Integral no elemental

En matemáticas, una antiderivada no elemental de una función elemental dada es una antiderivada (o integral indefinida) que, en sí misma, no es una función elemental (es decir, una función construida a partir de un número finito de cocientes de funciones constantes, algebraicas, exponenciales, trigonométricas y logarítmicas utilizando operaciones de campo). Un teorema de Liouville en 1835 proporcionó la primera prueba de que existen antiderivadas no elementales. Este teorema también proporciona una base para el algoritmo de Risch para determinar (con dificultad) qué funciones elementales tienen primitivas elementales.

Ejemplos

Ejemplos de funciones con antiderivadas no elementales incluyen:

• 1− − x4{displaystyle {sqrt {1-x^{4}}} (Inteligente inteligente)
• 1In⁡ ⁡ x{displaystyle {frac {}{ln x}} {fn}} {fnK}}} {fn}}} {fnfn}}}} {fn}}}}}}}} {fnfn}}}}} {fnf}}}}}}}}} (logarítmica integral)
• e− − x2{displaystyle E^{-x^{2}} (función terrorista, integral gaussiana)
• pecado⁡ ⁡ ()x2){displaystyle sin(x^{2}} y #⁡ ⁡ ()x2){displaystyle cos(x^{2}} (Fresnel integral)
• pecado⁡ ⁡ ()x)x=sinc⁡ ⁡ ()x){displaystyle {frac {sin(x)}{x}=operatorname {sinc} (x)} (sine integral, Dirichlet integral)
• e− − xx{displaystyle {frac {fnK}{x}} {fnK}} {fnK}}} {fn}}} {fn}}}}} {fnK}}}}}}}} {fn}}}}}}} (exponential integral)
• eex{displaystyle e^{e^{x},}(en términos de la integral exponencial)
• In⁡ ⁡ ()In⁡ ⁡ x){displaystyle ln(ln x),}(en términos de la integral logarítmica)
• xc− − 1e− − x{displaystyle {x^{c-1}e^{-x}} (función gamma incompleta); c=0,{displaystyle c=0,} el antiderivativo puede ser escrito en términos de la integral exponencial; para c=12,{displaystyle c={tfrac {1}{2}} en términos de la función de error; para c={displaystyle c= cualquier entero positivo, el antiderivativo es elemental.

Algunas funciones antiderivadas no elementales comunes reciben nombres que definen las llamadas funciones especiales, y las fórmulas que involucran estas nuevas funciones pueden expresar una clase más amplia de antiderivadas no elementales. Los ejemplos anteriores nombran las funciones especiales correspondientes entre paréntesis.

Propiedades

Los antiderivativos nonelementales se pueden evaluar a menudo utilizando la serie Taylor. Incluso si una función no tiene antiderivación elemental, su serie Taylor siempre puede ser integrada de término a plazo como un polinomio, dando la función antiderivativa como una serie Taylor con el mismo radio de convergencia. Sin embargo, incluso si el integrantedo tiene una serie convergente Taylor, su secuencia de coeficientes a menudo no tiene fórmula elemental y debe ser evaluado término por término, con la misma limitación para la serie Taylor integral.

Incluso si no es posible evaluar una integral indefinida (antiderivativa) en términos elementales, siempre se puede aproximar una integral correspondiente definida por la integración numérica. También hay casos en los que no hay un antiderivativo elemental, pero las integrales definidas específicas (a menudo integradas inadecuadas sobre intervalos no abundados) pueden ser evaluadas en términos elementales: más famosamente la integral gausiana ∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO e− − x2dx=π π .{textstyle int - ¿Qué? }e^{-x^{2}dx={sqrt {pi}}

La clausura bajo integración del conjunto de funciones elementales es el conjunto de funciones de Liouvillian.