0leq x_{0}<x_{1}<x_{2}<ldots <x_{N-1}

(tenga en cuenta que no en general requerimos que estos puntos estén igualmente espaciados). El problema de la interpolación ahora es encontrar coeficientes de tal manera que el polinomio trigonométrico p satisfaga el Condiciones de interpolación.

Formulación en el plano complejo

El problema se vuelve más natural si lo formulamos en el plano complejo. Podemos reescribir la fórmula para un polinomio trigonométrico como ${displaystyle p(x)=sum _{k=-K}^{K}c_{k}e^{ikx},,}$ Donde i es la unidad imaginaria. Si nos fijamos z = e^ix, entonces esto se convierte

{displaystyle q(z)=sum _{k=-K}^{K}c_{k}z^{k},,}

con

{displaystyle q(e^{ix})triangleq p(x).,}

Esto reduce el problema de la interpolación trigonométrica a la de la interpolación polinómica en el círculo de la unidad. La existencia y la singularidad para la interpolación trigonométrica ahora se deriva inmediatamente de los resultados correspondientes para la interpolación polinómica.

Para obtener más información sobre la formulación de polinomios de interpolación trigonométrica en el plano complejo, consulte la p. 156 de interpolación utilizando polinomios de Fourier.

Solución del problema

Bajo las condiciones anteriores, existe una solución al problema para cualquier conjunto dado de puntos de datos {x_k, y_k} siempre que N, el número de puntos de datos, no sea mayor que el número de coeficientes en el polinomio, es decir, N ≤ 2K+1 (una solución puede existir o no si N>2 K+1 dependiendo del conjunto particular de puntos de datos). Además, el polinomio de interpolación es único si y sólo si el número de coeficientes ajustables es igual al número de puntos de datos, es decir, N = 2K + 1. En el En el resto de este artículo, asumiremos que esta condición es cierta.

Número impar de puntos

Si el número de puntos N es extraño, dicen N=2K+1, aplicando la fórmula Lagrange para la interpolación polinomio a la formulación polinomio en el plano complejo produce que la solución se puede escribir en la forma

{displaystyle p(x)=sum _{k=0}^{2K}y_{k},t_{k}(x),}

()5)

donde

{displaystyle t_{k}(x)=e^{-iKx+iKx_{k}}prod _{begin{aligned}m&=0\[-4mu]m&neq kend{aligned}}^{2K}{frac {e^{ix}-e^{ix_{m}}}{e^{ix_{k}}-e^{ix_{m}}}}.}

El factor ${displaystyle e^{-iKx+iKx_{k}}}$ en esta fórmula compensa el hecho de que la formulación de plano complejo contiene también poderes negativos ${displaystyle e^{ix}}$ y por lo tanto no es una expresión polinomio ${displaystyle e^{ix}}$ . La corrección de esta expresión se puede verificar fácilmente observando que ${displaystyle t_{k}(x_{k})=1}$ y eso ${displaystyle t_{k}(x)}$ es una combinación lineal de los poderes correctos ${displaystyle e^{ix}}$ . Al utilizar la identidad

{displaystyle e^{iz_{1}}-e^{iz_{2}}=2isin {tfrac {1}{2}}(z_{1}-z_{2}),e^{(z_{1}+z_{2})i/2},}

()2)

el coeficiente ${displaystyle t_{k}(x)}$ puede ser escrito en la forma

{displaystyle t_{k}(x)=prod _{begin{aligned}m&=0\[-4mu]m&neq kend{aligned}}^{2K}{frac {sin {tfrac {1}{2}}(x-x_{m})}{sin {tfrac {1}{2}}(x_{k}-x_{m})}}.}

()4)

Número par de puntos

Si el número de puntos N es par, digamos N=2K, al aplicar la fórmula de Lagrange para la interpolación polinomial a la formulación polinómica en el plano complejo se obtiene la solución se puede escribir en la forma

{displaystyle p(x)=sum _{k=0}^{2K-1}y_{k},t_{k}(x),}

()6)

dónde

{displaystyle t_{k}(x)=e^{-iKx+iKx_{k}}{frac {e^{ix}-e^{ialpha _{k}}}{e^{ix_{k}}-e^{ialpha _{k}}}}prod _{begin{aligned}m&=0\[-4mu]m&neq kend{aligned}}^{2K-1}{frac {e^{ix}-e^{ix_{m}}}{e^{ix_{k}}-e^{ix_{m}}}}.}

()3)

Aquí, las constantes ${displaystyle alpha _{k}}$ puede ser elegido libremente. Esto es causado por el hecho de que la función interpoladora1) contiene un número extraño de constantes desconocidas. Una elección común es exigir que la frecuencia más alta es de la forma un tiempo constante ${displaystyle cos(Kx)}$ , es decir, el ${displaystyle sin(Kx)}$ término desaparece, pero en general la fase de la frecuencia más alta se puede elegir ${displaystyle varphi _{K}}$ . Para obtener una expresión ${displaystyle alpha _{k}}$ , obtenemos usando (2Eso...3) se puede escribir en la forma

{displaystyle t_{k}(x)={frac {cos {tfrac {1}{2}}{Biggl (}2Kx-alpha _{k}+displaystyle sum limits _{m=0,,mneq k}^{2K-1}x_{m}{Biggr)}+sum limits _{m=-(K-1)}^{K-1}c_{k}e^{imx}}{2^{N}sin {tfrac {1}{2}}(x_{k}-alpha _{k})displaystyle prod limits _{m=0,,mneq k}^{2K-1}sin {tfrac {1}{2}}(x_{k}-x_{m})}}.}

Esto produce

{displaystyle alpha _{k}=sum _{begin{aligned}m&=0\[-4mu]m&neq kend{aligned}}^{2K-1}x_{m}-2varphi _{K}}

{displaystyle t_{k}(x)={frac {sin {tfrac {1}{2}}(x-alpha _{k})}{sin {tfrac {1}{2}}(x_{k}-alpha _{k})}}prod _{begin{aligned}m&=0\[-4mu]m&neq kend{aligned}}^{2K-1}{frac {sin {tfrac {1}{2}}(x-x_{m})}{sin {tfrac {1}{2}}(x_{k}-x_{m})}}.}

Tenga en cuenta que se debe tener cuidado para evitar las infinidades causadas por ceros en los denominadores.

Nodos equidistantes

Una mayor simplificación del problema es posible si nodos ${displaystyle x_{m}}$ son equidistas, es decir.

{displaystyle x_{m}={frac {2pi m}{N}},}

ver Zygmund para más detalles.

Número impar de puntos

Una mayor simplificación mediante el uso de (4) sería un enfoque obvio, pero obviamente está involucrado. Un enfoque mucho más simple es considerar el núcleo de Dirichlet.

{displaystyle D(x,N)={frac {1}{N}}+{frac {2}{N}}sum _{k=1}^{(N-1)/2}cos(kx)={frac {sin {tfrac {1}{2}}Nx}{Nsin {tfrac {1}{2}}x}},}

Donde $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">N■0{displaystyle N confiar0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b5e672f875388753faa233a18e9f2cf1275aaa4" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.325ex; height:2.176ex;"/>$ Es extraño. Se puede ver fácilmente que ${displaystyle D(x,N)}$ es una combinación lineal de los poderes correctos ${displaystyle e^{ix}}$ y satisfizos

{displaystyle D(x_{m},N)={begin{cases}0{text{ for }}mneq 0\1{text{ for }}m=0end{cases}}.}

Puesto que estas dos propiedades definen de forma única los coeficientes ${displaystyle t_{k}(x)}$ en5), sigue que

{displaystyle {begin{aligned}t_{k}(x)&=D(x-x_{k},N)={begin{cases}{dfrac {sin {tfrac {1}{2}}N(x-x_{k})}{Nsin {tfrac {1}{2}}(x-x_{k})}}{text{ for }}xneq x_{k}\[10mu]lim limits _{xto 0}{dfrac {sin {tfrac {1}{2}}Nx}{Nsin {tfrac {1}{2}}x}}=1{text{ for }}x=x_{k}end{cases}}\&={frac {mathrm {sinc} ,{tfrac {1}{2}}N(x-x_{k})}{mathrm {sinc} ,{tfrac {1}{2}}(x-x_{k})}}.end{aligned}}}

Aquí, la función sinc- evita cualquier singularidad y se define por

{displaystyle mathrm {sinc} ,x={frac {sin x}{x}}.}

Número par de puntos

Para ${displaystyle N}$ incluso, definimos el núcleo Dirichlet como

{displaystyle D(x,N)={frac {1}{N}}+{frac {1}{N}}cos {tfrac {1}{2}}Nx+{frac {2}{N}}sum _{k=1}^{(N-1)/2}cos(kx)={frac {sin {tfrac {1}{2}}Nx}{Ntan {tfrac {1}{2}}x}}.}

De nuevo, se puede ver fácilmente que ${displaystyle D(x,N)}$ es una combinación lineal de los poderes correctos ${displaystyle e^{ix}}$ , no contiene el término ${displaystyle sin {tfrac {1}{2}}Nx}$ y satisfizos

{displaystyle D(x_{m},N)={begin{cases}0{text{ for }}mneq 0\1{text{ for }}m=0end{cases}}.}

Usando estas propiedades, sigue que los coeficientes ${displaystyle t_{k}(x)}$ en6) se dan por

{displaystyle {begin{aligned}t_{k}(x)&=D(x-x_{k},N)={begin{cases}{dfrac {sin {tfrac {1}{2}}N(x-x_{k})}{Ntan {tfrac {1}{2}}(x-x_{k})}}{text{ for }}xneq x_{k}\[10mu]lim limits _{xto 0}{dfrac {sin {tfrac {1}{2}}Nx}{Ntan {tfrac {1}{2}}x}}=1{text{ for }}x=x_{k}.end{cases}}\&={frac {mathrm {sinc} ,{tfrac {1}{2}}N(x-x_{k})}{mathrm {sinc} ,{tfrac {1}{2}}(x-x_{k})}}cos {tfrac {1}{2}}(x-x_{k})end{aligned}}}

Note que ${displaystyle t_{k}(x)}$ no contiene ${displaystyle sin {tfrac {1}{2}}Nx}$ también. Por último, note que la función ${displaystyle sin {tfrac {1}{2}}Nx}$ desaparece en todos los puntos ${displaystyle x_{m}}$ . Múltiples de este término pueden, por lo tanto, ser siempre añadidos, pero es comúnmente dejado fuera.

Implementación

Una implementación de MATLAB de lo anterior se puede encontrar aquí y está dada por:

función P = triginterp()xi,x,y)% TRIGINTERP Interpolación trigonométrica.% Entrada:% xi puntos de evaluación para el interpolante (vector)% x nodos de interpolación equiespacial (vector, longitud N)% y valores de interpolación (vector, longitud N)% Producto:% P valores del interpolante trigonométrico (vector)N = longitud()x);% Ajuste el espaciado de la variable independiente dada.h = 2/N;escala = ()x()2)-x()1) / h;x = x/escala; xi = xi/escala;% Evaluar interpolante.P = ceros()tamaño()xi));para k = 1:N P = P + Sí.()k)*trigcardinal()xi-x()k),N);finalfunción tau = trigcardinal()x,N)ws = advertencia()'off ','MATLAB:divideByZero ');% El formulario es diferente para N uniforme y extraño.si rem()N,2)==1 % extraño tau = pecado()N*pi*x/2) ./ ()N*pecado()pi*x/2));más % incluso tau = pecado()N*pi*x/2) ./ ()N*#()pi*x/2));finaladvertencia()ws)tau()x==0) = 1; % valor de fijación en x=0

Relación con la transformada discreta de Fourier

El caso especial en el que los puntos x_n están igualmente espaciados es especialmente importante. En este caso, tenemos

<math alttext="{displaystyle x_{n}=2pi {frac {n}{N}},qquad 0leq nxn=2π π nN,0≤ ≤ nc)N.{displaystyle x_{n}=2pi {frac {N},qquad 0leq n se hizo.}<img alt="{displaystyle x_{n}=2pi {frac {n}{N}},qquad 0leq n

La transformación que asigna los puntos de datos y_n a los coeficientes a_k, b_k se obtiene a partir de la transformada discreta de Fourier (DFT) de orden N.

{displaystyle Y_{k}=sum _{n=0}^{N-1}y_{n} e^{-i2pi nk/N},}

{displaystyle y_{n}=p(x_{n})={frac {1}{N}}sum _{k=0}^{N-1}Y_{k} e^{i2pi nk/N},}

(Debido a la forma en que se formuló el problema anteriormente, nos hemos restringido a números impares de puntos. Esto no es estrictamente necesario; para números pares de puntos, se incluye otro término coseno correspondiente a la frecuencia de Nyquist.)

El caso de la interpolación sólo de coseno para puntos equidistantes, correspondiente a una interpolación trigonométrica cuando los puntos tienen simetría par, fue tratado por Alexis Clairaut en 1754. En este caso la solución es equivalente a una transformada de coseno discreta. La expansión solo seno para puntos equidistantes, correspondiente a simetría impar, fue resuelta por Joseph Louis Lagrange en 1762, cuya solución es una transformada seno discreta. El polinomio de interpolación de coseno y seno completo, que da lugar a la DFT, fue resuelto por Carl Friedrich Gauss en un trabajo inédito alrededor de 1805, momento en el que también derivó un algoritmo de transformada rápida de Fourier para evaluarlo rápidamente. Clairaut, Lagrange y Gauss estaban todos interesados en estudiar el problema de inferir la órbita de planetas, asteroides, etc., a partir de un conjunto finito de puntos de observación; Dado que las órbitas son periódicas, una interpolación trigonométrica fue la elección natural. Véase también Heideman et al. (1984).

Aplicaciones en computación numérica

Chebfun, un sistema de software totalmente integrado escrito en MATLAB para calcular con funciones, utiliza interpolación trigonométrica y expansiones de Fourier para calcular con funciones periódicas. Muchos algoritmos relacionados con la interpolación trigonométrica están disponibles en Chebfun; Varios ejemplos están disponibles aquí.

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