Integral gaussiana

El Gaussian integral, también conocido como Euler-Poisson integral, es la parte integral de la función Gausiana ${displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}$ en toda la línea real. Nombrado después del matemático alemán Carl Friedrich Gauss, la integral es

$${displaystyle int _{-infty }e^{-x^{2},dx={sqrt {pi}}$$

Abraham de Moivre descubrió originalmente este tipo de integral en 1733, mientras que Gauss publicó la integral precisa en 1809. La integral tiene una amplia gama de aplicaciones. Por ejemplo, con un ligero cambio de variables se utiliza para calcular la constante de normalización de la distribución normal. La misma integral con límites finitos está estrechamente relacionada tanto con la función de error como con la función de distribución acumulativa de la distribución normal. En física, este tipo de integral aparece con frecuencia, por ejemplo, en mecánica cuántica, para encontrar la densidad de probabilidad del estado fundamental del oscilador armónico. Esta integral también se utiliza en la formulación de integral de trayectoria, para encontrar el propagador del oscilador armónico, y en mecánica estadística, para encontrar su función de partición.

Aunque no existe una función elemental para la función de error, como lo demuestra el algoritmo de Risch, la integral gaussiana se puede resolver analíticamente mediante los métodos del cálculo multivariable. Es decir, no existe una integral indefinida elemental para

$${displaystyle int e^{-x^{2},dx,}$$

$${displaystyle int _{-infty }e^{-x^{2},dx}$$

$${displaystyle int _{-infty }{infty }e^{-a(x+b)^{2},dx={sqrt {frac {pi - Sí.$$

Cálculo

Por coordenadas polares

Una forma estándar de calcular la integral gaussiana, cuya idea se remonta a Poisson, es hacer uso de la propiedad que:

$${displaystyle left(int _{-infty }{infty }e^{-x^{2},dxright)^{2}=int ¿Qué? }e^{-y^{2},dy=int ¿Por qué?$$

Considerar la función ${displaystyle e^{-left(x^{2}+y^{2}right)}=e^{-r^{2}}}$en el avión ${displaystyle mathbb {R} {2}}$, y computar sus dos formas integrales:

1. por un lado, por doble integración en el sistema de coordenadas cartesiano, su integral es un cuadrado:
   $${displaystyle left(int e^{-x^{2},dxright)^{2};}$$

   
2. por otro lado, mediante la integración de conchas (un caso de doble integración en las coordenadas polares), su integral se calcula que ${displaystyle pi}$

La comparación de estos dos cálculos produce la integral, aunque se debe tener cuidado con las integrales impropias involucradas.

$${displaystyle {begin{aligned}iint _{mthbb {R} ^{2}e^{-left(x^{2}+y^{2}right)}dx,dy cosecha=int ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué? #### {0}{2}e^{s},ds limits=-r^{2}[6pt] } {0}e^{s},ds[6pt] limit=pi left(e^{0}-e^{-infty }right)[6pt]$$

Combinando estos rendimientos

$${displaystyle left(int _{-infty } {infty }e^{-x^{2}},dxright)}{2}=pi}$$

$${displaystyle int _{-infty }e^{-x^{2},dx={sqrt {pi}}$$

Prueba completa

Para justificar las integrales dobles impropias y equiparar las dos expresiones, comenzamos con una función de aproximación:

$${displaystyle I(a)=int _{-a}e^{-x^{2}dx.}$$

Si la integral

$${displaystyle int _{-infty }e^{-x^{2},dx}$$

$${displaystyle lim _{ato infty }I(a)}$$

$${displaystyle int _{-infty - Sí.$$

$${displaystyle int _{-infty }left habite^{-x^{2}right sometidadxse ilse _{-infty }{-1}-xe^{-x^{2},dx+int ¿Por qué?$$

Para que podamos calcular

$${displaystyle int _{-infty }e^{-x^{2},dx}$$

$${displaystyle lim _{ato infty }I(a).}$$

Tomando el cuadrado ${displaystyle I(a)}$ rendimientos

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

Usando el teorema de Fubini, la integral doble anterior puede verse como una integral de área

$${displaystyle iint _{[-a,a]times [-a,a]}e^{-left(x^{2}+y^{2}right)}d(x,y),}$$

Puesto que la función exponencial es mayor que 0 para todos los números reales, entonces sigue que la integral tomada sobre el incircle de la plaza debe ser inferior a 0 para todos los números reales, ${displaystyle I(a)^{2}$, y de forma similar la integral tomada sobre el círculo de la plaza debe ser mayor que ${displaystyle I(a)^{2}$. Las integrales sobre los dos discos se pueden calcular fácilmente cambiando de coordenadas cartesianas a coordenadas polares:

$${displaystyle {begin{aligned}x limit=rcos theta \y pulsa=rsin theta end{aligned}}}$$

$${begin{bmatrix}{dfrac {c} {c}{c} {c} {c} {c}} {cc}} {dfrac {partial x} {c} {c}c}cccc} {cH}} {cc}} {c}}cccH}}}} {c}}ccccc}}}}}c}ccc}}cccccccccccccccccccccccccccccccccccccc}}}}}}}}}}}}}}}}ccccccccccccH {begin{bmatrix}cos} theta &-rsin theta \sin theta &rcos theta end{bmatrix}}}$$

$${displaystyle d(x,y)=fortJ(r,theta) sometida(r,theta)=r,d(r,theta). }$$

$${displaystyle int _{0} {2pi }int _{0}{a}re^{-r^{2},dr,dtheta ¿Qué?$$

(Consulta las coordenadas polares desde las coordenadas cartesianas para obtener ayuda con la transformación polar).

Integrando,

$${displaystyle pi left(1-e^{2}right) seleccionóI^{2}(a) seleccionópi left(1-e^{-2a^{2}right). }$$

Según el teorema de compresión, esto da la integral gaussiana

$${displaystyle int _{-infty }e^{-x^{2},dx={sqrt {pi}}$$

Por coordenadas cartesianas

Una técnica diferente, que se remonta a Laplace (1812), es la siguiente. Dejar

$${displaystyle {begin{aligned}y limit=xs\dy limit=x,ds.end{aligned}}}$$

Desde los límites de s como y → ± ∞ depende del signo de x, simplifica el cálculo al utilizar el hecho de que e^−x2 es una función par y, por lo tanto, la integral sobre todos los números reales es solo el doble de la integral de cero al infinito. Eso es,

$${displaystyle int _{-infty }e^{-x^{2},dx=2int ¿Qué? - Sí.$$

Así, en el rango de integración, x ≥ 0, y las variables y y s tienen los mismos límites. Esto produce:

$${displaystyle {begin{aligned}I^{2} ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué?$$

$${displaystyle {begin{aligned}I^{2} ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? {ds}{1+s^{2}}right)[6pt] Grande Silencio. {fnMicrosoft Sans Serif}$$

Por lo tanto, ${displaystyle I={sqrt {i} }$Como se esperaba.

Por el método de Laplace

En la aproximación de Laplace, tratamos sólo con términos de hasta segundo orden en la expansión de Taylor, por lo que consideramos ${displaystyle E^{-x^{2}approx 1-x^{2}approx (1+x^{2})^{-1}$.

De hecho, desde ${displaystyle (1+t)e^{-t}leq 1}$ para todos ${displaystyle t}$, tenemos los límites exactos:

$${displaystyle 1-x^{2}leq e^{-x^{2}leq (1+x^{2}}{-1}$$

$${displaystyle int _{[-1,1]}(1-x^{2})^{n}dxleq int _{[-1,1]}e^{-nx^{2}dxleq int _{[-1,1]}(1+x^{2})^{-n}dx}$$

Es decir,

$${displaystyle 2{sqrt {}int _{[0,1]}(1-x^{2})^{n}dxleq int _{-{sqrt {n},{sqrt {n}]e^{-x^{2}dxleq} 2{sqrt {n}int _{0,1}(1+x^{2})^{-n}dx}$$

Por sustitución trigonométrica, calculamos exactamente esos dos límites: ${displaystyle 2{sqrt {n}(2n)!/(2n+1)!$ y ${displaystyle 2{sqrt {n}(pi /2)(2n-3)!/(2n-2)!}$

Al tomar la raíz cuadrada de la fórmula Wallis,

$${fnMicroc {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMin } {2}=prod ¿Por qué?$$

${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMi {fnn} {fn} {fnnn} {fnnnn}} {frac {(2n)!}{(2n+1)!}}}}}}}} {fncncncncnccncncncncncncncncnc]!$

Relación con la función gamma

El integrando es una función par,

$${displaystyle int _{-infty }e^{-x^{2}dx=2int ¿Qué? }e^{-x^{2}dx}$$

Así, después del cambio de variable ${textstyle x={sqrt}}$, esto se convierte en el Euler integral

$${displaystyle 2int _{0}infty }e^{-x^{2}dx=2int ¿Qué? {1}{-t} t} {fnMicroc} {1}{2}dt= Gamma left({frac {1}{2}right)={sqrt {pi) }$$

Donde ${textstyle Gamma (z)=int ¿Qué?$ es la función gamma. Esto muestra por qué el factorial de un medio entero es un múltiplo racional ${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f}\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\\\\\fnMicrosoft {fnMicro }$. Más generalmente,

$${displaystyle int _{0}{infty }x^{n}e^{-ax^{b}dx={frac} {Gammaleft(n+1)/bright)}{ba^{(n+1)/b}}}}$$

${displaystyle t=ax^{b}$

${textstyle Gamma (z)=a^{z}bint ¿Qué?$

Generalizaciones

La integral de una función gaussiana

La integral de una función gaussiana arbitraria es

$${displaystyle int _{-infty }{infty }e^{-a(x+b)^{2},dx={sqrt {frac {pi - Sí.$$

Una forma alternativa es

$${displaystyle int _{-infty }{infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)},dx={sqrt {frac {pi },e^{frac} {b^{2} {4a}-c}}$$

Este formulario es útil para calcular las expectativas de algunas distribuciones de probabilidad continua relacionadas con la distribución normal, como la distribución log-normal, por ejemplo.

Generalización N-dimensional y funcional

Suppose A es un simétrico positivo-definido (de ahí invertible) n × n matriz de precisión, que es la matriz inversa de la matriz de covariancia. Entonces,

$${displaystyle int _{mathbb {R} {fn}fn} {left(-{frac {1}{2}sum limits ¿Por qué? ¿Qué? {R} {fn}fn} {fnMicrosoft Sans Serif},d^{n}x={sqrt {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fnfnh00fnh00}}} {fnfn}}}fn}}}fnfn}fnfnfnfnfnfn}fnfn}}}}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn}}}}}}fn}fnfn}fnfn}}fnfnfnfn}fnfn}fn}fnhnfn}fnfn}fn}fn}}fn A}={sqrt {frac {1}{det(A/2pi)}}={sqrt {det(2pi A^{-1}}}}$$

Este hecho se aplica en el estudio de la distribución normal multivariada.

Además,

$${displaystyle int x_{k_{1}cdots x_{k_{2N},exp {left(-{frac {1}{2}sum limits ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$$

Alternativamente,

$${displaystyle int f({vec {x})exp {left(-{frac {1}{2}}sum ¿Por qué? A},left.exp {left({1over 2}sum _{i,j=1} {n}left(A^{-1}right)_{ij}{partial over partial x_{i}}{partial over partial x_{j}right)}f({vec {x})right sometida_{vec} {x}=0}$$

para alguna función analítica f, siempre que satisfaga algunos límites apropiados en su crecimiento y algunos otros criterios técnicos. (Funciona para algunas funciones y falla para otras. Los polinomios están bien). El operador exponencial sobre un diferencial se entiende como una serie de potencias.

Mientras que las integrales funcionales no tienen una definición rigurosa (o incluso una computacional no irritante en la mayoría de los casos), podemos definir a Gaussian funcional integral en analogía con el caso finito-dimensional. Sin embargo, todavía existe el problema de que ${displaystyle (2pi)^{infty}$ es infinita y también, el determinante funcional también sería infinito en general. Esto se puede cuidar de si sólo consideramos ratios:

$${2fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}cdots f(x_{2N}, x_{2N+2} {2iint {2}{2N+0}A(x_{2N+1} {f} {f}}A(x_{2N+2})f(x_{2N+2}),d^{d}x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2} {}f}[6pt]={frac} {1}{2^{N}}sum _{sigma in S_{2N}A^{-1}(x_{sigma (1)},x_{sigma (2)})cdots A^{-1}(x_{sigma (2N-1)},x_{sigma (2N)}).end{aligned}}}}}}}}}$$

En la notación DeWitt, la ecuación se ve idéntica al caso finito-dimensional.

N-dimensional con término lineal

Si A es nuevamente una matriz simétrica definida positiva, entonces (asumiendo que todos son vectores columna)

$${displaystyle int exp left(-{frac {1}{2}sum ##{i,j=1} {n}A_{ij}x_{i}x_{j}+sum ¿Por qué? {1}{2}{vec {x} {mthsf}mathbf {A} {vec {x}+{vec} {B} {fn} {fn} {fn}} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn} {fn}} {fn} {fnfn}} {fn}} {fnfn}}} {fnfnfn}}}} {fn}}}}}}}}} {fnfn}}}}fnfn}}fn}}fn}}fn}}}}}fnfnfnfn}}fn}}}}}}\\\\\fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fnfn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn} {}}e^{frac} {1}{2}{vec} {B} {fnMithsf}Mathbf {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}} {fnMicrosoft}} {fnK}}}}} {fn}}}} {fn}}}}}}}} {fnfnf}f}}}}fnf}}}}f}}}}f}fnf}f}}f}f}f}f}f}fnf}fnfnfnf}f}fnf}fnfnfnfnfn}fnfn}fnfnfnfnfnfnfnfnfn}fn}fnfnfnfn}}}}fnh}}}}}fn {B}}}$$

Integrales de forma similar

$${displaystyle int ¿Qué? {x={2}{a^{2}},dx={sqrt {pi} {frac {2n+1} {2n-1}}{2^{n+1}}}}}}}}} {i} {i}} {i}} {i}} {i}}} {i}} {i} {i}}}} {i}}} {i}} {i}}}}}}}}} {$$

$${displaystyle int ¿Qué? }x^{2n+1}e^{-{frac {x={2}{a^{2}},dx={frac} ¡No!$$

$${displaystyle int ¿Qué? }x^{2n}e^{-bx^{2},dx={frac {(2n-1)}{b^{n}2^{n+1}}{sqrt {fnMicroc} ♪♪$$

$${displaystyle int ¿Qué? }x^{2n+1}e^{-bx^{2},dx={frac {n}{2b^{n+1}}}$$

$${displaystyle int ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif}{2b^{frac} {n+1}{2}}}}$$

${displaystyle n}$

${displaystyle!}$

Una manera fácil de derivarlos es diferenciando bajo el signo integral.

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fnfn}fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fnfn}}fnfnfnfnfncHFF} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn}} {fn} {fn}} {fn} {fn}} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}}}} {fnfnfnf}}}} {f}f}}f}}}}}}}f}cf}ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccH00}ccccH00}cH00}ccH00}ccccccccccc {fnMicroc} ♫{alpha {fn2}} {fn1}} {left(2alpha right)}end{aligned}}}}}} {fn}}}} {fn}}}}} {fnfnfnfn}} {fn1}}}}}}} {fnfnfnfn1}}}}}}}}}}} {fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn1}}}}}}}}}}}}}}}}}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn1}}}}}$$

También se podría integrar por partes y encontrar una relación de recurrencia para resolver esto.

Polinomios de orden superior

La aplicación de un cambio lineal de base muestra que la integral de la exponencial de un polinomio homogéneo en n variables puede depender sólo de SL(n)-invariantes del polinomio. Uno de esos invariantes es el discriminante, cuyos ceros marcan las singularidades de la integral. Sin embargo, la integral también puede depender de otras invariantes.

Los exponenciales de otros polinomios pares se pueden resolver numéricamente usando series. Estos pueden interpretarse como cálculos formales cuando no hay convergencia. Por ejemplo, la solución a la integral de la exponencial de un polinomio de cuarto grado es

$${displaystyle int _{-infty }e^{ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+f},dx={frac {1}{2}e^{f}sum ¿Por qué? ¡Mick! {c^{m}{m}} {frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fnMicroc} {fnMicroc}}}} {fnMicroc}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}} {f} {f} {f}} {f} {f} {f}} {f} {f} {fnMicroc}}} {fnMicroc}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}} {f}} {f}} {f} {f}} {fnMicroc}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {fnMicroc {3n+2m+p+1}right)}{(a)^{frac {3n+2m+p+1}}}}$$

El requisito de n + p = 0 mod 2 se debe a que la integral de −∞ a 0 aporta un factor de (−1)^n+p/2 a cada término, mientras que la integral de 0 a +∞ aporta un factor de 1/2 a cada término. Estas integrales aparecen en temas como la teoría cuántica de campos.